柯西不等式练习1-解析版.docx
柯西不等式练习1学校:姓名：班级：考号：一、单项选择题.假设a,b,c为正数，且a+b+c=l,那么平+三的最小值为（） a b cA. 9 B. 8 C. 3 D.-3【答案】A【解析】【分析】利用柯西不等式可得最小值.【详解】因为2 + < + 工=G + : + 'S + b + c） a b c abcj'= （§+（.+ （J）（可+两+（何之旧历+6代）=9当且仅当Q = b = c = ：时等号成立，故所求最小值为9,应选A.【点睛】一般地,如果的,。2,，Qn，瓦,厉，心是实数，那么（冠+磅TF忌）（+，+岳+屋） > （由瓦+ a1bl + anbn）2,进一步地,（1）如果的瓦+ 与瓦4卜Qnbn = M,那么（连+谖T卜+用HF星）有最小值”2,当且仅当鲁=鲁=bi %=詈时取最小值； %（1）如果出+ 2 4 + Q（）（*+1+屏）=M,那么也+ %瓦+ anbn有最大值S0,当且仅当詈=詈= % b1二詈时取最大值. bn.函数/（%） =+ 2VI二的最大值为（.）A. 5 B. V5 C. 1 D. 2【答案】B【解析】分析：直接利用柯西不等式求函数"%） = 7=1 + 2近二的最大值.72 详解：由柯西不等式得（12+ 22）（77=1 +V2 ）>（V7T + 2V2）2,所以VF二I + 2VT与< V5 （当且仅当金=熹即x=£时取最大值）yx-l V2-X 5故答案为：B.点睛：(1)此题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)二元柯西不等 式的代数形式：设均为实数，那么(a2 + ft2)(c2 + d2) > (ac + bd)2,其中等号当且仅当ad = be时成立.二、填空题.a, bfc E R且a? + 2b2 + 3c2 = 4,贝!|a + 2b + 3c的最大值为.【答案】2V6【解析】分析：利用柯西不等式即可求解.详解：由题意小+ 2庐+ 3°2 = 4,又由柯西不等式可得(a + 2b + 3c7= (lxa + lx2b + lx 3c)2 < (l2 + (V2)2 + (V3)2)(a2 + 2b2 + 3c2) = 24,所以。+ 25 + 3。工2，即a + 2b + 3c的最大值为2巡.点睛：此题主要考查了利用柯西不等式求最值问题，其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考 查了分析问题和解答问题的能力.3 .实数a,仇c,d满足条件q + b + c + d = l9求8a2 + 3b2 + 2c2 -小的最小值是【答案】-24【解析】【分析】设Z=82 + 3b2+2c2d2,由柯西不等式(8小 + 3b2 + + ) N (a + b + c)2,可求得 23z Nd? - 48d + 24, z 的最小值为茜(d? - 48 d + 24)mjn 0【详解】设 z=8a2 + 3b2 + 2c2 d2,所以8a2 + 3b2 _|_ 2c2 = z + d2,由柯西不等式(8小 + 3b2 + 2c2)( + 1 + |) > (a + b + c)2,即(z + d2)(|) > (1 - d)2,化简得23z2d2 48d + 24,而(d? - 48d + 24%也=一24 x 23,所以Zmg =-24,此时d = 24,8a = 3b = 2c = 24,填-24.【点睛】柯西不等式(1)设a, b, c, d为实数，那么(小+/j2)(c2 +小)之(ac + bd)2,当且仅当ad = be时等号成立.(2)假设a”瓦(i N*)为实数，贝+ %? +。九2)(打2 +厉2+.b/)之(。1九+ a2b2 +&1bzl尸，当且仅当d=0(i N*)或存在一个数K使得四=她 WN*)时,等号成立.三、解答题.X, j, z是正实数，且满足 + 2y + 3z = 1.试卷第2页，总4页求二+*工的最小值； x y z(2)求证：x2 + y2 + z2 > 14【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】分析：利用“乘1法”，根据基本不等式可求工+工+工的最小值； x y z由柯西不等式即可得证.详解：(l)Vx, y, z是正实数,且满足x+2y+3z=l,x+y+z=5 y z/(x+2y+3z)2y 3z 工 3z - 2y=6+ x x +V+ y +z+ z >6 +2*/3+ 21/6,工乂工乂灰当且仅当x=y且三=5且y= z时取等号.(2)由柯西不等式可得1 = (x+2y+3z)2<(x2+.+z2)(l2+22+32) = 14(x2+y2+z2),1/.x2+y2+z2>14?£ Z1±当且仅当x=2 = 3,即x=14, y=7, z=14时取等号.1故 x2+2+z2>14点睛：此题考查基本不等式及柯西不等式，属基础题.4 .函数/(%) = |2x + 1| + |x - 1|.(1)解不等式/(%) 2 3；(2)记函数f(%)的最小值为th,假设a, b, c均为正实数，且5a + b +2c =血，求小+炉+ c?的最小值.【答案】(1) (8, 1 U L+8)(2),【解析】【分析】(1)分段讨论解不等式即可；(2)由柯西不等式，有(小+卜2 + 02)g) + I2 + 222ga + b + 2c),可得a? +力2+,2的最小值.【详解】(3x,x < | f(x) = |2x + l| + |x-l| =L + 2>_1<X< 1,I 3x,x > 1/(%) > 3等价于“工-9或卜* x < 1或-1-3% >3 I % + 2>3 出 2 3解得 < 一1或% > 1.原不等式的解集为(8,1 U 1, 4-00).(2)由(1),可知当 =工时，/(%)取最小值三，即m 二三 2221 4.-a + b + 2c =-.2 2由柯西不等式，有屹2 + b2 + c2) 6)2 + 12 + 22 >a + b + 2c)2./.a2 + b2 + c2 > |.当且仅当2a = b=,即a = 2，b = |, c =,时，等号成立.q2+/+c2的最小值为*【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，柯西不等式的应用，属于中档题.试卷第4页，总4页
