2022年考研数学《概率论与数理统计》知识点总结 .docx

精品_精品资料_第一章概率论的基本概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义：随机试验 E的每个结果 样本点 组成样本空间 S,S 的子集为 E 的随机大事, 单个样本点为 基本领件 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1AB, A 发生必导致 B 发生2AB 和大事, A,B 至少一个发生, AB发生可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_事 件 关系：3AB 记 AB积大事, A,B 同时发生, AB发生4. AB 差大事, A发生, B 不发生, AB 发生可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5AB=. ,A 与 B 互不相容 互斥 , A 与 B 不能同时发生,基本领件两两6AB=S 且 AB=. ,A 与 B 互为逆大事或对立大事 ,A 与 B 中必有且仅有一个发可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_互不相容生,记 B=ASA 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_事 件 运算：概率：交换律、结合律、安排率略概率就是 n 趋向无穷时的频率,记 PA 德摩根律： ABAB , ABAB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_概 率 性1P . =0 2 有限可加性 PA1A2An= PA1+ PA 2+ +PA n , Ai 互不相容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_质:3. 如 AB,就 PB A=PB PA 4. 对任意大事 A,有PA 1PA 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 PAB=PA+ PB PAB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_古 典 概型：即等可能概型,满意： 1 S 包含有限个元素 2每个基本领件发生的可能性相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等 概 公kA 中样本点数超几何分DNDNar可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PA p,其中Ca 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式：nS中样本点总数布：knknr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_条 件 概率：PB APAB P A乘 法 定理：PAB PABC PB A PA PC AB PB A P A 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_全概率公式：PA PAB1 PB1PAB2 PB 2 PABn PBn ,其中Bi 为 S 的划分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_贝叶斯公PBi APABi PBi , P AnP A Bj P Bj 或PB APA B P B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P Aj 1式：P A B PBP A B P B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_独立性： 满意 PAB=PA PB ,就 A, B 相互独立 ,简称 A, B 独立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理一：A, B独 立 , 定 理就 PB| A=PB 二：A,B 独立,就 A 与B ,A 与B , A 与B 也相互独立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次章随机变量及其分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 1 分P Xkpk 1p1 k, k=0, 1伯 努 利 试验只有两个可能的结果： A及可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_布：（ 0<p<1）试验：A 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二项式分记Xb（ n, p） ,n 重伯 努利独立且每次试验概率保持不变其中 A 发生 k 次,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_布：P XkC k pk 1p n k 试验：n即二项式分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k泊 松 分布：记 X（）, P Xke, kkk.0,1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_泊 松 定limnC k pk 1p n ke,其中 np当 n k.20 , p0.05 应用泊松定理近似成效可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n理：颇佳随机变量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分 布 函数：F xP Xx ,xP x1Xx2F x2F x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连续型随机变量：F x度xf t dt ,X 为连续型随机变量 , fx为 X 的概率密度函数 ,简称概率密可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_概率密度1 f x0 . 2 f x d x1 . 3 P x1Xx2F x2 F x1 x 2f x d x .x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质：4 Fxf x , f x 在 x 点连续. 5 PX=a=0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_均 匀 分记XUa,b.f x1, axbba性质：对.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_布：0,其它a c<c+l b,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F x0,xaxa , axb ba1,xbP cXlcl ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_指 数 分f x1 e x , x0 .F x1e x , x无记忆性 ：0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_布：0,其它0,其它P Xs t XsP Xt 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正 态 分布：记 X N,2 .f x1exp 2x 222 .F x1x exp 2t222 dt 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质：1 f x 关于 x= 对称,且 P - h<X= P <X +h . 2有最大值f =2 -1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标准正态2 x1expx 22即 =0,. =1 时的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分布： x1x exp 22t dt 2正 态 分 布XN0,1x1x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正态分布对X N,2 有ZX N 0,1.且有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的线性转化：F xP XxP Xx x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正态分布概 率 转化：P x1Xx2 x2 x1. PtXtt t 2t 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 法就：P=1 -1=% . P=2 -2=% . P=3 -3=% , P 多落在 - 3, +3 内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上 分位点：对 XN0,1 ,如 z 满意条件 PX>z= , 0<<1,就称点 z 为标准正态分布的上 分位点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常用上 分位点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Y 听从自设 X 密度函数 f X x ,x,如2如 设XN0, 1, 就 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由度为 12的 分Y=X1,就f y1 y 1 2 e2y 2, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f Y y布： f X y2 y0,f X y, y0Y0,y0y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 X 密度函数 f X x ,设 g x 到处可导且恒有g x>0 或 g x<0 ,就Y=gX 是连续型随机变量,且有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理：f Y yfX h y h y ,y 0,其他h y 是 g x 的反函数.如 x ,就=min g - ,g+ ,=maxg - ,g+ .如 f X x 在 a,b 外等于零, g x 在 a, b 上单调,就 =min g a , g b , =maxg a ,g b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用：Y=aX+bNa+b, | a| 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三章多维随机变量及其分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二 维 随机 变 量分布函数 联合分布函数 ： F x, yP XxYy,记作：P Xx,Yy 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的 分 布函数：P x1Xx2 , y1Yy2 F x2,y2 F x2,y1F x1, y2 F x1, y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1F（ x, y）是 x 和 y 的不减函数,即 x2>x1 时, F（ x2, y） F（ x1,y）.y2>y1时, F（x, y2 ） F（x,y1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F（x,y）性质：20 F（ x,y） 1 且 F（ - ,y） =0, F（ x,-） =0, F（-,- ）=0,F（+,+） =13F（ x+0,y） =F（ x,y）,F（x, y+0） =F（ x, y）,即 F（x,y）关于 x 右连续,关于 y 也右连续4对于任意的 x1 ,y1 , x2,y2 , x2>x1,y2>y1,有 P x1<X x2,y1<Yy2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离 散 型连续型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ X ,Y）：pij0 ,i 1 jpij11 ,F x, yxi x yipij y（ X , Y）：F x, yyxf u, v d u d v 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f x,y 02f x, y d x dyF ,1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x,y性质：3 4 如 f x , y 在 点 x , y 连 续 , 就 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PX ,YGf x, y d xdy2F x, yf x, y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Gx yn 维：n 维随机变量及其分布函数是在二维基础上的拓展,性质与二维类似可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_边 缘 分布：Fx x , Fy y 依次称为二维随机变量（ X,Y）关于 X 和 Y 的边缘分布函数 ,FX x= F x, , FY y= F , y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离散 pi和 p j 分别为（ X, Y）关于 X 和 Y 的边缘分布律 ,记 pipijj 1P Xxi ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_型：p jpiji 1PYy j 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连续 f X x ,fY y 为（ X, Y）关于 X 和 Y 的边缘密度函数 ,记f X xf x, y d y ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_型：fY yf x, y d x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, y21exp12211 x2 2 x2121 y2 y222记 X ,Y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12二 维 正1122N 1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_态分2,1 ,222布：2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f X x1exp 21x1222 1 ,xfY y1exp 22 y2 2 2 ,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离 散 型条 件 分P Xijx Yy P Xxi ,Yy j pijPYjiy Xx P Xxi ,Yy j pij 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_布律：P Yy j p jP Xxi pi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx | yf x, yF x | yP Xx | Yyxf x, y d x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连 续 型条 件 概率密X |YfY y条件分布 函X |YfY y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_条 件 分 度：fY |X y | xf x, y数：FY|X y | xP Yy | Xxyf x, y d y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f X x布：fX x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_含义：当0 时,P Xx | yYyxf X |Y x |y d xFX |Y x | y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_均 匀 分布：如 f x, y1 , x, y A0,其他G ,就称 X ,Y 在 G上听从匀称分布 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 P X x, Y y= P X x P Y y ,即 F x,y= Fx x Fy y ,就称随机变量X可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_独 立 定义：和 Y 是相互独立的 独立条件或可等价 为： 连续型： f x , y= f x x f y y . 离散型： P X=xi ,Y=yj = P X=xi P Y=yj 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正 态 独立：对于二维正态随机变量（ X,Y）,X 和 Y 相互对立的充要条件是：参数 =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 维 延长：上述概念可推广至n 维随机变量,要留意的是边缘函数或边缘密度也是多元1 n-1 元 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理：设（ X1,X2, Xm）和（ Y1,Y2, Yn）相互独立,就 Xi 和 Yj 相互独立又如h,g 是连续函数,就 h（ X1, X2, Xm）和 g（Y1, Y2, Yn）相互独立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Z=X+Y分布：如连续型 X,Y 概率密度为f x,y ,就 Z=X+Y为连续型且其概率密度为f X Y zf zy, y d y 或 f XY zf x, zx) d x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f X 和 f Y的 卷 积记 f X * f Yf X Y zf X zy) fY y d yf X xfY zx dx ,其中除继上述条件, 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_X和 Y相互独立,边缘密度分别为 f X x 和 f Y y 公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如 X和 Y相互独立且 XN 1,1 ,记 YN 2,22 ,就对 Z=X+Y有 ZN + ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正 态 卷积：1 +2 1上述结论可推广至 n 个独立正态随机变量 2有限个独立正态随机变量的线性组合仍听从正态分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记 X , ,f x1x1e x , x0 ,其中 t1e0t d t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_伽 马 分布：0,其他0 ,0 如 X 和 Y 独立且 X , ,记 Y , ,就有 X+Y +, 可推广到 n 个独立 分布变量之和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ZY ：XfY Xzx f x, xz d x ,如 X和 Y相互独立,就有fY Xzx f X xfY xz d x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ZXY1z1z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分布：f XY zx f x, x d x ,如 X和 Y相互独立,就有f XY zx f X x fY x d x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大 小 分布：如 X 和 Y 相互独立,且有 M=maxX, Y 及 N=min X,Y ,就 M的分布函数： Fmax z= FX z FY z ,N的分布函数： Fmin z=1 1 FX z1 FY z ,以上结果可推广到 n 个独立随机变量的情形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第四章随机变量的数字特点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 学 期望：简称期望或均值,记为 E X .离散型： E X xk pk 连续型： E X k 1xf x d x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Y是随机变量 X的函数： Y=g X g 是连续函数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理：1. 如 X是离散型, 且 分 布 律 为P X=xk= pk,就：EY g xk pk k 12. 如 X 是连续型,概率密度为 f x ,就：EYg x f(x) d x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Z 是随机变量 X,Y 的函数： Z=g X, Y g 是连续函数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定 理 推广：1. 离散型： 分布律 为 P X=xi , Y=yj = pij ,就：E Z j 1 ig xi , yj pij1 2连续型：E Z g x, y fx,y d x d y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_期 望 性设 C 是常数, X和 Y 是随机变1 E C= C2 E CX= CE X 3 E X+Y= E X+ E Y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_质：量,就：4又如 X 和 Y 相互独立的,就 E XY= E X E Y D x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方差：记 D X 或 Var X ,D X=Var X= E X2 E X 标准差 均方差 ：记为 X, X=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通式：D X xkE X 2pk ,D X xEx 2 f x d x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D X E X 2 k 12 E X 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标 准 化记 X *x,其中E X , D X 2 , X * 称为 X 的标E X * 0 , D X * 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变量：准化变量 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方 差 性质：设 C 是常数, X和 Y 是随机变量,就：1D C=0 2D CX= C2D X , D X+C= D X 3D X+Y=D X+ D Y+2 E X