培养学生数学直觉思维浅谈.doc

培养学生数学直觉思维浅谈祝春兰（湖南省武冈十中 422400）数学直觉是学生运用已有的数学知识分析思考面临的数学问题后，思维模糊发散、转化，跨越式接通，从而得出问题的某个结论的思维方式。这种不严密的直觉思维不是胡思乱想，应激励和培养，因为大量的事实证明，直觉思维能力强的人往往有较强的创新、创造能力。那么，如何在数学课堂数学中培养学生的直觉思维呢？本文拟结合中学数学教学实践，介绍这方面的一些做法或体会。一、创设猜想情境，增强直觉意识回想十余年的中小学学习过程，总感到自己从小学的敢于异想天开到中学的崇尚严密的逻辑思维，直觉意识在不断减弱，直觉思维没有得到应有的发展。现行数学新教材十分重视培养直觉思维，增加了许多供学生探索的素材，真令人高兴。因此，我们数学教师必须改变传统的教学模式、观念，灵活、创造性地使用好教材。还可根据教学实际，适当地增加一些培养直觉思维的学习素材，以丰富课堂教学。深入挖掘教材中各知识点的产生背景、发展过程、相互联系等，能从中挖掘出许多有趣的能引发直觉思维的内容，借此创设猜想情境，引导学生用试验、观察、归纳、类比、联想、审美等方法，多角度、多层次地思考问题，充分发挥直觉思维的导向作用去探索问题。这是使学生品尝探索的辛酸，享受成功的喜悦，不断感受猜想的威力，从而增强直觉意识，激发探索兴趣，激活创造思维的一条好途径。在球面面积公式的探究性学习中，我设置了圆与圆锥这两个比较图形，如图。先让学生观察比较图中三个几何图形。易知圆的面积为R2，圆锥的侧面积为R2，那么半径为R的半球面面积是多少？由图看出：R2R2S半球面，联想到等差数列会想到：S半球面=（2-1）R2？或S半球面=R2？由于表达式繁杂，这两个结果可能不正确。此时，学生又马上会由公比为的等比数列直觉到：R2R22R2，于是猜想：S半球面=2R2，S球面=4R2，学生会有疑虑：球面面积果真是4R2吗？从而转入探证S球面=4R2。凭观察比较得出自己先算不出的正确结果，是给学生极好的奖赏，会给每个学生注入证明猜想的动力。在艰难地探索证明后，学生们都为现实世界的事物与数学王国的数式竟有如此奇妙的联系而赞叹不己，同时体会到数学的“顺序”美和数学的神奇，从而大大激发了其探索的兴趣。兴趣促使学生对球的体积也进行了探究，当出示半径为R的半球图形后，学生马上联想到了底面半径和高均是R的圆锥体和圆柱体，并将三个几体体画在一起比较。由V圆锥=R3，V圆柱=R3，及R3V半球R3，学生马上猜想V半球=R3，且由V半球=V圆柱V圆椎得到了证明方法。这样不断地让学生进行由形到形，形到数，数到数，数到形的直觉联想、猜想且能得出正确的结论的教学，增强了其内心那种想从已知越过细微步骤直觉结果的意识，激发探索的兴趣，提高探索猜想的能力。二、给予探索空间，拓展直觉思路直觉猜想是建立在牢固的基础知识、基本技能之上的，如知道圆的面积和圆锥的侧面积是基础。缺乏基本知识及其联系的学生，一般很难正确、全面地利用题给信息去联想相关或相近的知识点。他们连直觉联想的起点和指向目标都没有，哪还能做出什么正确猜想，更谈不上灵活地解决问题。在平时的数学教学中，在注重基本知识的同时，应注意把一些思想性强，解法灵活的题引入课堂，营造民主气氛，给予探索的时间和空间，让每位学生都有机会充分展示自己的思维，注重加强以直觉引路的探求一题多解的训练，注意引导挖掘其题设中的隐含条件以引发奇思妙想，这既有利于巩固基本知识，加强知识间的联系，又有利于拓展直觉思路，优化直觉思维品质，可达到知识和能力双丰收。如“求函数y=的最大值”，凭经验，显然很难将其转化为求正弦型函数y=Asin(wx+)+最值的问题，但由其分子、分母只含sinx，易得出如下两种解法：解法1 （拆），y=1，ymax=1=。解法2 （减sinx个数），当sinx=0时，y=0；当sinx0时， Y=，从而ymax=。至此为止，则很难全面巩固有关知识，提高思维能力。由sinx的值域去探索，易直觉到函数的另一种形式，于是有解法3 （用sinx值域）将原函数变为sinx=（y1）解不等式11，得y，ymax=。由函数的结构特点探索，可联想到函数y=及斜率公式k=，又会得如下两种巧妙解法，从而加深了三角与代数、解析几何知识间的联系。解法4 设sinx=t，则y=f(t)= ，t-1，1，易得ymax=f(1)= 。解法5 （数形结合）函数y=表示在以点（-1，-1），B（1，1）为端点的线段AB上的点（sinx，sinx）与点P（-3，0）的连线的斜率。显然，ymax=KPB= 。显然以上几种解法都以直觉思维为先导，因直觉思维的触发点不同，而解法各异。认真弄清各种解法的思维触发点，比较转化问题的不同途径，最后对用到的各种知识加以总结，这可进一步优化认知结构，提高直觉思维的灵活性、发散性、广阔性。三、反思思维疑点，提高直觉能力解题后引导学生对解题过程中的疑点，特别是对其中的直觉思维活动进行深刻反思十分必要。通过反思，可以使学生明确触发解题思路的直觉思维点，使先前思维跃过的每一步变得清晰、具体，模糊的思维表象会显化成实线连珠式的思维图象，促使学生去思考类似相关问题，以探索总结一般方法，这有利于提高直觉思维能力及解题能力。如题：已知对于R中的任意X1、X2，函数f（x）都满足F(x1+x2)=f(x1) +f(x2) ，且f（a）=1，a为正常数，求证f(x)是周期函数。分析讨论后，可得如下证明。证明：因为f(x+2a)=f(x+a)+a=|f(x)|，（1）当f(x+2a)=f(x)时，有f(x+4a)=f(x+2a)=f(x)，（2）当f(x+2a)=-f(x)时，有f(x+4a)=-f(x+2a)=f(x)，所以，对于任意xR，a0，恒有f(x+4a)=f(x)，故f(x)是周期为4a的周期函数。至此，也许大多数学生对其中如何由题设得出周期4a存有疑虑，因此，很难解决类似的问题。解题后有必要引导学生对这一疑点进行反思、讨论。否则，学生会失去一次提升直觉思维能力的绝好机会，今后用双倍的时间也许很难弥补。为此，我引导学生进行如下反思。反思1：你是怎么想到周期4a的呢？下面是我班两个学生反思之后对此问题的回答。生1：初看此题，无从下手。为解此题，我的思维从式的数字、符号、结构特点出发流向每一个有关或相似的知识点，几经思考，终于由等式的结构特点联想到两角和的正弦公式sin(+)=sincos+cossin及sin2+cos2=1。进而想到正弦函数y=sinx，最小正周期T=2，sin=1，比较f(a)=1，于是凭直觉猜想f(x)的一个周期为4a。生2：用这样的方法得出周期4a，真是奇妙有效，我原来还以为“4a”是从天上掉下来的。这足以看出通过反思后，中小学生这一直觉思维的清晰程度。至此，一学生提出如下问题。反思2：这种方法是否可解其他抽象函数问题呢？这个问题我留给学生课后思考。许多学生用课余时间查资料，把以正弦、余弦、正切、余切函数为原形的抽象函数问题找了出来，且一一解答。从而得出用直觉思维探求周期的一般方法，达到举一反三，触类旁通的效果。通过以上反思，使学生发现沟通抽象与具体，一般与特殊的竟是易被忽视的直觉思维、类比联想，进一步体会到由结构类比联想、猜想在解题中的重要性。从此他们也会大胆地借助直觉思维熟练地从抽象到具体、从具体到抽象、从已知到未知，以至从幼儿时的敢于异想天开到成年时的善于标新立异、勇于创造。