2022年必修数列知识点总结及题型归纳 .docx

精品_精品资料_数列一、数列的概念（ 1）数列定义：按肯定次序排列的一列数叫做数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）通项公式的定义：假如数列 an 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个数列的通项公式.例如： 1 , 2 , 3 , 4, 5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1： 11 1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_, , , ,2 3 4 5（ 3）数列的函数特点与图象表示：456789序号： 123456项 ： 456789（ 4）数列分类：按数列项数是有限仍是无限分：有穷数列和无穷数列.按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摇摆数列.例：以下的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列？（ 1）1, 2, 3,4, 5, 6,210, 9, 8, 7, 6, 5,3 1, 0, 1, 0, 1, 0,4a, a, a, a, a,S1 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5）数列 an 的前 n 项和Sn 与通项a n 的关系： anSnSn 1n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：已知数列 an 的前 n 项和 sn2n23,求数列 an 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、等差数列题型一 、等差数列定义：一般的,假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anan 1dn2 或 an 1andn1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：等差数列an2n1 , anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型二 、等差数列的通项公式：ana1n1d .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性： d0 为递增数列, d0 为常数列, d0为递减数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. 已知等差数列an中, a7a916, a41,就a12 等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A15B30C31D 64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. an 是首项a11,公差 d3 的等差数列,假如 an2022,就序号 n 等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A） 667（ B） 668（ C） 669（D） 670可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型三 、等差中项的概念：定义：假如 a , A , b 成等差数列,那么A叫做 a 与 b 的等差中项.其中Aab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a , A , b 成等差数列Aab 2即： 2an 1anan 2（ 2anan man m ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1设an 是公差为正数的等差数列,如a1a2a315 , a1a2a380 ,就a11a12a13（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 120B 105C 90D 752. 设数列 an 是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为 48,就它的首项是（）A 1B.2C.4D.8题型四 、等差数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）在等差数列an中,从第 2 项起,每哪一项它相邻二项的等差中项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）在等差数列an中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）在等差数列a中,对任意 m , nN , aanmd , danammn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）在等差数列nnman中,如 m, n , p , qN 且 mnpq ,就 amnmanapaq .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型五 、等差数列的前 n 和的求和公式： Snna1anna1nn1) d1 n 2（ a1d ） n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222 SAn 2Bn A, B为常数a是等差数列 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递推公式： Sn a1an n 2aman m21 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. 假如等差数列an中, a3a4a512,那么 a1a2.a7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A） 14（B） 21（ C） 28（ D） 35可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设 Sn 是等差数列an的前 n 项和,已知a23 ,a611,就S7 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 13B 35C 49D 63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设等差数列an 的前 n项和为Sn ,如S972 , 就 a2a4a9 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 如一个等差数列前3 项的和为 34,最终 3 项的和为 146,且全部项的和为 390,就这个数列有 （）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 设等差数列a的前 n项和为 S ,如 a5a 就 S9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn53S5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知 an数列是等差数列,a1010 ,其前 10 项的和S1070 ,就其公差 d 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2112A. BC.D.3333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 设 an为等差数列, Sn 为数列 an的前 n 项和,已知 S77, S15 75,Tn 为数列n 项和,求 Tn.Sn的前n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型六 . 对与一个等差数列,Sn , S2nSn , S3nS2n 仍成等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. 等差数列 an 的前 m项和为 30,前 2m项和为 100,就它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602. 一个等差数列前 n 项的和为 48,前 2 n项的和为 60,就前 3 n 项的和为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和, S414,S10S730,就S9 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4（ 06 全国 II ）设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和,如S3 1 ,就S63S6 S12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 3 10B. 13C 18D 19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型七 判定或证明一个数列是等差数列的方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义法：an 1and常数）（ nN ）an 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中项法：2an 1anan 2（nN an是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n通项公式法：anknbk,b为常数an是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前 n 项和公式法：SAn2Bn A, B为 常 数an 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n24 ,就数列 an 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n2 ,就数列 an 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 数列an 满意a1 =8, a42,且 an 22an 1an0 （ nN）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求数列an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型八 . 数列最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）a10 , d0 时,Sn 有最大值.a10 , d0 时,Sn 有最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n（ 2）S 最值的求法：如已知S , S 的最值可求二次函数San2bn 的最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn可用二次函数最值的求法（nN ）.或者求出an中的正、负分界项,即：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如已知an ,就Sn 最值时 n 的值（ nN ）可如下确定an0或an 10an0.an 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1等差数列an 中,a10,S9S12 ,就前项的和最大.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设等差数列an的前 n 项和为Sn ,已知a312,S120, S130可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求出公差 d 的范畴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_指出S1,S2,S12 中哪一个值最大,并说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知 an 是等差数列,其中a131,公差 d8 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）数列 an 从哪一项开头小于0？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）求数列 an 前 n项和的最大值,并求出对应n 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型九 . 利用 anS1nSnSn 1 n1求通项2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 已知数列an 的前 n 项和 Snn 24n1,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn=2n ,求数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23. 已知数列an 中, a13,前 n和 Sn1 n21 an11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证：数列an 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求数列an 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设数列 an 的前 n 项和Snn ,就a8 的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A） 15B 16C49（D） 64等比数列等比数列定义：一、递推关系与通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递推关系：通项公式：an 1aanqn 1aq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推广： ann1maqn m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 在等比数列an中, a14, q2 ,就 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 在等比数列an 中, a22 , a554 ,就a8 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 在各项都为正数的等比数列 an中,首项a13,前三项和为21,就 a3a4a5（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 33B 72C 84D 189可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、等比中项：如三个数a, b, c 成等比数列,就称 b 为 a与c 的等比中项,且为 bac,注： b 2ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是成等比数列的必要而不充分条件.例： 1. 23 和 23 的等比中项为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A1 B1C 1 D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、等比数列的基本性质,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. （ 1） 如mnpq,就 amana paq 其中m, n, p,qN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） qn man2, anaman man m nN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） an为等比数列,就下标成等差数列的对应项成等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4） an既是等差数列又是等比数列an 是各项不为零的常数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1在等比数列a中, a 和 a 是方程 2 x25 x10 的两个根 , 就 aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n11047可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 A2 B2 21C21 D2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 在等比数列an中, a1a633, a3a432, anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 Tnlg a1lg a2lg an ,求Tn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 等比数列 an 的各项为正数,且a5a6a4a718,就log3 a1log3 a2log3 a10（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 12B10C 8D 2+ log3 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、等比数列的前n 项和,Snna1na1 1q 1qq1a1an q1qq1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. 已知等比数列 an 的首相 a15 ,公比 q2 ,就其前 n 项和 Sn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设等比数列 an 的前 n 项和为Sn ,已 a26, 6a1a330 ,求an 和 Sn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设f n2242721023 n nN ,就f n 等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10A 2 8n17B 2 8n 117C 2 8n 317D 2 8n 417可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五.等比数列的前 n 项和的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如数列a n 是等比数列,Sn 是其前 n 项的和, kN * ,那么Sk , S2kSk , S3kS2k成等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. 一个等比数列前 n项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,就前 3 n 项的和为（）A 83B 108C 75D 63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知数列an 是等比数列,且 Sm10,S2m30,就S3m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六. 等比数列的判定法an 1（ 1）定义法：anq（常数）an为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）中项法：2an 1anan 2 an0an 为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）通项公式法： ankqnk, q为常数）an 为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）前 n 项和法： Snk1qn （k,q为常数）an 为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Snkkqn（k, q为常数）an为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_七. 利用 anS1nSnSn 1 n1求通项2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. 数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an 1 an 的通项公式1Sn , n=1, 2, 3,求 a2, a3, a4 的值及数列3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知数列a的首项 a5, 前 n项和为 S ,且 SSn5 nN,证明数列a1 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*n1nn 1nn等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求数列通项公式方法（ 1）公式法（定义法）依据等差数列、等比数列的定义求通项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1 已知等差数列 an 满意： a37, a5a726, 求 an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知数列 an 满意 a12,anan 11n1 ,求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 数列 an满意 a1 =8, a42,且 an 22an 1an0 （ nN）,求数列an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知数列 an 满意 a1112,an 1an2 ,求数列an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 设数列 an 满意 a10 且11an 111 an1 ,求 an的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知数列 an 满意 a12, an3an1 n1) ,求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 已知数列 an 满意 a12, a24且an 2anan 1（ nN）,求数列an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 已知数列 an 满意 a12,且 an 15n 12an5n （ nN）,求数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 已知数列 an 满意 a12,且 an52n 12 3an52n2) （ nN ）,求数列an的通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1项公式.（ 2）累加法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、累加法适用于：an 1anf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2a1f 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 an 1anf n n2 ,就a3a2f 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2an 1anf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边分别相加得an 1a1nf nk 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1.已知数列 an1 满意 a1, 2an 1an14n 2,求数列 an 1的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知数列 an 满意an 1an2n1,a11,求数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知数列 an 满意an 1a23n1,a13 ,求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设数列 an 满意 a12 , an 1ann2n 123,求数列 an 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）累乘法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_适用于：an 1f n an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 an 1f n ,就 a2a3f 1f 2,an 1f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,ana1a2an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. 已知数列 a 满意 a2n15na , a3 ,求数列 a 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知数列an 满意 a12, an 1