2022年最新人教版高中数学必修知识点总结- .docx

精品_精品资料_一、集合有关概念1. 集合的含义高 一 数 学 必 修 1 各 章 知 识 点 总 结第一章 集合与函数概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合H,A,P ,Y(3) 元素的无序性 : 如： a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合3. 集合的表示： 如： 我校的篮球队员 , 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法.留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N正整数集N* 或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R1 ） 列举法： a,b,c 2） ） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.xR| x-3>2 ,x| x-3>23） ） 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 4 ） Venn 图:4 、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例： x|x 2= 5 二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集留意： AB 有两种可能（ 1） A 是 B 的一部分,.（2 ）A 与 B 是同一集合.反之 : 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A, 记作 AB 或 BA 2 “相等”关系： A=B5 5 ,且 5 5 ,就 5=5实例：设A=x|x 2-1=0B=-1,1“元素相同就两集合相等” 即： 任何一个集合是它本身的子集.AA真子集 :假如 AB,且 AB 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作AB或BA假如AB, BC ,那么 AC 假如 AB同时 BA 那么 A=B3.不含任何元素的集合叫做空集,记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.三、集合的运算运算交集并集补集类型定由全部属于 A 且属由全部属于集合 A 或设 S 是一个集合, A 是义于 B 的元素所组成属于集合 B 的元素所S 的一个子集,由 S 中的集合 ,叫做 A,B 的组成的集合, 叫做 A,B全部不属于A的元素交集 记作 AB的并集 记作： AB组成的集合, 叫做 S 中（读作 A 交 B）, （读作 A 并 B）,子集 A 的补集 （或余即 AB=x|xA , 即 AB =x|xA,集）且 xB或 xB 记作 CS A ,即CSA= x| xS,且xA韦ABABSA恩有 n 个元素的集合,含有2 n 个子集, 2 n -1 个真子集, 2 n -2 个非空真子集图示图 1图 2性AA=AAA=ACuACu BA= A=A= Cu ABAB=BAAB=BACuACu BABAAB= Cu AB质ABBABBAC uA=UAC uA=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、函数的有关概念1 函数的概念：设A 、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯独确定的数fx 和它对应,那么就称 f ：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=fx ,x A 其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域.与x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 fx| x A 叫做函数的值域留意：1 定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1 分式的分母不等于零.(2) 偶次方根的被开方数不小于零.(3) 对数式的真数必需大于零.(4) 指数、对数式的底必需大于零且不等于1.5 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的.那么, 它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .(6) 指数为零底不行以等于零,(7) 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义.相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）.定义域一样 两点必需同时具备见课本 21 页相关例 2 2 值域 : 先考虑其定义域(1) 观看法(2) 配方法(3) 代换法3. 函数图象学问归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中,以函数y=fx , x A 中的 x 为横坐标,函数值y 为纵坐标的点 Px, y的集合 C,叫做函数 y=fx,x A 的图象 C 上每一点的坐标 x,y 均满意函数关系 y=fx ,反过来, 以满意 y=fx 的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 x,y ,均在 C 上 .(2) 画法A 、描点法： B、 图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4. 区间的概念（ 1 ）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（ 2 ）无穷区间（ 3 ）区间的数轴表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 映射一般的,设 A 、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就f,使对于集合 A 中的任意一个元素x,在集合 B 中都有唯独确定的元素y 与之对应,那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.记作“ f（对应关系） ：A（原象）B（象）”对于映射 f ：A B 来说,就应满意：(1) 集合 A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯独的.(2) 集合 A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个.(3) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合A 中都有原象.6. 分段函数(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.(2) 各部分的自变量的取值情形(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集 补充：复合函数假如 y=fuuM,u=gxx A, 就 y=fgx=Fxx A称为 f、g 的复合函数.二函数的性质1. 函数的单调性 局部性质 （ 1 ）增函数设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1, x2 ,当 x 1<x 2 时,都有 fx 1<fx 2,那么就说fx 在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=fx 的单调增区间 .假如对于区间D 上的任意两个自变量的值x1 ,x 2,当 x 1<x 2 时,都有 fx 1 fx 2,那么就说 fx 在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 .留意：函数的单调性是函数的局部性质.（ 2 ） 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性, 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的, 减函数的图象从左到右是下降的 .3. 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：任取 x 1, x 2 D,且 x 1<x 2 . 作差 fx 1 fx 2.变形（通常是因式分解和配方） .定号（即判定差 fx 1 fx 2 的正负）.下结论（指出函数fx 在给定的区间D 上的单调性） (B) 图象法 从图象上看升降 (C) 复合函数的单调性复合函数 f gx 的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu 的单调性亲密相关,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其规律：“同增异减”留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 .8 函数的奇偶性（整体性质）（ 1 ）偶函数一般的,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 f x=fx ,那么 fx 就叫做偶函数（ 2 ）奇函数一般的,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 f x= fx ,那么 fx 就叫做奇函数（ 3 ）具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于y 轴对称.奇函数的图象关于原点对称 利用定义判定函数奇偶性的步骤：1 第一确定函数的定义域,并判定其是否关于原点对称.2 确定 f x 与 fx 的关系.3 作出相应结论：如f x =fx或 f x fx= 0 ,就 fx 是偶函数.如f x = fx或 f x fx = 0,就 fx 是奇函数留意： 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域是否关于原点对称,如不对称就函数是非奇非偶函数.如对称, 1 再依据定义判定 ; 2 由 f-x ±fx= 0 或 fx f-x= ±1 来判定 ; 3 利用定理,或借助函数的图象判定 .9 、函数的解析表达式（ 1） .函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间的对应法就,二是要求出函数的定义域.（ 2 ）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法10 函数最大（小）值（定义见课本p36页）1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2利用图象求函数的最大（小）值3利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数 y=fx在区间 a ,b 上单调递增, 在区间 b ,c 上单调递减就函数y=fx在 x=b处有最大值 fb .假如函数 y=fx在区间 a ,b 上单调递减, 在区间 b ,c 上单调递增就函数y=fx在 x=b处有最小值 fb .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1. 根式的概念：一般的,假如且 n N *其次章 基本初等函数xna ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中n >1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_负数没有偶次方根. 0 的任何次方根都是0,记作 n 00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n 是奇数时,n ana ,当 n 是偶数时,n an| a |aa0aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a nn a m a0, m, nmN * , n1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_amn11aanma n0, m, nN * ,n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 的正分数指数幂等于0 , 0 的负分数指数幂没有意义3. 实数指数幂的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r（ 1 ） aara r s·a0,r , sR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a r s（ ）（ 3 ）ab ra rsaa r a sa0,r , s0,r , sR .R 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）指数函数及其性质1 、指数函数的概念：一般的,函数是自变量,函数的定义域为Ryax a0, 且a1 叫做指数函数,其中x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和1 2 、指数函数的图象和性质a>10<a<166554433221 11 1-4-2246-4-224600-1-1定义域 R定义域 R值域 y 0值域 y 0在 R 上单调递增在 R 上单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_非奇非偶函数非奇非偶函数 函数图象都过定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数图象都过定点（ 0 ,1 ）留意：利用函数的单调性,结合图象仍可以看出：点（ 0 , 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1 ）在 a , b 上,f xa x a0且a1 值域是f a, fb 或fb, fa .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2 ）如 x0 ,就f x1 . fx取遍全部正数当且仅当xR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3 ）对于指数函数f x ax a0且a1) ,总有f 1a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、对数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一）对数1. 对数的概念：一般的,假如axN a0, a1 ,那么数 x 叫做以 a 为底 N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的对数,记作： xlog a N（ a 底数, N 真数,log aN 对数式 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 1留意底数的限制 a0 ,且 a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a xNlog a Nx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3留意对数的书写格式两个重要对数：1常用对数：以 10 为底的对数lg Nlog a N.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数ln N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_指数式与对数式的互化幂值真数aab NlogN b底数指数对数（二）对数的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 a0 ,且 a1 , M0 , N0 ,那么：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1log a MM·N log a M log a N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2log aNlog a M log a N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n3log a Mn log a M nR 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：换底公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a blog c b（ alog c a0 ,且 a1. c0 ,且 c1 . b0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用换底公式推导下面的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n（ 1 ） logam bn logb .（2 ） logb m1log b a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa（二）对数函数1 、对数函数的概念：函数ylog axa0 ,且 a1 叫做对数函数,其中x 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_自变量,函数的定义域是（0 , + ）5留意： 1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,留意辨别.如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2log 2 x , ylogx 5都不是对数函数,而只能称其为对数型函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2对数函数对底数的限制：2 、对数函数的性质：a0 ,且 a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a>10<a<1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32.521.51 132.521.51 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-100.5123456780.5-101 12345678可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-0 .51-1-1 .5-2-2 .5-0 .5-1-1 .5-2-2 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域 x 0定义域 x 0值域为 R值域为 R在 R 上递增在 R 上递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数图象都过定点（ 1 ,0 ）函 数 图 象 都 过 定 点（1 ,0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三）幂函数1 、幂函数定义： 一般的, 形如 y2 、幂函数性质归纳x aR 的函数称为幂函数, 其中为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1 ）全部的幂函数在（ 0, + ）都有定义并且图象都过点（1 , 1 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2 ）0 时,幂函数的图象通过原点, 并且在区间0, 上是增函数 特殊的,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当1时,幂函数的图象下凸.当（ 3 ）0 时,幂函数的图象在区间0 0,1时,幂函数的图象上凸. 上是减函数 在第一象限内, 当 x 从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限的靠近y 轴正半轴,当x 趋于时,图象在 x 轴上方无限的靠近 x 轴正半轴第三章函数的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、方程的根与函数的零点1 、函数零点的概念：对于函数yf x xD ,把使f x0 成立的实数 x 叫可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_做函数 yf x xD 的零点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 、函数零点的意义：函数yf x 的零点就是方程f x0 实数根,亦即函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 的图象与 x 轴交点的横坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即：方程f x0 有实数根函数 yf x 的图象与x 轴有交点函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 有零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 、函数零点的求法：1（代数法）求方程f x0 的实数根.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 （几何法） 对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y起来,并利用函数的性质找出零点4 、二次函数的零点：f x 的图象联系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数 y2axbxca0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1 ）,方程ax 2bxc0 有两不等实根, 二次函数的图象与x 轴有两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交点,二次函数有两个零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2 ）,方程ax 2bxc0 有两相等实根, 二次函数的图象与x 轴有一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（ 3 ）,方程 ax函数无零点bxc0 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点, 二次可编辑资料 - - - 欢迎下载