2022年抽象代数复习题及答案 .docx

精品_精品资料_抽象代数试题及答案本科一、单项挑选题 在每题的四个备选答案中,选出一个正确答案, 并将正确答案的序号填在题干的括号内.每题3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 设 Q是有理数集,规定fx=x +2. gx=x 2 +1, 就 fg x 等于 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. x 22 x1B. x23C. x24 x5D. x2x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设 f 是 A 到 B 的单射, g 是 B 到 C 的单射,就 gf 是 A 到 C 的 AA. 单射B.满射C.双射D.可逆映射3. 设 S3 = 1,1 2,1 3,2 3,1 2 3,1 3 2 ,就 S3 中与元素1 32不能交换的元的个数是 C.A.1B.2C.3D.44. 在整数环 Z 中,可逆元的个数是B.A. 1 个B.2 个C.4 个D.无限个5. 剩余类环 Z 10 的子环有 B.A. 3 个B.4 个C.5 个D.6 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 设 G是有限群, aG, 且 a 的阶 |a|=12,就 G中元素A 2B. 3C.6D.9a 8 的阶为 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 设 G是有限群,对任意a,bG,以下结论正确的选项是 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. ab 1b 1a 1B. b的阶不肯定整除 G的阶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. G的单位元不唯独D. G中消去律不成立8. 设 G是循环群,就以下结论不正确的选项是 AA. G的商群不是循环群B. G的任何子群都是正规子群C. G 是交换群D. G 的任何子群都是循环群9. 设集合 A=a,b,c,以下 AA 的子集为等价关系的是C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. R1= a,a,a,b,a,c,b,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B. R2= a,a,a,b,b,b,c,b,c,c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. R3= a,a,b,b,c,c,b,c,c,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D. R4= a,a,a,b,b,a,b,b,b,c,c,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 设 f 是 A 到 B 的满射, g 是 B 到 C 的满射,就 gf 是 A 到 C 的 BA. 单射B.满射C.双射D.可逆映射11. 设 S3 = 1,1 2,1 3,2 3,1 2 3 ,1 3 2 ,就 S3 中与元素 1 2能交换的元的个数是 B.A.1B.2C.3D.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 在剩余类环Z8 中,其可逆元的个数是D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 1 个B.2 个C.3 个D.4 个13. 设 R, +,·是环 ,就下面结论不正确的有C.A. R的零元惟一B.假设 xa0 ,就 xaC.对 aR , a 的负元不惟一D.假设 abac ,就 bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14. 设 G是群, aG, 且 a 的阶|a|=12,就 G中元素a32 的阶为 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2B. 3C.6D.915. 设 G是有限群,对任意 a,bG,以下结论正确的选项是 AA.|a | | G |B. |b| = C. G的单位元不唯独D.方程 axb 在 G中无解16. 设 G是交换群,就以下结论正确的选项是 BA. G 的商群不是交换群B. G的任何子群都是正规子群C. G是循环群D. G的任何子群都是循环群可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17. 设 A=1 , -1,i, -i , B = 1, -1,: AB,aa 2 ,a A ,就是从 A 到 B 的A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.满射而非单射B. 单射而非满射C. 一一映射D. 既非单射也非满射18. 设 A=R实数域, B= R正实数集,:a 10 a , a A,就是从 A 到 B 的 C .A. 满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射19. 设 A= 全部实数 x , A 的代数运算是一般乘法,就以下映射作成A 到 A 的一个子集的同态满射的是C.A.x 10xB.x 2xC.x |x|D.x -x20. 数域 P 上的 n 阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法CA. 构成一个交换群B.构成一个循环群C. 构成一个群D.构成一个交换环21. 在高斯整数环Zi 中,可逆元的个数为DA.1 个B.2 个C.3 个D.4 个22 . 剩余类加群 Z 8 的子群有 B.A. 3 个B. 4 个C. 5 个D. 6 个23. 以下含有零因子的环是 BA. 高斯整数环 ZiB.数域 P 上的 n 阶全矩阵环C.偶数环 2ZD.剩余类环 Z524. 设R,+, · 是一个环,就以下结论正确的选项是DA. R中的每个元素都可逆B. R的子环肯定是抱负C. R肯定含有单位元D. R的抱负肯定是子环25. 设群 G是 6 阶循环群,就群 G的子群个数为AA. 4 个B. 5个C.6个D.7个26. 设 A = a, b, c , B = 1,2,3,就从集合 A 到集合 B 的满射的个数为 D .A.1B.2C.3D.627. 设集合 A = a, b, c,就以下集合是集合A的分类的是 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. P1= a, b,a, cB.P2 = a,b, c,b,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C.P3= a,b,cD.P4 = a,b,b,c,c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_28. 设 R =a0a,bZ0b,那么 R 关于矩阵的加法和乘法构成环,就这个矩阵环是A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.有单位元的交换环B.无单位元的交换环C.无单位元的非交换环D.有单位元的非交换环29. 设 S3= 1,1 2,1 3,2 3,1 2 3,1 3 2 ,就 S3 的子群的个数是 D.A. 1B. 2C. 3D. 6Zi 中,单位元是 B.0B.1C.iD.i30. 在高斯整数环A.31. 设 G 是运算写作乘法的群,就以下关于群G 的子群的结论正确的选项是B.A. 任意两个子群的乘积仍是子群B.任意两个子群的交仍是子群C. 任意两个子群的并仍是子群D. 任意子群肯定是正规子群32. 7 阶循环群的生成元个数是C.A.1B.2C.6D.733. 设 A=a,b,c , B=1,2,3,就从集合 A 到集合 B 的映射有 D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.1B.6C.18D.27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_34. 设 G,为群,其中 G 是实数集,而乘法: ababk,这里 k 为 G 中固定的常数.那么群G,中的单位可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_元 e和元 x 的逆元分别是 DA.0 和x .B.1和 0.C.k 和x2k.D.k 和x2k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_35. 设 a,b,c 和 x都是群 G 中的元素,且x2 abxc1, acxxac,那么 x A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. bc11a.B.c 1 a1.C.a 1 bc1.D.b 1ca .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_36. 以下正确的命题是AA. 欧氏环肯定是唯独分解环.B.主抱负环必是欧氏环.C. 唯独分解环必是主抱负环.D.唯独分解环必是欧氏环.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_37. 设 H 是群 G 的子群,且 G 有左陪集分类H , aH , bH ,cH.假如| H |6,那么 G 的阶 G B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.6 .B.24.C.10.D.12.38. 设 G是有限群,就以下结论正确的选项是 AA. G的子群的阶整除 G的阶B. G的任何子群都是正规子群C. G是交换群D. G的任何子群都是循环群可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_39. 设f : G1G2 是一个群同态映射,那么以下错误的命题是D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. f 的同态核是G1 的正规子群. B.G2 的正规子群的原象是G1 的正规子群.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. G1 的子群的象是G2 的子群.D.G1 的正规子群的象是G2 的正规子群.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_40. 关于半群,以下说法正确的选项是：AA.半群可以有无穷多个右单位元B.半群肯定有一个右单位元C.半群假如有右单位元就肯定有左单位元D.半群肯定至少有一个左单位元m二、填空题 每空 3 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 设 A 是 m 元集, B 是 n 元集,那么A 到 B 的映射共有n个 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. n 次对称群Sn 的阶是n ； .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 一个有限非交换群至少含有6个元素 .4. 设 G 是 p 阶群,p 是素数,就 G 的生成元有p1 个.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 除环的抱负共有2个.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 剩余类环Z 6 的子环 S= 0 ,2 , 4 ,就 S 的单位元是 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7.在i+3,2 , e-3 中,i3是有理数域Q 上的代数元 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8.2 在有理数域 Q 上的微小多项式是x 22.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9.设集合 A =a,b , B=1,2,3,就 AB= a,1）（, b,1, a,2, b,2, a,3, b,3. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 设 R 是交换环,就主抱负 a =Rarama | rR, mZ. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 设54 31,就11345.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 .设 F 是 9 阶有限域,就 F 的特点是3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13设 1351,22154 是两个循环置换,就21 1342 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14 .设 F 是 125 阶有限整环,就 F 的特点是 5.15. 设集合 A 含有 3 个元素,就 AA 的元素共有9个 .16. 设群 G的阶是 2n, 子群 H 是 G的正规子群,其阶是n,就 G关于 H 的商群所含元素的个数是2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17. 设 a、b 是群 G 的两个元,就 ab 1=b 1a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18. 环 Z10 的可逆元是1, 3, 7, 9 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_19. 欧式环与主抱负环的关系是主抱负环不肯定是欧式环,但欧式环肯定是主抱负环.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20. 假如 f 是 A 与 A 间的一一映射, a 是 A 的一个元,就f 1 f aa .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21. 设群 G 中元素 a 的阶为 m,假如 ane ,那么 m与 n 存在整除关系为m整除n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22. 设31425 是一个 5- 循环置换,那么152413. .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23. 有限群 G 的阶是素数 p,就 G 是循环群.24. 假设 I 是有单位元的环 R 的由 a 生成的主抱负,那么I 中的元素可以表达为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 有限和ix i ayi| x i , y iR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25. 群Z12 , 的子群有6个.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_26. 由凯莱定理,任一个抽象群G 都同一个群 G 的变换群同构.27. 设 A、B 分别是 m、n 个元组成的集合,就| AB |=mn.28. 设 A= a,b,c ,就可定义 A 的5个不同的等价关系.A 的分类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M = a,c, b 确定的等价关系是Ra,a, b, b, c,c, a, c, c, a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_29. 设 G 是 6 阶循环群,就 G 的生成元有2个.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_30. 非零复数乘群C *中由 -i 生成的子群是 i,i ,1, 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_31. 剩余类环 Z7 的零因子个数等于0.32. 素数阶有限群G 的子群个数等于2.33. 剩余类环 Z6 的子环 S= 0 , 3 , 就 S 的单位元是3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_34. 群: G G ,e 是 G 的单位元,就35. 复数域的特点是0.e 是 G 的单位元 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_36. 在剩余类环Z 12 ,. 中, 6 .7 = 6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_37. 在 3-次对称群S3 中 , 元素123 的阶为：3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_38. 设 Z 和Zm 分 别 表 示 整 数 环 和 模 m 剩 余 类 环 ,就 环 同 态f : ZZm , n n的 同 态 核 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mZ mr | rZ39. 3 2 在有理数域上的微小多项式为x 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_40. 无限循环群肯定和整数加群Z,同构 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、判定题 判定以下说法是否正确,正确的请打“” ,错误的请打“”,每题 3 分1. 设 G 是群,就群 G 的任意两个子群的并仍是群G 的子群.2. 群的有限子集非空构成子群,当且仅当该非空子集的任何两个元素在G 的运算之下,仍在该非空子集之中. 3. 设 G 是非零实数在数的乘法运算之下构成的群.f: G G 是一个映射,且 fx =7 x , xG. 就 f 是 G 到 G 的同态映射.4. 一个环假如有单位元,就它的子环也肯定有单位元.5. 设 G 是群,就群 G 的任意两个正规子群的交仍是群G 的正规子群. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 设 G 是 n 阶有限循环群,就G 同构于模 n 剩余类加群Zn . 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 设: GG 是群同态,就将 G 的单位元不肯定映射为G 的单位元.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 设 R 是环, A,B 是 R 的任意两个抱负,就AB 也是环 R 的抱负. 9. 域的特点可以为任何自然数.10. 群的任何两个正规子群的乘积仍旧是正规子群.11. 4 次交叉群 A 4 在 4 次对称群 S4 中的指数为4.12. 复数域是实数域的单代数扩张.13. 除环肯定是域 .14.3-次对称群 S3 的中心是 1 .15. 整数环的商域是有理数域.16. 无限循环群和整数加群同构.217. 多项式 x3 在有理数域上可约.18. 在特点为 p 的域 F 中始终有 ab papbp ,a, bF.19. 高斯整数环 Zi 是唯独分解环 .20有限集合到有限集合的单射不肯定是满射.21. 有限群的任何子群的阶肯定整除这个群的阶.22. 设: G1G 2是群 G1到群G 2 的同态, 就同态核 Ker 是 G1 的正规子群 .23.素数阶群不肯定是循环群.24.设 Z, ,.为整数环, p 为素数, 就 pZ,. 是 Z, ,.的极大抱负. 四、证明题1.设 Q 为有理数域,设T ab 2 | a,bQ, 就 T 按数的乘法和加法构成一个域.6 分证 明 ：T 非 空 , 且 T是 实 数 域 的 一 个 子 集 . T关 于 数 的 加 法 、 乘 法 封 闭 是 显 然 的 , 而 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0ab 2T, ab21T, 这样我们就得 T 关于加法、 乘法构成实数域的一个子域.,因此 T 按数的乘法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和加法构成一个域.2. 设 E 是 F 的扩域,且 E：F=1,就 E=F . 6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： 用反证法：假设 EF , 就存在 xE, xF , 这样E : F 2 , 冲突；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 证明：交换群的商群是交换群.8 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明 ：设 G 为交换群, 且 HG ,就G H G 关于正规子群H 的商群,且对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_任意 aH,bHG H , 有,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aH bH ab HbaHbH aH 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 G H是交换群 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设 A1,1, i ,i , B1,1 ,“·”是数的乘法,证明： A,· B,·.这里“”表示 A,·与 B,·是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_满同态8 分证明： 构造映射：f : AB,11, 11, i1, i1,就简洁验证 f 是 A, 到（ B, 的同态映射 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 证明：设 G=a 0| aR0 0, 就 G 关于矩阵乘法构成R2 2 ,的子半群 .6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： 对任意的a0b0,0000a0b0G,0000ab000G , 故由子半群的判定知,G 关于矩阵乘法构可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成 R2 2 ,的子半群,得证.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_116. 设 a 是群 G 的任一元素,假设 a 的阶 |a|=2,求证：aa. 6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： 由题设我们知道：a 2e,对这个式子的两边同时乘以a得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11aa121e,aaaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13i利用群 G 中逆元和单位元的性质,即得,aa 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 设 =2,即 31 =1,G= 1, ,2,证明：有如下的群同构： Z3 , G,·,这里 0 =1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 =, 2 =2 .8 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： 简洁验证下述映射： Z3G,01, 1, 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是双射,且保持运算, 即：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ i ji j,i , jZ 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由同构映射的定义,即得Z3 , G,·.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 设 G 是 R2× 2 中全部可逆矩阵组成的集合,i. 证明 G 关于矩阵的乘法成群. 6 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ii.01-10的阶是多少？4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iii.11的阶是多少？ 4 分01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iv.证明 G 不是交换群 .6 分解：i 留意到由线性代数学问有：方阵可逆当且仅当它的行列式不为零,而且两个方阵的乘积的行列式等于它们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_行列式的乘积,由此A ,BG, A 1G,ABG, 故 G 关于矩阵的乘法成群 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ii.留意到此时群 G 的单位元是：10,经过简洁运算,我们可知0101-10的阶是 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iii.11的阶是.01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iv.通过简洁运算,得011110011100111, 故 G 是非交换群.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答题：1.设 Q 是有理数集, “ +”是数的加法,找 Q,+的全部不同的自同构映射. 8 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 对任意 x映射 .Q , 定义f x : QQ, aax, 对 aQ, 就集合 f x | xQ, 但x0 为 Q, 的全部自同构可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_101010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设G=A1, A2, A8,其中A 1=, A2, A3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_010-101可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A 4 =00, A5-1i0, A60ii00- iiA 7 =00i0, A8- i0i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列出 G 的乘法矩阵乘法运算表.解： 运算表如下：·A1A2A3A4A5A6A7A8A1A1A2A3A4A5A6A7A8A2A2A1A4A3A6A5A8A7A3A3A4A2A8A7A6A6A5A4A4A3A2A1A7A8A5A6A5A5A6A8A7A2A1A3A4A6A6A5A7A8A1A2A4A3A7A7A8A6A5A3A4A2A1A8A8A7A5A6A4A3A1A2