2022年最新高中数学函数知识点总结大全 .docx

精品_精品资料_函数学问点大全一次函数一、定义与定义式：自变量 x 和因变量 y 有如下关系：y=kx+b就此时称 y 是 x 的一次函数.特殊的,当 b=0 时, y 是 x 的正比例函数.即： y=kx（ k 为常数, k0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x 的变化值成正比例,比值为k即： y=kx+b（ k 为任意不为零的实数b 取任何实数）2.当 x=0 时, b 为函数在 y 轴上的截距.三、一次函数的图像及性质：1作法与图形：通过如下3 个步骤（1） 列表.（2） 描点.（3） 连线,可以作出一次函数的图像一条直线.因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可.（通常找函数图像与x 轴和 y 轴的交点）2 性质：（ 1）在一次函数上的任意一点P（ x, y）,都满意等式：y=kx+b .（ 2） 一次函数与 y 轴交点的坐标总是（ 0,b ,与 x 轴总是交于（ -b/k ,0）正比例函数的图像总是过原点.3 k, b 与函数图像所在象限：当 k 0 时,直线必通过一、三象限, y 随 x 的增大而增大. 当 k 0 时,直线必通过二、四象限, y 随 x 的增大而减小.当 b 0 时,直线必通过一、二象限.当 b=0 时,直线通过原点当 b 0 时,直线必通过三、四象限.特殊的,当 b=O时,直线通过原点 O（ 0, 0）表示的是正比例函数的图像.这时,当 k 0 时,直线只通过一、三象限.当k 0 时,直线只通过二、四象限.四、确定一次函数的表达式：已知点 A（x1, y1）. B（ x2,y2）,请确定过点 A、B 的一次函数的表达式.（1） 设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b.（2） 由于在一次函数上的任意一点P（x, y）,都满意等式 y=kx+b .所以可以列出 2 个方程： y1=kx1+b 和 y2=kx2+b （3） 解这个二元一次方程,得到k, b 的值.（4） 最终得到一次函数的表达式.五、一次函数在生活中的应用：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 当时间 t 肯定,距离 s 是速度 v 的一次函数. s=vt .2. 当水池抽水速度 f 肯定,水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数. 设水池中原有水量 S. g=S-ft .六、常用公式：（不全,期望有人补充）1. 求函数图像的 k 值：（ y1-y2/x1-x22. 求与 x 轴平行线段的中点： |x1-x2|/23. 求与 y 轴平行线段的中点： |y1-y2|/24.求任意线段的长： x1-x22+y1-y22（注：根号下（ x1-x2 与（ y1-y2的平方和） 二次函数I. 定义与定义表达式一般的,自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a, b, c 为常数, a0,且 a 打算函数的开口方向,a>0 时,开口方向向上, a<0 时, 开口方向向下 ,IaI仍可以打算开口大小 ,IaI越大开口就越小 ,IaI越小开口就越大 . ） 就称 y 为 x 的二次函数.二次函数表达式的右边通常为二次三项式.II. 二次函数的三种表达式一般式： y=ax2+bx+c （ a, b, c 为常数, a0） 顶点式： y=ax-h2+k 抛物线的顶点 P（ h, k） 交点式： y=ax-x .x-x. 仅限于与 x 轴有交点 A（ x. , 0）和B（ x., 0）的抛物线 注：在 3 种形式的相互转化中,有如下关系:h=-b/2ak=4ac-b2/4ax.,x .=- b± b2 -4ac/2aIII. 二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2 的图像, 可以看出,二次函数的图像是一条抛物线.IV. 抛物线的性质1. 抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x = -b/2a.对称轴与抛物线唯独的交点为抛物线的顶点P.特殊的,当 b=0 时,抛物线的对称轴是y 轴（即直线 x=0）2. 抛物线有一个顶点P,坐标为P -b/2a, 4ac-b2/4a 当-b/2a=0时, P 在 y 轴上.当 = b2-4ac=0时, P 在 x 轴上.3. 二次项系数 a 打算抛物线的开口方向和大小.当 a0 时,抛物线向上开口.当a 0 时,抛物线向下开口.|a| 越大,就抛物线的开口越小.4. 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同打算对称轴的位置.当 a 与 b 同号时（即 ab0）,对称轴在 y 轴左. 当 a 与 b 异号时（即 ab0）,对称轴在 y 轴右.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 常数项 c 打算抛物线与 y 轴交点.抛物线与 y 轴交于（ 0, c）6. 抛物线与 x 轴交点个数 = b2-4ac 0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点. = b2-4ac=0时,抛物线与 x 轴有 1 个交点. = b2-4ac 0 时,抛物线与x 轴没有交点. X 的取值是虚数（ x= - b± b2 4ac 的值的相反数,乘上虚数i ,整个式子除以 2a）V. 二次函数与一元二次方程特殊的,二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c ,当 y=0 时,二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程）, 即 ax2+bx+c=0此时,函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根.函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根.1二次函数 y=ax2 , y=ax-h2, y=ax-h2+k, y=ax2+bx+c 各式中, a0 的图象外形相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称 轴y=ax2y=ax-h20 , 0h , 0x=0x=hy=ax-h2+kh , kx=h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y=ax2+bx+c-b/2a,4ac-b2/4ax=-b/2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 h>0 时, y=ax-h2的图象可由抛物线y=ax2 向右平行移动 h 个单位得到, 当 h<0 时,就向左平行移动 |h| 个单位得到当 h>0,k>0 时,将抛物线 y=ax2向右平行移动h 个单位,再向上移动k 个单位,就可以得到 y=ax-h2 +k的图象.当 h>0,k<0 时,将抛物线 y=ax2y=ax-h2+k的图象.向右平行移动h 个单位,再向下移动|k| 个单位可得到当 h<0,k>0 时,将抛物线向左平行移动|h| 个单位,再向上移动k 个单位可得到y=ax-h2+k的图象.当 h<0,k<0 时,将抛物线向左平行移动|h| 个单位,再向下移动 |k| 个单位可得到y=ax-h2+k的图象.因此,争论抛物线 y=ax2+bx+ca 0 的图象,通过配方,将一般式化为 y=ax-h2+k 的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清晰了 这给画图象供应了便利2 抛物线 y=ax2+bx+ca 0 的图象：当 a>0 时,开口向上,当 a<0 时开口向下,对称轴是直线 x=-b/2a ,顶点坐标是 -b/2a,4ac-b2/4a3 抛物线 y=ax2+bx+ca 0 ,如 a>0,当 x -b/2a 时, y 随 x 的增大而减小.当 x -b/2a时, y 随 x 的增大而增大如a<0,当 x -b/2a时, y 随 x 的增大而增大.当x -b/2a时, y 随 x 的增大而减小4 抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与坐标轴的交点：(1) 图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为0 , c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 当 =b2-4ac>0 ,图象与 x 轴交于两点 Ax .,0 和 Bx .,0 ,其中的 x1,x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0a 0 的两根这两点间的距离AB=|x .-x .|当 =0图象与 x 轴只有一个交点.当 <0图象与 x 轴没有交点当 a>0 时,图象落在x 轴的上方, x 为任何实数时,都有y>0.当 a<0 时,图象落在 x 轴的下方, x 为任何实数时,都有y<0 5 抛物线 y=ax2+bx+c 的最值：假如a>0a<0 ,就当 x= -b/2a时, y 最小 大 值=4ac-b2/4a顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值6 用待定系数法求二次函数的解析式(1) 当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x 、y 的三对对应值时, 可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+ca 0 (2) 当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式：y=ax- h2+ka 0 (3) 当题给条件为已知图象与x 轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式：y=ax-x.x-x.a 0 7 二次函数学问很简单与其它学问综合应用,而形成较为复杂的综合题目.因此,以二次函数学问为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式显现反比例函数形如 y k xk 为常数且 k0的函数,叫做反比例函数.自变量 x 的取值范畴是不等于0 的一切实数.反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线.由于反比例函数属于奇函数,有f-x=-fx,图像关于原点对称.另外, 从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为k.如图,上面给出了k 分别为正和负（ 2 和-2 ）时的函数图像.当 K 0 时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数当 K 0 时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交.学问点：1. 过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为 | k |.2. 对于双曲线 y k x ,如在分母上加减任意一个实数 即 y k（ x±m） m为常数 ,就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位.（加一个数时向左平移,减一个数时向右平移）对数函数对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数的反函数.因此指数函数里对于a 的规定,同样适用于对数函数.右图给出对于不同大小a 所表示的函数图形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x 的对称图形, 由于它们互为反函数.（1） 对数函数的定义域为大于0 的实数集合.（2） 对数函数的值域为全部实数集合.（3） 函数总是通过（1, 0）这点.（4） a 大于 1 时,为单调递增函数,并且上凸.a 小于 1 大于 0 时,函数为单调递减函数, 并且下凹.（5） 明显对数函数无界.指数函数指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的争论就可以知道,要想使得x 能够取整个实数集合为定义域,就只有使得如下列图为 a 的不同大小影响函数图形的情形.可以看到：（1） 指数函数的定义域为全部实数的集合,这里的前提是a 大于 0,对于 a 不大于 0 的情况,就必定使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑.（2） 指数函数的值域为大于0 的实数集合.（3） 函数图形都是下凹的.（4） a 大于 1,就指数函数单调递增.a 小于 1 大于 0,就为单调递减的.（5） 可以看到一个明显的规律,就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中 （当然不能等于 0）, 函数的曲线从分别接近于Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X 轴的负半轴的单调递增函数的位置.其中水平直线 y=1 是从递减到递增的一个过渡位置.（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X 轴, 永不相交.（7） 函数总是通过（ 0, 1）这点.（8） 明显指数函数无界.奇偶性注图：（ 1）为奇函数（ 2）为偶函数1定义一般的,对于函数fx（ 1）假如对于函数定义域内的任意一个x,都有 f-x= fx,那么函数 fx就叫做奇函数.（ 2）假如对于函数定义域内的任意一个x,都有 f-x=fx,那么函数 fx就叫做偶函数.（ 3）假如对于函数定义域内的任意一个x,f-x=-fx与 f-x=fx同时成立, 那么函数 fx既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数.（ 4）假如对于函数定义域内的任意一个x,f-x=-fx与 f-x=fx都不能成立, 那么函数 fx既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数.说明：奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言奇、 偶函数的定义域肯定关于原点对称,假如一个函数的定义域不关于原点对称,就这个函数肯定不是奇（或偶）函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（分析： 判定函数的奇偶性, 第一是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格依据奇、偶性的定义经过化简、整理、再与fx比较得出结论）判定或证明函数是否具有奇偶性的依据是定义2. 奇偶函数图像的特点：定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y 轴或轴对称图形.fx为奇函数 fx的图像关于原点对称点（ x,y ）（ -x,-y）奇函数在某一区间上单调递增,就在它的对称区间上也是单调递增.偶函数 在某一区间上单调递增,就在它的对称区间上单调递减.3. 奇偶函数运算(1) .两个偶函数相加所得的和为偶函数.(2) .两个奇函数相加所得的和为奇函数.(3) .一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.(4) .两个偶函数相乘所得的积为偶函数.(5) .两个奇函数相乘所得的积为偶函数.(6) .一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.定义域（高中函数定义）设 A,B 是两个非空的数集,假如按某个确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应,那么就称 f:A-B 为集合A 到集合 B 的一个函数,记作 y=fx,x 属于集合 A.其中, x 叫作自变量, x 的取值范畴 A 叫作函数的定义域.值域名称定义函数中,应变量的取值范畴叫做这个函数的值域函数的值域, 在数学中是函数在定义域中应变量全部值的集合常用的求值域的方法（1）化归法.（ 2）图象法（数形结合）,（3） 函数单调性法,（4） 配方法,（ 5）换元法,（ 6）反函数法（逆求法）,（7）判别式法,（ 8）复合函数法,（ 9）三角代换法,（ 10）基本不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法就、 值域是函数构造的三个基本“元件”.平常数学中, 实行“定义域优先” 的原就,无可置疑. 然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就减弱或谈化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_了,对值域问题的探究, 造成了一手“硬”一手“软”,使同学对函数的把握时好时坏,事实上, 定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮, 何况它们二者随时处于相互转化之中 （典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）.假如函数的值域是无限集的话,那么求函数值域不总是简单的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,仍必需联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情形.才能获得正确答案,从这个角度来讲, 求值域的问题有时比求定义域问题难,实践证明, 假如加强了对值域求法的争论和争论,有利于对定义域内函的懂得,从而深化对函数本质的熟悉.“范畴”与“值域”相同吗？“范畴”与“值域”是我们在学习中常常遇到的两个概念,很多同学常常将它们混为一谈,实际上这是两个不同的概念.“值域”是全部函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值） ,而“范畴”就只是满意某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不肯定都满意这个条件） .也就是说 : “值域”是一个“范畴”, 而“范畴”却不肯定是“值域”.可编辑资料 - - - 欢迎下载