2022年高中数学必修常考题型一元二次不等式及其解法.docx
精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【学问梳理】一元二次不等式及其解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 一元二次不等式我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式,称为一元二次不等式,即形如 ax2 bx c 0 0或 ax2bx c 0 0 其中 a 0的不等式叫做一元二次不等式2 一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集.3 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式 b2 4ac>0 0<0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一元二次方程ax2bx c 0a>0 的根二次函数y ax2有两相异实根x1 x2,x2,x 1有两相等实根x1 x2 b2a没有实数根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bx c a>0 的图象ax2 bx c>0 a>0 的 解 集 ax2 bx c<0 a>0的解集 x|x<x1 或 x>x x|x b22aR x|x1<x<x 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【常考题型】题型一、一元二次不等式的解法【例 1】解以下不等式：12x2 7x 30. 2 x2 4x 5 0.3 4x2 18x81 0.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14 x22 3x 5 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 2x2 3x 2 0. 解1 由于 724×2× 3 25 0,所以方程2x2 7x 30 有两个不等实根x1 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x2.又二次函数y 2x2 7x 3 的图象开口向上,所以原不等式的解集为 x|x1x2,或2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 3 2 原不等式可化为x 5x 1 0,所以原不等式的解集为 x| 1 x 5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_93 原不等式可化为2x 22 0,所以原不等式的解集为x|x 9.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24 原不等式可化为x 6x 10 0, 6240 40,所以方程x26x 10 0 无实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_根,又二次函数y x26x 10 的图象开口向上,所以原不等式的解集为.225 原不等式可化为 3x 2 0,由于 9 4×2× 2 7 0,所以方程2x3x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x 0 无实根,又二次函数y2x2 3x 2 的图象开口向上,所以原不等式的解集为R .【类题通法】解一元二次不等式的一般步骤1 通过对不等式变形,使二次项系数大于零.2 运算对应方程的判别式.3 求出相应的一元二次方程的根,或依据判别式说明方程没有实根.4 依据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集【对点训练】1解以下不等式：1 x2 5x 6>0 .2 x27x>6.32 x x 3<0. 442 x2 2x 1> x4 x 解： 1方程 x2 5x 6 0 的两根为x1 1,x2 6.结合二次函数y x2 5x 6 的图象知,原不等式的解集为 x|x< 1 或 x>6 2 原不等式可化为x2 7x 6<0.解方程 x2 7x 60 得, x1 1, x26.结合二次函数y x2 7x 6 的图象知,原不等式的解集为 x |1<x<6 3 原不等式可化为x 2x 3>0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方程 x 2x 3 0 两根为 2 和 3.结合二次函数y x 2 x3 的图象知,原不等式的解集为 x|x< 3 或 x>2 4 由原不等式得8x2 8x4>4 x x2.原不等式等价于9x2 12x4>0.解方程 9x2 12x 4 0,得 x1 x22.3结合二次函数y 9x2 12x 4 的图象知,原不等式的解集为 x|x 2.3题型二、解含参数的一元二次不等式【例 2】解关于 x 的不等式x2 1 ax a 0. 解方程 x2 1ax a 0 的解为 x1 1,x2 a,函数 y x2 1 ax a 的图象开口向上,就当a 1 时,原不等式解集为 x|ax 1 .当 a 1 时,原不等式解集为.当 a 1 时,原不等式解集为 x| 1 x a 【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：1 如二次项系数含有参数,就需对二次项系数大于0 与小于 0 进行争论.2 如求对应一元二次方程的根需用公式,就应对判别式进行争论.3 如求出的根中含有参数,就应对两根的大小进行争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【对点训练】ax2解关于x 的不等式：2 a1 x 1 0a R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 原不等式可化为：ax 1x 1 0, 当 a 0 时, x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a 0 时 x 1ax1 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x 1. a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -当 a 1 时, x 1,1当 1 a 0 时, x a x 10,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或x 1ax 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当 a 1 时, a 1,x 1 或 x 1a综上原不等式的解集是： 当 a 0 时, x|x 1 .1当 a 0 时, x| a x 1 .当 a 1 时, x|x 1 . 当 1 a 0 时,1x|x1或x a .1当 a 1 时, x|x a或x 1 ,题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例 3】已知关于x 的不等式x2 axb 0 的解集为 x|1 x 2 ,求关于 x 的不等式bx2 ax 10 的解集 解x2 axb 0 的解集为 x|1 x 2 ,1,2 是 x2 ax b0 的两根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由韦达定理有 a 1 2, b 1× 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 3,得b2,代入所求不等式,得2x2 3x1 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 2x2 3x 1 0. 2 x1 x1 0. x1x 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bx2 ax1 0 的解集为 , 122或1 , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【类题通法】221一元二次不等式ax bx c 0a 0的解集的端点值是一元二次方程ax bx c0 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_根,也是函数y ax2bx c 与 x 轴交点的横坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22二次函数y ax bx c 的图象在x 轴上方的部分,是由不等式ax2bx c 0 的 x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值构成的.图象在x 轴下方的部分,是由不等式ax2bx c 0 的 x 的值构成的,三者之间相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_互依存、相互转化【对点训练】3已知方程ax2 bx 2 0 的两根为 1和 2.21 求 a、b 的值.2 解不等式ax2 bx 10.解： 1方程ax2 bx 2 0 的两根为 1和 2,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由根与系数的关系,得1b2 2,a12 × 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a解得 a 2, b 3.2 由1知, ax2 bx 1 0 可变为 2x2 3x 1 0,21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 2x 3x 1 0,解得 2 x1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式 ax2 bx 1 0 的解集为 x 1x 1 |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【练习反馈】1不等式x2 x 0 的解集为 A x|x 0B x|x 2C x|x 2 或 x 0D x|0 x 2解析： 选 D原不等式化为xx2 0,故 0x 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2已知集合M x|x2 3x 280 ,N x|x2 x 6 0 ,就 M N 为A x| 4 x 2 或 3 x 7 B x| 4x 2 或 3 x 7 C x|x 2 或 x 3D x|x 2 或 x 3解析： 选 A M x|x23x 28 0 x| 4 x 7 ,N x|x2 x 60 x|x 2 或 x 3 ,M N x| 4 x 2 或 3 x 7 3二次函数 yx2 4x 3 在 y0 时 x 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 由 y 0 得 x24x 3 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 1,34如不等式 ax2 bx 20 的解集为x|1 x 2 ,就实数 a ,实数 b . 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,解析： 由题意可知122 是方程 ax2bx 2 0 的两个根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由根与系数的关系得1 b 2,2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 × 2 ,2a解得 a 2, b 3.答案： 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5解以下不等式： 1 x7 x12.2 x2 2 x1解： 1原不等式可化为x27x 12 0,由于方程x27x12 0 的两根为x1 3, x2 4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以原不等式的解集为 x|3 x 4 22 原不等式可以化为x 2x 2 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由于判别式 48 4 0,方程 x2 2x 2 0 无实根,而抛物线y x2 2x 2 的图象开口向上,所以原不等式的解集为R .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
