2022年高等数学导数的意义求导法则与高阶导数知识与练习.docx
精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -导数的意义基本学问1 导数、单侧导数、导函数的定义：左、右导数导函数2导数的几何物理意义：几何意义 ：表示曲线在点处的切线斜率,即其中是切线的倾角.物理意义：表示做变速直线运动的物体在时刻的瞬时速度,即.3在点可导的性质：性质 1（必要条件）在点可导在点连续,即： 可导连续, 不连续不行导.性质 2（充要条件）依此用于判定连续函数在分段点的可导性.性质 3在点可导且：当有当有即的符号指示了在点变化方向；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4两个结论： 1）可导的偶（奇）函数的导数是奇（偶）函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_周期的周期函数.2 ）可导的周期函数的导数仍为具有相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面给出结论 1 的证明：设为偶函数,即又可导,依据导数定义,即为偶函数.求导的基本学问1. 求导法就（四就运算法就）：如都在点具有导数,那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在具有导数,且2. 反函数的求导法就：如在区间内单调,可导且,就它的反函数在区间内也可导,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -即“反函数的导数等于直接函数导数的倒数”.3. 复合函数的求导法就：如可导,就复合函数在点可导,且4. 常用求导公式：（略）5. 补充两个结论： 点连续且,就点可导点可导.点连续且,就点可导点可导且.依此,可便利的判定在一点的可导性.点可导,点连续但不行导,就在点可导即如在点不行导,如在点可导且依此,可用于判定可导函数与连续函数之积函数在一点可导性.证明：（或）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -有（或）（或）点可导点可导且点导数点导数.点可导存在或即.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -设由知点可导且设点可导,反证之,如由知,由、点可导且知点可导与条件点连续冲突高阶导数基本学问1. 高阶导数定义 :二阶导数：阶导数：2. 高阶导数的基本公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（任意数）、简记为、,、阶可导,重点难点1. 求一给定的函数的任意阶导数即,常用如下方法：（1）归纳法：先逐一求出的一、二、三阶导数,然后正确归纳的公式（必要时用数学归纳法证明之）.（2）分解法：通过恒等变形将分解成,求出、,就有.（3）用莱布尼兹公式求乘积函数的阶导数.（4）利用简洁的初等函数的阶导数公式.2. 求高阶导一般比较麻烦, 应先化简变成基本公式中的形式,再套用公式.例（ 1）求有理分式的高阶导时,应先化为真分式和多项式之和,而真分式分解成如干次数较低的分式之和,此后再求导.（2）求三角函数的高阶导时,通过倍角公式或积化和差将其化为如干个基本三角函数的代数和,再行求导.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（3）反三角函数的高阶导数时,因反双曲、对数函数的一阶导都是代数函数,它们的高阶导即求代数函数的低一阶的导数.3. 运算带有或分段函数的复合函数的二阶导数时,应先把复合函数按分段函数正确表达,再逐次求导.在分段点如一阶导不存在,就二 阶导不必运算. 如存在, 应依据一阶导的分段表达式再按导数定义进行运算,步骤比较多,不要遗漏.习题选解1.求以下函数的二阶导数：（ 10）解：（采纳逐阶求导法解之）（ 11） 解：3. 如存在,求以下函数的二阶导数：（ 1）解：（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解：4. 试从导出：（ 1）（ 2）证明：（ 1）（2） 注：、等仍是的函数 6. 验证（、常数）满意关系式.证明： 只须算出,再验证之 8. 求以下函数的阶导数的一般表达式：（ 2）解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 4）解：由乘积函数的莱布尼兹公式和得：9. 求以下函数所指定的阶的导数：（ 2）求.解： 的高阶导数都为零,应当用莱布尼兹公式运算此题在线检测1. 设有阶导数,求证：.2. 求以下函数的阶导数：（ 1）（2）（3）3. 求在处的阶导数.4. 设,具有二阶导,求.【答案： 1. 略2. （1） 提示：,留意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2） 提示：变形（3） 提示：用莱布尼兹公式 3.4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
