k52005年南京市高三二轮复习专题讲座--函数(孙旭东)(共11页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考20042005学年南京市高三教师寒假培训材料之一高三二轮复习专题讲座专题一 函数南京师范大学附属中学 孙旭东一、高考考纲要求考点高考要求1映射的概念了解2函数的概念理解3函数的单调性的概念了解4简单函数单调性的判断掌握5函数的奇偶性了解6反函数的概念了解7互为反函数的函数图象间的关系了解8简单函数的反函数的求法掌握9分数指数幂的概念理解10有理数指数幂的运算性质掌握11指数函数的概念、图象和性质掌握12对数的概念理解13对数的运算法制掌握14对数函数的概念、图象和性质掌握15运用函数的性质解决简单的实际问题掌握说明：1了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中直接应用；2理解和掌握：要求对所列知识内容有较为深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题；3灵活和综合运用：要求系统的掌握知识的内在联系，能够运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题（以下两点分析主要针对的是2004年全国各地的高考试题，共15套）二、高考考点分析：在2004年全国各地的高考题中，考查函数的试题或与函数有关的试题大约有56道，在150分中约占25分到30分对函数，常常从以下几个方面加以考查1对函数的基本性质进行考查在2004年的高考题中，对函数性质的考查大致分布如下表：知识点函数的解析式定义域和值域（包括最大值和最小值）函数的单调性函数的奇偶性和周期性函数的反函数题量27335对这些知识考查，以选择题和填空题为主，同时以二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和一些分段函数，简单的函数方程为背景，难度以中等题和容易题为主，如：例1（重庆市）函数的定义域是（ D ）A、 B、 C、 D、例2（天津市）函数（）的反函数是（ D ）A、B、C、 D、也有个别小题的难度较大，如例3（北京市）函数其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定，给出下列四个判断： 若，则 若，则 若，则 若，则 其中正确判断有（ B ） A、 1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个分析：若，则只有这一种可能和是正确的 2对数形结合思想、函数图象及其变换的考查对图象的考查有6道试题，也以小题为主，难度为中等例4（上海市）设奇函数f(x)的定义域为-5，5若当x0，5时f(x)的图象如右图，则不等式f(x)<0的解是例5（上海市）若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到，则f（x）为（ A ） A、10-x-1 B、10x-1 C、1-10-x D、1-10x 3对函数思想的考查利用函数的图象研究方程的解；利用函数的单调性证明不等式（常常利用函数的导数来判断和证明函数的单调性）；利用函数的最值说明不等式恒成立等问题在全部考题中，有7道小题考查了用函数研究方程或不等式的问题，有14道大题考查了函数与方程、不等式、数列等的综合问题例6（1）（浙江省）已知则不等式5的解集是 （2）（全国卷3）设函数则使得f(x)1的自变量x的取值范围为（ A ）A、(-,-20,10 B、(-,-20,1 C、(-,-21,10 D、-2,01,10例7（上海市）已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2（x）的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）= f1（x）+ f2（x） （1）求函数f（x）的表达式；（2）证明：当a>3时，关于x的方程f(x)= f(a)有三个实数解解：（1）由已知,设f1(x)=ax2，由f1(1)=1，得a=1，故f1(x)= x2 设f2(x)=(k>0)，它的图象与直线y=x的交点分别为A(，)、B(,) 由=8，得k=8，故f2(x)=所以f(x)=x2+（2）证法一：由f（x）=f（a）得x2+=a2+， 即=x2+a2+ 在同一坐标系内作出f2(x)=和f3(x)= x2+a2+的大致图象，其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3(x)的图象是以(0，a2+)为顶点，开口向下的抛物线 因此,，f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点，即f(x)=f(a)有一个负数解 又因为f2(2)=4,，f3(2)= 4+a2+ 当a>3时，f3(2)f2(2)= a2+8>0, 所以当a>3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2，f(2)在f2(x)图象的上方 所以f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)=f(a)有两个正数解 因此，方程f(x)=f(a)有三个实数解证法二：由f(x)=f(a)，得x2+=a2+， 即(xa)(x+a)=0，得方程的一个解x1=a 方程x+a=0化为ax2+a2x8=0，由a>3，=a4+32a>0，得x2=， x3=， 因为x2<0, x3>0, 所以x1 x2，且x2 x3 若x1= x3，即a=，则3a2=， a4=4a， 得a=0或a=，这与a>3矛盾，所以x1 x3 故原方程f(x)=f(a)有三个实数解例8（福建高考题）已知f(x)=在区间1，1上是增函数（）求实数a的值组成的集合A；（）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（）f(x)=4+2 f(x)在1，1上是增函数，f(x)0对x1，1恒成立，即x2ax20对x1，1恒成立 设(x)=x2ax2，方法一： 1a1，对x1，1，只有当a=1时，f(-1)=0以及当a=1时，f(1)=0A=a|1a1.方法二： 或 0a1或1a0 1a1对x1，1，只有当a=1时，f(1)=0以及当a=1时，f(1)=0，A=a|1a1（）由=a2+8>0，x1，x2是方程x2ax2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=2，从而|x1x2|=1a1，|x1-x2|=3要使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，当且仅当m2+tm+13对任意t1，1恒成立，即m2+tm20对任意t1，1恒成立. 设g(t)=m2+tm2=mt+(m22)，方法一： g(1)=m2m20且g(1)=m2+m20，m2或m2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2.方法二：当m=0时，显然不成立；当m0时，m>0，g(1)=m2m20 或m<0，g(1)=m2+m20 m2或m2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t-1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2.说明：本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力三、高考热点分析 函数几乎贯穿了高中数学的始末，它与高中数学的每一部分内容几乎都有联系对函数的认识，应该包含对函数的概念和性质的理解；对二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数和分段函数的概念和性质的理解；函数图象的变换和应用；建立函数模型解决问题的意识等在复习过程中，以下几点值得重视：1重视对函数概念和基本性质的理解包括定义域、值域（最值）、对应法则、对称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、反函数、图象变换、基本初等函数（常常是载体）等研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意函数图象（形）的作用对这部分知识的考查，除了一部分比较简单的小题直接考查函数某一方面的性质外，常常是对函数综合的类型较多（中等难度题，以小题和前三道大题为主），包括函数内部多种知识的综合，函数同方程、不等式、数列的综合例1（北京市）函数在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是（ D ） A. B. C. D. 说明：涉及二次函数的单调性、反函数的概念、充分必要条件等知识例2 （福建省）已知函数y=log2x的反函数是y=f1(x)，则函数y= f1(1x)的图象是（ C ）例3（全国高考题3）已知函数y=f(x)是奇函数，当x0时，f(x)=3x-1，设f(x)的反函数是y=g(x)，则g(-8)=_-2_例4（湖北省）函数上的最大值和最小值之和为a，则a的值为（ B ）A、B、C、2D、4例5（北京市）在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最大 值（填“大”或“小”），且该值为-3例6（湖南省）设函数则关于x的方程解的个数为（ C ）A、1B、2C、3D、4例7（江苏省）设k>1，f(x)=k(x-1)(xR) 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（ B ）A、3 B、 C、 D、例8（上海市）记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg(xa1)(2ax)(a<1) 的定义域为B（1）求A；（2）若BA, 求实数a的取值范围解：（1）20，得0， x<1或x1，即A=(，1)1，+ )（2）由(xa1)(2ax)>0，得(xa1)(x2a)<0因为a<1，所以a+1>2a，故B=(2a，a+1)因为BA，所以2a1或a+11，即a或a2，而a<1，所以a<1或a2，故当BA时，实数a的取值范围是(，2 ，1) 例9（2003年全国理科高考题）已知 设P：函数在R上单调递减.Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围.解：函数在R上单调递减不等式 2重视利用导数研究函数的单调性等性质，进而证明一些不等式或转化一些不等式恒成立问题例10（全国高考题1）已知在R上是减函数，求的取值范围.分析：函数在R上递减等价于恒成立解：函数f(x)的导数：当（）时，是减函数. 所以，所求的取值范围是（ 说明：这类问题在2004年全国各地的高考题中大量出现，需重视例11（重庆市）设函数（1）求导数；并证明有两个不同的极值点； （2）若不等式成立，求的取值范围解：（1） 因此是极大值点，是极小值点.（2）因： 又由（I）知，代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得 例12（2003年江苏高考题）已知为正整数. （）设； （）设证明：（）因为，所以（）对函数求导数: 即对任意四、二轮复习建议（正文用宋体五号字）1进一步加强对基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练（在函数性质和函数与其他知识的小综合上要多加训练，这是关键）2在二轮复习过程中，做两件事情：一是分专题讲解“函数、导数与不等式”（重点）、“函数与数列”，二是在整个复习过程中，不断渗透函数的思想方法和数形结合的思想方法 一些备选例题：1（2000年春季）已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（ A ） 0 1 2 xyA、b(-，0)B、 b(0,1)C、 b(1,2)D、 b(2,+)分析：显然，（想方程）方程f(x)=0的根为0、1、2，所以，可以设f(x)=ax(x-1)(x-2)，与f(x)=ax3+bx2+cx+d比较可得：b=-3a（想不等式）又x>2时，有f（x）>0，于是有a>0，故b<0.2（2000年上海）已知函数f(x)=,x.（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意的x,f(x)>0恒成立，试求a的取值范围分析：本题考查求函数的最值的方法，以及等价变换和函数思想的运用当a=时，f(x)=，当且仅当时等号成立，而，也就是说这个最小值是取不到的解：(1)当a=时，f(x)=，函数f(x)在区间上为增函数（证明略），所以当x=1时，取到最小值f(1)=3.5.(2)解法一：f(x)>0恒成立，就是x2+2x+a>0恒成立，而函数g(x)=x2+2x+a在上增函数，所以当x=1时，g(x)取到最小值3+a，故3+a>0，得：a>-3解法二：f(x)>0恒成立，就是x2+2x+a>0恒成立，即a>-x2-2x恒成立，这只要a大于函数-x2-2x的最大值即可而函数-x2-2x在上为减函数，当x=1时，函数-x2-2x取到最大值-3，所以a>-3说明：函数、方程不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题3某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间t（小时，且规定早上6时t0）的函数关系为W100水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出?分析：本题主要考查由实际问题建立函数关系式、并利用函数关系解决实际问题.解本题时, 在建立函数关系式后,根据题意应有0y300对t恒成立（注意区分不等式恒成立和解不等式的关系）解：设进水量选第x级，则t小时后水塔中水的剩余量为y10010xt10t100，且0t16根据题意0y300，010010xt10t100300由左边得x110（）110，当t4时，110有最大值35x35由右边得x1，当t16时，1有最小值475，x475综合上述，进水量应选为第4级说明：a为实数，函数f(x)定义域为D，若a>f(x)对恒成立，则a>f(x)的最大值；若a<f(x)对恒成立，则a<f(x)的最小值4设是定义在-1，1上的偶函数，与的图象关于直线对称且当时，（1）求函数的表达式；（2）在或的情况下，分别讨论函数的最大值，并指出为何值时，的图像的最高点恰好落在直线上分析：（1）注意到是定义在区间上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出在区间上的解析式，在区间上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求简答：（2）因为为偶函数，所以，（）的最大值，必等于在区间上的最大值故只需考虑的情形，此时，对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性因此，可以求函数的导数简答：如果可解得：； 如果，可解得：，与矛盾 故当时，函数的图像的最高点恰好落在直线上说明：（1）函数的单调性为研究最值提供了可能；（2）奇偶性可以使得我们在研究函数性质时，将问题简化到定义域的对称区间上5已知函数 (b、c为常数),() 若在x=1和x=3处取得极值，试求b、c的值；()若在上单调递增且在上单调递减,又满足，求证：；() 在（）的条件下，若，试比较与的大小，并加以证明解： ()，由题意得:1和3是方程的两根，解得()由题得:当时，；时, 是方程的两根，则 ,.() 在()的条件下,由上一问知即所以专心-专注-专业