2022年高等数学下知识点总结2.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第八章空间解析几何与向量代数1、二次曲面高等数学（下）学问点主要公式总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2a 21） 椭圆锥面：x 2y 2z 2b 2y 2z 2x 2y 2z 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 椭球面：1a 2b 2c 2x 2y 2z 2旋转椭球面：2ax 2a 2c 21y 2z 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23） 单叶双曲面：ax 21b 2c 2y 2双叶双曲面：2a1b 2c 2x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_224） 椭圆抛物面：zabx 2y 2双曲抛物面（马鞍面） ：z ab22x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2a 25） 椭圆柱面：21b双曲柱面：b 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（二）平面及其方程1、点法式方程：A xx0 B yy0 C zz0 06） 抛物柱面：xay可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法向量： n A, B,C ,过点 x0 ,y0 ,z0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、一般式方程：Axx截距式方程：aByCzD0yz1bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、两平面得夹角：n1 A1, B1, C1 , n2 A2 , B2 , C2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosA1A2B1B2C1C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABCABC222222111222A AB BC C0./A1B1C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212121212A2B2C 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、点P0 x0 ,y 0 , z0 到平面 AxByCzD0 得距离：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax0dBy0Cz0D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2B 2C 2（三） 空间直线及其方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、一般式方程：A1 x A2 xB1 y B 2 yC1 zC 2 zD10D 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、对称式（点向式）方程：x x0 my y0 nz z0 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方向向量：sm, n, p ,过点 x0 ,y 0 ,z0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、两直线得夹角：s1 m1 , n1 , p1 , s2m2 , n2 , p2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosm1m2mn2211n1 n2p21p1 p2mnp222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_L1L2m1m2n1n2p1 p20.L1 / L2m1n1p1m2n2p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、直线与平面得夹角：直线与它在平面上得投影得夹角,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinAmBnCpA 2B 2C 2m 2n 2p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_L /AmBnCp0.LABCmnp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第九章多元函数微分法及其应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、连续：limf x, yf x0 , y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x, y2、偏导数： x0 , y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x x0 , y0 limx 0f x0x, y0 xf x0 ,y0 . f y x0 , y0 limy 0f x0 , y0yf x0 , yy0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、方向导数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ff coslxf cos y其中,为 l 得方向角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、梯度： zf x, y,就 gradfx0 ,y0 f x x0 , y0 if y x0 ,y0 j .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、全微分：设zf x, y ,就 dzz dxz dyxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一） 性质1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间得关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偏导数连续函数可微充分条件必要条件偏导数存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4定义23函数连续2、微分法1）复合函数求导：链式法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 zfu, v, uu x,y, vv x,y ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zzuzv,xuxvxz zuzvyuyvy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二） 应用1）求函数 zf x, y 得极值解方程组f x0f y0求出全部驻点,对于每一个驻点 x0 ,y0 ,令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Af xx x0,y0 , Bf xy x0 , y0 , Cf yy x0 , y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如 ACB0 , A0 ,函数有微小值,如 ACB20 , A0 ,函数有极大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 ACB 20 ,函数没有极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 ACB 20 ,不定.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、几何应用1） 曲线得切线与法平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x曲线:y zx t y t z t ,就上一点M x0 , y0 , z0 （对应参数为t0 ）处得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0y y0z z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_切线方程为：x t0 y t0 z t0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法平面方程为：x t 0 xx0 y t0 yy0 z t 0 zz0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 曲面得切平面与法线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲面:F x ,y , z0 ,就上一点M x0 , y0 , z0 处得切平面方程为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Fx x0 , y0 , z0 xx0 Fy x0 ,y0 , z0 yy0 Fz x0 ,y0 , z0 zz0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法线方程为：x x0y y0z z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Fx x0 , y0 , z0 Fy x0 , y0 , z0 Fz x0 , y0 , z0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第十章重积分（一） 二重积分：几何意义：曲顶柱体得体积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、定义：2、运算：f x, y dDnlimf k ,k k 0 k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1） 直角坐标1 xy2 xb2 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D x, ya1 y,xbx2 yf x,Dydxdydxf x,yd ya1 xd2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D x, ycyd,f x,Dyd xdydyfc1 y x,yd x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 极坐标12 f x, ydxdyd2 f cos,sind可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D,D1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二） 三重积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、定义：f x, y, z d vnlimf k ,0 k 1k ,k vk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、运算：1） 直角坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Df x, y, z d vd xd yz2 x, yz1 x, yf x, y, z d z-“ 先一后二 ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, y, z d vbd zaD Zf x, y, z dx d y-“先二后一 ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 柱面坐标xcosysin,f x, y, zd vf cos,sin, zdddzzz3）球面坐标xr sincosyzr sinr cossin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, y, zd vfr sincos, r sinsin,rcosrsindr dd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（三） 应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲面 S : zf x, y, x, yD 得面积：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1Dz 2xz 2yd x d y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第十一章曲线积分与曲面积分（一） 对弧长得曲线积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、定义：f x, ydsLnlimf i ,i si0 i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设f x,xy 在曲线弧L 上有定义且连续,L 得参数方程为yt,tt , ,其中t,t 在 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上具有一阶连续导数,且2 t 2 t 0 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x,Ly d sf t ,t 2 t 2 td t,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二） 对坐标得曲线积分1、定 义 ： 设L 为 xoy 面 内 从A 到B 得 一 条 有 向 光 滑 弧 , 函 数P x, y, Q x, y 在L 上 有 界 , 定 义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P x,Ly d xnlimP k ,k 0 k 1xk ,Q x ,Ly d ynlimQ k ,k 0 k 1y k 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量形式：Fd rLP x,Lyd xQ x,yd y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、运算：设 P x, y, Q x, y 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 得参数方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x t ,y t ,t : ,其中t ,t 在 , 上具有一阶连续导数,且2 t 2 t 0 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P x,LydxQ x,yd y P t , t t Qt , t t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、两类曲线积分之间得关系：x t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设平面有向曲线弧为L：, L 上点 x,y 处得切向量得方向角为：,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yt 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos2 t t2 t , cos2tt,2t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就PdxQdyL P cosLQ cosd s 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三） 格林公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、格林公式：设区域D 就是由分段光滑正向曲线L 围成,函数P x, y ,Q x, y 在 D 上具有连续一阶偏导数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_QP就有Dxydxd yPd xLQd y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 G 为一个单连通区域,函数P x, y, Q x, y在 G 上具有连续一阶偏导数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_QP就曲线积分xyPdxQdy 在 G 内与路径无关L可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（四） 对面积得曲面积分1、定义：设为光滑曲面,函数f x, y, z 就是定义在上得一个有界函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义f x, y, z dSnlimf i ,i ,0 i 1i Si可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、运算：“一单二投三代入”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_: zzx, y , x, yDxy ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, y, z dSD x yf x, y, zx, y12zx x, y2zyx, y d xd y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（五） 对坐标得曲面积分1、定义：设为 有 向 光 滑 曲 面 , 函 数P x, y, z, Q x, y, z, R x, y, z就 是 定 义 在上 得 有 界 函 数 , 定 义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_R x, y, zd xdynlimRi ,i ,0 i 1i Si xy同理,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Px,y, zdydznlimPi ,i ,0i 1i Si yz.Q x, y, zd zdxnlimRi ,i ,0 i 1i Si zx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）12 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PdydzQdzdxR d xdyPdydzQdzdxR d xdyPdydzQdzdxR dxdy12运算：“ 一投二代三定号”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_: zzx, y, x, yDxy ,zz x, y 在D xy上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ,R x, y, z在上 连 续 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_R x, y, zd xdyDx yR x, y, zx, yd xdy ,为上侧取“+”,为下侧取“-”、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、两类曲面积分之间得关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P d yd zQd zd xRdxd yPcosQ cosRcosd S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中,为有向曲面在点x, y, z 处得法向量得方向角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（六） 高斯公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑得闭曲面所围成 ,得方向取外侧 ,函数P, Q, R 在上有连续得一阶偏导数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有PQRxyzd x d y d zP d y d zQ d zd xRdx d y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或PQxyRd x d y d z zPcosQ cosRcosd S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、通量与散度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通量：向量场A P, Q , R通过曲面指定侧得通量为：Pd y dzQd zd xRd xd y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_散度：div APQRxyz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（七）斯托克斯公式1、斯 托 克 斯 公式 ：设 光 滑 曲面得 边 界就是 分 段 光 滑 曲线 ,得 侧 与得正向符合右手法就,Px, y, z, Qx, y, z, Rx, y, z 在包含在内得一个空间域内具有连续一阶偏导数,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_RQ d y d zyzP R d zd xz xQ Pd xd yxyP d xQ d yRd z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为便于记忆 ,斯托克斯公式仍可写作:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d y d zx Pd z d xy Qd x d yz RP d xQ d yR d z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、环流量与旋度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_环流量：向量场A P,Q, R 沿着有向闭曲线得环流量为P d xQ d yR d z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_旋度：rot A