2022年高中数学不等式知识点.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -不等式学问点归纳 :一、不等式的概念与性质1、实数的大小次序与运算性质之间的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abab0abab0a bab0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、不等式的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ） a bb a, abba（反对称性）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ） ab, bcac, ab,bcac（传递性）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） ） a bacbc ,故 abcacb（移项法就）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论： ab, cdacbd（同向不等式相加）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） ） ab, c0acbc , ab,c0acbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 1： ab0, cd0acbd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 2： ab0a nb n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 3： ab0n an b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式的性质是解、 证不等式的基础, 对于这些性质, 关键是正确懂得和娴熟运用,要弄清每一个条件和结论,学会对不等式进行条件的放宽和加强.3、常用的基本不等式和重要的不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ） aR, a 20, a0当且仅当 a0, 取“ ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ） a, bR,就a 2b 22ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） ） a, bR,就 ab2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2（4） ）2 ab 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、最值定理 : 设 x, y0,由xy2xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）如积 xyP 定值）,就积xy有最小值 2P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如积 xyS 定值）,就积xy有最大值（ S2）2即: 积定和最小,和定积最大.运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等5、均值不等式 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个正数的均值不等式：三个正数的均值不等是：n 个正数的均值不等式：ab 2abc3a1a2nab3 abcann a1 a2an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、四种均值的关系：两个正数均方根之间的关系是a、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2abab 112a 2b22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab小结: 在不等式的性质中,要特殊留意下面4 点：1 、不等式的传递性：如a>b,b>c,就 a>c, 这是放缩法的依据,在运用传递性时,要留意不等式的方向,否就易产生这样的错误：为证明a>c, 挑选中间量 b, 在证出 a>b,c>b, 后,就误认为能得到a>c.2 、同向不等式可相加但不能相减,即由a>b,c>d ,可以得出 a+c>b+d,但不能得 ac>bd.3 、不等式两边同时乘以一个数或式时,只有该数或式保证为正,才能得到 同向的不等式, 否就不能保证所乘之数或式为正,就不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向. 不等式两边同偶次乘方时, 也要特殊留意不等式的两边必需是正.不等式的应用范畴特别广泛,在数学中, 诸如集合问题, 方程 组 的解的争论,函数单调性的争论,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解 析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着亲密的联系,很多问题, 最终都可归结为不等式的求解或证明.二、不等式的证明方法（ 1） 比较法： 作差比较： AB0AB作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.判定差的符号：结合变形的结果及题设条件判定差的符号.留意：如两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小.（ 2） 综合法： 由因导果 由已知的不等式动身, 不断的用必要条件代替前面的不 等式 , 直到推导出前面的不等式.常用的基本不等式有均值不等式.如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a , b, m0 , ab ,就 abam .如 a,b bmR ,就| a | b | | ab | | a | b |.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n柯西不等式 a b 2nn22a b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iiiii 1i 1i 1（ 3） 分析法： 执果索因 基本步骤：要证只需证,只需证“分析法”证题的理论依据：查找结论成立的充分条件或者是充要条件.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -“分析法”证题是一个特别好的方法,但是书写不是太便利,所以我们可以利用分析法查找证题的途径,然后用“综合法”进行表达.（ 4） 反证法： 正难就反 直接证明难,就用反证.（ 5） 放缩法： 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的放缩法的方法有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_添加或舍去一些项,如：a 21a .nn1n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： log 3lg 5 lg 3lg 5 22lg15lg16lg 4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n n1nn12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用常用结论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、k1k11.k1k2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、 1k 21k k111.1k1kk 21k k111kk1（程度大）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、 1k 21k 211k1k11 12k11. （程度小）k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6） 换元法： 换元的目的就是削减不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元.如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 x 2y 2a 2 ,可设 xa cos, ya sin.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 x 2y 21 ,可设 xr cos, yr sin 0r1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 2已知a 2b 21 ,可设 xa cos, yb sin.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 2已知a 2b 21 ,可设 xa sec, yb tan.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（7）构造法： 通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式.证明不等式的方法敏捷多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法 仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,挑选适当的证明方法, 要熟识各种证法中的推理思维,并把握相应的步骤, 技巧和语言特点.数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中特的争论.例 1 已知 a,b R,且 a+b=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证： a2 2b2 225 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -证法一：（比较法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a,bR, ab1,b1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2225a2b2a2b24 ab9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 21a2492a 22a12 a1 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 a2 2b2 225 （当且仅当 ab21 时,取等号）.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证法二：（分析法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a2Bb1aa 2122522a 248a 2b 225a 24ab 82521 202可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于明显成立,所以原不等式成立.点评：分析法是基本的数学方法,使用时,要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证法四：（反证法）假设 a2 2b2225 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就a 2b 24 ab825 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 a+b=1,得 b1a ,于是有 a 21a212252可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 a1 20 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2这与a120 冲突.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 a2 2b2 225 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证法五：（放缩法） ab12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2左边a22b22a2b22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ab4225 右边.22点评：依据欲证不等式左边是平方和及a+b=1 这个特点,选用基本不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 22ab2 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -证法六：（均值换元法） ab1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以可设 a1t , b 21t ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2左边a2b2 2 1t2 2 1t22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t5t52t 22525右边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222当且仅当 t=0 时,等号成立.点评：形如 a+b=1 结构式的条件,一般可以采纳均值换元证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）22设 y=a+2+b+2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 a+b=1,有 ya2 23a 22a 22a13 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 2 a 22 a13y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 aR ,所以44213y0 ,即 y25 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22故 a2b2252 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2a, b, c0 ,求证： bcaacabbcabc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证： bcaac2c ,同样的,利用均值不等式,我们可以得到 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 bcacabab c2abc , 即 bcaacabbcabc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 已知x, y0, xy 1 , 求证 11 11 9 .xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证： 11 11 xy1x xy 1xy y42 y x2 x19y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 已知a, b,c0, abc1 ,求3a13b13c1 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由题可得3a123a122当且仅当 3a12 即 a1时等式成立.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理,可得23a13b13c13abc96 . 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故而可知其最大值为6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 已知 xyz 1,求证 x2y 2z213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证：令0 ,且 x1 3, y13, z13,于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 2z212 33222 12322 1 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6 已知 n 是正整数,求证：11311132 333n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证：当 n2 时,有1222112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 3nnnn于是111nn11n1n12 1nn1nn1n1n1 2 11 211 3213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_132333n 31223n1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结：1 、把握好不等式的证明,不等式的证明内容甚广,证明不但用到不等式的性质,不等式证明的技能、技巧,仍要留意到横向结合内容的方方面面.如与数 列的结合,与“二次曲线”的结合,与“三角函数”的结合,与“一元二次方程,一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的相互联系、相互渗透和相互制 约,这些也是近年命题的重点.2、在不等式证明中仍要留意数学方法,如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等,仍要留意一些数学技巧,如数形结合、放缩、分类争论等.3、比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时,常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常用商值比较法,即欲证ab, a0, b0可证 a1 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、基本思想、基本方法 ：用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法.用分析法探究证明的途径, 然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法. “分析法”证明不等式就是“执果索因” ,从所证的不等式动身,不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式,直至找到明显成立的不等式, 书写方法习惯上用“”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原就的详细运用,两个重要策略原就是：正难就反原就： 如从正面考虑问题比较难入手时,就可考虑从相反方向去探究解决问题的方法,即我们常说的逆向思维,由结论向条件追溯.简洁化原就： 寻求解题思路与途径, 常把较复杂的问题转化为较简洁的问题, 在证明较复杂的不等式时, 可以考虑将这个不等式不断的进行变换转化,得到一个较易证明的不等式.凡是“至少”、“唯独”或含有否定词的命题相宜用反证法.换元法（主要指三角代换法） 多用于条件不等式的证明,此法如运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化成简洁的三角问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -含有两上字母的不等式,如可化成一边为零,而另一边是关于某字母的二次式时,这时可考虑判别式法,并留意根的取值范畴和题目的限制条件.有些不等式如恰当的运用放缩法可以很快得证,放缩时要看准目标,做到有的放矢,留意放缩适度.三、解不等式1、解不等式问题的分类(1) 解一元一次不等式(2) 解一元二次不等式(3) 可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式.解分式不等式.解无理不等式.解指数不等式.解对数不等式.解带肯定值的不等式.解不等式组2、解不等式时应特殊留意以下几点：(1) 正确应用不等式的基本性质(2) 正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性(3) 留意代数式中未知数的取值范畴3、不等式的同解性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1fx· gx 0与fx 0fx 0或同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_gx 0gx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2fx· gx 0 与fx 0或fx 0同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_gx 0gx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx3gx 0与fx 0或gx 0fx 0gx 0同解gx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx(4)gx 0与fx 0或gx 0fx 0gx 0同解gx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5|fx| gx 与 gx fx gx 同解 gx 0 6|fx| gx与fxgx 或 fx gx其中 gx 0 . gx 0 同解fx gx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(7) fx gx与fx 0gx 0fx gx 2fx 0或gx 0同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(8) fx gx 与fx 0同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx(9) 当 a1 时, a agxfx与 fxgx 同解,gx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0a1 时, aa与 fx gx 同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(10) 当a 1时, log a fx log a gx 与fxfxgx 0同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当0a1时, log a fx loga gx与fx gx fx 0gx 0同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_步骤：形式：P x0Q x移项,通分（不轻易去分母）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_首项系数符号 >0标准式, 如系数含参数时, 须判定或争论系数的符号,化负为正判定或比较根的大小小结：1 、 带 等号 的分 式 不 等 式 求解 时, 要 注 意 分 母 不 等于0 , 二 次 函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yax 2bxc 的值恒大于 0 的条件是 a0 且0 .如恒大于或等于 0,就 a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且0 .如二次项系数中含参数且未指明该函.是二次函数时,必需考虑二次项系数为 0 这一特殊情形.2、忽视对定义域的考虑以及变形过程的不等价,是解无理不等式的常见错误,因此要强化对转化的依据的摸索.3、数形结合起来考虑,可以简化解题过程,特殊是填空、挑选题,仍可利用图形验证,解题的结果.4、解指数、对数不等式的过程中常用到换元法.底数是参数时,须不重不漏 的分类争论.化同底是解不等式的前提取对数也是解指数、对数不等式的常用 方法之一, 在取对数过程中, 特殊要留意必需考虑变量的取值范畴.当所取对数的底数是字母时,随时要把“不等号是否变向”这一问题斟酌一再.5、解含参数的不等式时, 必需要留意参数的取值范畴,并在此范畴内对参数 进行分类争论. 分类的标准要通过懂得题意 （例如能依据题意挖掘出题目的隐含条件）,依据方法（例如利用单调性解题时,抓住使单调性发生变化的参数值）,依据解答的需要（例如进行不等式变形时必需具备的变形条件）等方面来打算,要求做到不重复、不遗漏.四、含肯定值的不等式1、解肯定值不等式的基本思想: 解肯定值不等式的基本思想是去肯定值,常采纳的方法是争论符号和平方.2、留意利用三角不等式证明含有肯定值的问题|a| |b|a+b|a|+|b|;|a| |b|a b|a|+|b|;并指出等号条件.3、1|fx|<gx gx<fx<gx;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - -