2022年最新高中数学函数知识点总结-知识点-题 .docx

精品_精品资料_函数一、函数的定义：1. 函数的概念： 设 A 、B 是非空的数集, 假如依据某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应, 那么就称 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作： y=fx , x A （ 1）其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域.（ 2）与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合fx| x A 叫做函数的值域 函数的三要素：定义域、值域、对应法就函数的表示方法：（ 1）解析法：明确函数的定义域（ 2）图想像：确定函数图像是否连线,函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等.（ 3）列表法：选取的自变量要有代表性,可以反应定义域的特点.4、函数图象学问归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=fx , x A 中的 x 为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 Px,y的集合C,叫做函数 y=fx,x A 的图象 C 上每一点的坐标 x,y均满意函数关系 y=fx ,反过来,以满意 y=fx 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x, y,均在 C 上 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 画法A 、描点法：【例题】作出函数x 26 x7, x3,6y的图象.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B、图象变换法：平移变换.伸缩变换.对称变换,即平移.（ 3）函数图像平移变换的特点： 1）加左减右只对x2） 上减下加只对y3） 函数 y=fx关于 X 轴对称得函数y=-fx4） 函数 y=fx关于 Y 轴对称得函数y=f-x5） 函数 y=fx关于原点对称得函数y=-f-x6） 函数 y=fx将 x 轴下面图像翻到x 轴上面去, x 轴上面图像不动得函数 y=| fx|7） 函数 y=fx先作 x 0 的图像,然后作关于y 轴对称的图像得函数f|x|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、函数的基本性质1、函数解析式子的求法（ 1）、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法就,二是要求出函数的定义域.（ 2）、求函数的解析式的主要方法有：1） 方程组法（求抽象函数）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1已知函数f x 满意f x2 f 1 x3x ,求f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、已知：2 f x3 f x x 1 ,求 fx 表达式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 待定系数法：例 1.已知函数fx 是一次函数 ,且f fx9 x4 ,求 fx 表达式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2.二次函数 fx 满意 fx 1 fx 2x,且 f0 1.(1) 求 fx 的解析式.(2) 解不等式 f x 2x 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3） 换元法：例 3.已知 fx1x1,就fx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4拼凑法：例 4已知二次函数f x 满意f 2x14x 26 x5 ,求f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零.(2) 偶次方根的被开方数不小于零.(3) 对数式的真数必需大于零.(4) 指数、对数式的底必需大于零且不等于1.(5) 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .(6) 指数为零底不行以等于零,(7) 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）定义域一样两点必需同时备 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）f xx 2 ,gx3 x3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）f xx, gxx1x0,1x0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）f xxx1 ,gxx2x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（4）f xx 22 x1 , g t t 22t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5）f x2n 1 x 2n, gx2 n1 x 2n1 （n N *）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、区间的概念：（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（ 2）无穷区间（ 3）区间的数轴表示5、值域（先考虑其定义域）（ 1）观看法：直接观看函数的图像或函数的解析式来求函数的值域.（ 2）反表示法：针对分式的类型,把Y 关于 X 的函数关系式化成X 关于 Y 的函数关系式,由X 的范畴类似求Y 的范畴.(3) 配方法：针对二次函数的类型,依据二次函数图像的性质来确定函数的值域,留意定义域的范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题】5y 2 x24 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 代换法（换元法）：作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类型.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题】y12 xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5）分别常数法【例题】y3x4x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 分段函数（ 1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.（ 2）各部分的自变量的取值情形（ 3）分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集（ 4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含肯定值的函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7、求 yx3x5 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8、求函数f x2xx20x3的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x26 x 2x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 复合函数（抽象函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1已知 yf x2 的定义域是 a, b ,求函数 yf x 的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知yf 2 x1 的定义域是（ -2, 0）,求yf 2 x1) 的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、已知函数yf x1) 的定义域为 -2 , 3 ,就yf2 x1 的定义域是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 映射一般的,设 A、 B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就f ,使对于集合A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯独确定的元素y 与之对应, 那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. 记作“ f（对应关系）： A （原象）B（象）”对于映射 f：A B 来说,就应满意：1集合 A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯独的. 2集合 A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个. 3不要求集合 B 中的每一个元素在集合A 中都有原象.留意：映射是针对自然界中的全部事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的.所以函数是映射,而映射不肯定的函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、函数的单调性 局部性质 及最值（ 1）、增减函数（ 1）设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x 1, x 2,当 x 1<x 2时,都有 fx 1<fx 2,那么就说 fx 在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调增区间 .（ 2）假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值x1,x2,当 x1<x 2 时,都有 fx 1fx 2,那么就说 fx 在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 .留意：函数的单调性是函数的局部性质.函数的单调性仍有单调不增,和单调不减两种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 如偶函数 f x 在3, 1 上是增函数,就以下关系式中成立的是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. f 2B. f 1f 1f 3 2f 2f 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. f 2f 13f 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D. f 2f 2f 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 以下函数中 ,在区间 0,1 上是增函数的是（）A. yxB y3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C y1D y xx 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例】已知函数f xx22ax2, x5,5 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1时,求函数的最大值和最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 求实数 a 的取值范畴,使yf x 在区间5,5上是单调函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）、 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx 在这一区间上具有严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1任取 x 1, x 2 D,且 x1<x 2. 2作差 fx 1 fx 2.3变形（通常是因式分解和配方）.4定号（即判定差 fx 1 fx 2的正负）.5下结论（指出函数fx 在给定的区间 D 上的单调性）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 判定一次函数 ykxb, 反比例函数 yk,二次函数yx2axbxc 的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(B) 图象法 从图象上看升降 (C) 复合函数的单调性复合函数：假如 y=fuu M,u=gxx A, 就 y=fgx=Fxx A称为 f 、g 的复合函数.复合函数 f gx的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu 的单调性亲密相关,其规律：“同增异减” 留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_精品文档9：函数的奇偶性（整体性质）（1） 、偶函数一般的,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 f x=fx ,那么 fx 就叫做偶函数（2） 、奇函数一般的,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 f x= fx ,那么 fx 就叫做奇函数（3） 、具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于y 轴对称.奇函数的图象关于原点对称 利用定义判定函数奇偶性的步骤：a、第一确定函数的定义域,并判定其是否关于原点对称.如是不对称,就是非奇非偶的函数.如对称,就进行下面判定.b、确定 f x 与 fx 的关系.c、作出相应结论：如f x = fx或 f x fx = 0 ,就 fx 是偶函数.如 f x = fx或 f x fx = 0 ,就 fx 是奇函数（ 4）利用奇偶函数的四就运算以及复合函数的奇偶性a、在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数.奇函数的加减仍为奇函数.奇数个奇函数的乘除认为奇函数. 偶数个奇函数的乘除为偶函数. 一奇一偶的乘积是奇函数.a、复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶,两个为奇才为奇.留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域是否关于原点对称,如不对称就函数是非奇非偶函数.如对称,(1) 再依据定义判定 ;2由 f-x ± fx=0 或 fx f-x= ± 1 来判定 ; 3利用定理,或借助函数的图象判定.精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_精品文档10、函数最值及性质的应用（ 1）、函数的最值a 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值b 利用图象求函数的最大（小）值c 利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数 y=fx 在区间 a, b 上单调递增,在区间 b, c 上单调递减就函数y=fx 在x=b处有最大值fb .假如函数 y=fx 在区间 a, b 上单调递减,在区间 b, c 上单调递增就函数y=fx 在x=b处有最小值fb .（ 2）、函数的奇偶性与单调性奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性. 偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.（ 3）、判定模糊单调性时也可以用作商法,过程与作差法类似,区分在于作差法是与0 作比较,作商法是与1 作比较.（ 4）、肯定值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值.（ 5）、在判定函数的奇偶性时候,如已知是奇函数可以直接用f0=0 ,但是 f0=0 并不肯定可以判定函数为奇函数.（高一阶段可以利用奇函数f0=0 ）.精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、 基本初等函数指数函数（一）指数1、指数与指数幂的运算：复习中学整数指数幂的运算性质：am*a n=am+n amn=amn a*b n=anbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、根式的概念：一般的,如x na ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n N *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n 是奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负数. 此时, a 的 n 次方根用符号表示.当 n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时正数a 的正的 n 次方根用符号表示, 负的 n 的次方根用符号表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成（ a>0）.留意：负数没有偶次方根.0 的任何次方根都是0,记作 n 00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n 是奇数时,n ana ,当 n 是偶数时,n an| a |aa0aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式子 n a叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.3、分数指数幂正数的分数指数幂mm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ma nn a m a0,m, nN * ,n1 , an1a n1an am0, m, nN * , n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 的正分数指数幂等于0, 0 的负分数指数幂没有意义4、有理数指数米的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） a r · a ra r sa0, r , sR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a rs（2）a rsa0, r, sR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） ab rar a sa0, r , sR 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、无理数指数幂一般的,无理数指数幂aa（ a>0,a 是无理数）是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念： 一般的, 函数 ya x a0, 且a1) 叫做指数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域为 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和1为什么？ 2、指数函数的图象和性质a>10<a<166554433221 11 1-4-2246-4-224600-1-1定义域 R定义域 R值域 y 0值域 y 0在 R 上单调递增在 R 上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点（0, 1）非奇非偶函数函数图象都过定点（ 0,1）留意：利用函数的单调性,结合图象仍可以看出：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 在 a, b 上,值域是 f a, fb或 f b, f a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 如 x0 ,就f x 1 . f x 取遍全部正数当且仅当xR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 对于指数函数f x a x a0且a1) ,总有f 1a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4）当 a>1 时,如 X 1<X 2 ,就有 fX 1<fX 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对数函数（一）对数1. 对数的概念：一般的,假如 a xN a0, a1 ,那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数,记作： xlog aN （ a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 底数, N 真数,log aN 对数式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 1留意底数的限制 a0 ,且 a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a xNlog a Nx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3留意对数的书写格式：两个重要对数：log a N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1常用对数：以 10 为底的对数 lg N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数ln N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）对数的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 a0 ,且 a1 , M0 , N0,那么：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1log a M· N log a M log a N .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M2log aNloga M logN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa3log M nn loga M nR 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：换底公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a blog c b log c a（ a0 ,且 a1 . c0 ,且 c1 . b0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用换底公式推导下面的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） logb nn log1b .（ 2） logb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mamaalog b a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二）对数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、对数函数的概念：函数ylogaxa0,且 a1 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是（0, +可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_）留意： 1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,留意辨别.如：数函数,而只能称其为对数型函数y2 log 2x , yxlog 55都不是对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2对数函数对底数的限制： a0 ,且 a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、对数函数的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a>10<a<1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32.5322.51.521 11.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0.50-1-0 .5-1-1 .5-2-2 .51 123456781 10.5-10-0 .5-1-1 .5-2-2 .51 12345678可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域 x0定义域 x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值域为 R值域为 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 R 上递增在 R 上递减函数图象都过定点（ 1, 0）函数图象都过定点（ 1, 0）幂函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、幂函数定义：一般的,形如yxaR) 的函数称为幂函数,其中为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、幂函数性质归纳（1） 全部的幂函数在（ 0, +）都有定义并且图象都过点（1, 1）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 0 , 上是增函数特殊的,当1时,幂函数的图象下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_凸.当 01时,幂函数的图象上凸.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）0时,幂函数的图象在区间 0, 上是减函数在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_右方无限的靠近y 轴正半轴,当 x趋于时,图象在 x轴上方无限的靠近 x轴正半轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_精品文档四、函数的应用方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点.2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标.即：方程有实数根,函数的图象与坐标轴有交点,函数有零点3、函数零点的求法：（ 1）（代数法）求方程的实数根.（ 2）（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：（ 1） 0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点（ 2） 0,方程 有两相等实根（二重根）,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点（ 3） 0,方程 无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点精品文档可编辑资料 - - - 欢迎下载