2022年高中数学解析几何解题方法 .docx

精品_精品资料_解析几何常规题型及方法核心考点1、精确懂得基本概念如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等2、娴熟把握基本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等3、娴熟把握求直线方程的方法如依据条件敏捷选用各种形式、争论斜率存在和不存在的各种情形、截距是否为0 等等4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以削减运算5、明白线性规划的意义及简洁应用6、熟识圆锥曲线中基本量的运算7、把握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等8、把握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题常规题型及解题的技巧方法A: 常规题型方面1中点弦问题具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法点差法：设曲线上两点为x1 , y1 , x2 , y2 ,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2典型例题给定双曲线 xy 21 .过 A 2,1的直线与双曲线交于两点P1及 P2,求线段 P1P2 的中点 P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的轨迹方程.2yy222122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：设 P1 x1, y1 , P2 x2 , y2 代入方程得 x11 , x21 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相减得 xx xx 1 yy yy 0 .121212122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又设中点 P x,y,将 x1x22x , y1y22 y 代入,当 x1x2 时得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x2 y · y1y20 .2x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y2又 kx1x2y1 ,x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2代入得 2 xy 24 xy0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当弦 P1 P2 斜率不存在时,其中点P2, 0的坐标也满意上述方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此所求轨迹方程是2 x2y24 xy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：此题要留意思维的严密性,必需单独考虑斜率不存在时的情形.2焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1 、 F2 构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2典型例题设 Px,y 为椭圆2ay 221 上任一点, F1 bc,0 , F2 c,0 为焦点,PF1 F2,PF2 F1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin1求证离心率 e.2sinsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32求 |PF1|PF |3的最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 1设 | PF |r , |PFrr1,由正弦定理得r22c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1122sinsinsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r1r22c得,sinsinsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ecsin asinsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32 aexaex32a 36ae 2 x 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 时,最小值是 2a 3.当 xa时,最大值是 2a 36e2a 3.3直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特殊留意数形结合的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典型例题抛物线方程 y 2px1 p0,直线xyt与x轴的交点在抛物线准线的右边.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求证：直线与抛物线总有两个不同交点2设直线与抛物线的交点为A 、B,且 OA OB,求 p 关于 t 的函数 ft 的表达式.1证明：抛物线的准线为1：x1p4p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由直线 x+y=t 与 x 轴的交点 t, 0在准线右边,得t1,而 4tp40 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyt22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 y 2p x消去y得 x12 tp x tp0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 tp 24 t 2pp4tp40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故直线与抛物线总有两个交点.2解：设点 Ax 1,y1,点 Bx 2, y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 1x 22tp, x1 x 2t 2p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OAOB ,k OAk OB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 x1 x 2y 1y 20又 y1 y 2tx 1 tx 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 1x 2pf t y 1 y 2t2t 2t2 t2p0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又p0, 4tp40得函数 f t 的定义域是2, 00,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4圆锥曲线的有关最值范畴问题圆锥曲线中的有关最值范畴问题,常用代数法和几何法解决.<1> 假设命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决.<2> 假设命题的条件和结论表达明确的函数关系式,就可建立目标函数通常利用二次函数,三角函数,均值不等式求最值.典型例题已知抛物线 y2=2pxp>0 ,过 M a,0且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点A 、B , |AB| 2p1求 a 的取值范畴. 2假设线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求 NAB 面积的最大值.分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于1,可以设法得到关于a 的不等式,通过解不等式求出a 的范畴,即： “ 求范畴,找不等式 ”.或者将 a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范畴.对于 2第一要把 NAB 的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即：“ 最值问题,函数思想 ”.解： 1 直线 L的方程为： y=x-a, 将 y=x-a代入抛物线方程y 2=2px, 得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1,y1 ,Bx 2,y2,就4a x1 x1x2p4a 2x22aa 20p ,又 y1=x 1-a,y2=x 2-a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AB | x1x 2 y1y 22 x1x 24x1x2 8 p p2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2220| AB |2 p,8 p p2a0,08 p p2a2 p,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_pp解得 :a.24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设 AB 的垂直平分线交 AB 与点 Q,令其坐标为 x3,y3,就由中点坐标公式得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2x32ap ,y1y2y32x1ax2ap.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所 以 |QM|2=a+p-a 2+p-0 2=2p2 . 又 MNQ为 等 腰 直 角 三 角 形 , 所 以 |QM|=|QN|=2 P , 所 以 S 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_NAB =1| AB |2| QN |2p | AB |22p 2 p22 p 2,即 NAB 面积的最大值为2 P 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5求曲线的方程问题1. 曲线的外形已知这类问题一般可用待定系数法解决.典型例题已知直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上.假设点A -1, 0和点 B 0,8关于 L 的对称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程.分析：曲线的外形已知,可以用待定系数法.设出它们的方程,L： y=kxk 0,C:y 2=2pxp>0设 A 、B 关于 L 的对称点分别为 A /、B/,就利用对称性可求得它们的坐标分别为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2A / kk 21 2 k1,k 2, B116kk21 ,8k 2k 21 .由于 A 、 B 均在抛物线上,代入,消去p,得： k2-k-1=0. 解得：1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1525k=,p=.25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以直线 L 的方程为： y= 15 x,抛物线 C 的方程为 y2= 45 x.25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 曲线的外形未知求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点Q2,0和圆 C：x 2+y 2=1, 动点 M 到圆 C 的切线长与 |MQ|的比等于常数>0,求动点 M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线.M分析：如图,设 MN 切圆 C 于点 N,就动点 M 组成的集合是： P=M|MN|=|MQ| ,N由平面几何学问可知：|MN| 2=|MO| 2-|ON|2=|MO| 2-1 ,将 M点坐标代入,可得：2-1x 2+y2 -42x+1+42=0.OQ当=1 时它表示一条直线.当 1 时,它表示圆.这种方法叫做直接法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内.当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2典型例题已知椭圆 C 的方程 xy1 ,试确定 m 的取值范畴,使得对于直线y4 xm,椭圆 C 上有不同两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_243可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点关于直线对称.分析：椭圆上两点 x1 , y1 , x2 , y2 ,代入方程,相减得3x1x2 x1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 y1y2 y1y2 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2又 x2, yy1y2 , ky1y22 x1x21 ,代入得 y43x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y3x又由y4 xm解得交点 m, 3m .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交点在椭圆内,就有7两线段垂直问题m 243m 231 ,得2 1313y1·y2m2 13 .13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆锥曲线两焦半径相互垂直问题,常用k1·k2x1 ·x21来处理或用向量的坐标运算来处理.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典型例题已知直线 l 的斜率为 k ,且过点 P2,0,抛物线 C: y 24 x1) ,直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点如图.1求 k 的取值范畴.2直线 l 的倾斜角为何值时, A 、B 与抛物线C 的焦点连线互相垂直.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 1直线 yk xy2) 代入抛物线方程得B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 2 x24 k 24 x4k 240 ,AP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由0 ,得1k1 k0 .-2,0Ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由上面方程得 x1 x24k 24,k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212y yk 2 x2 x24 ,焦点为 O 0,0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 kOA ·kOBy1 y2 x1 x2k 2k 211 ,得 k2 ,2arctan22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或arctan22B: 解题的技巧方面在教学中,同学普遍觉得解析几何问题的运算量较大.事实上,假如我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够削减运算量.下面举例说明：1充分利用几何图形解析几何的争论对象就是几何图形及其性质,所以在处懂得析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何学问,这往往能削减运算量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典型例题设直线 3x求 m 的值.4ym0 与圆 x2y 2x2 y0 相交于 P、Q 两点, O 为坐标原点,假设 OPOQ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解：圆 xy 2x2 y0 过原点,并且 OPOQ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PQ 是圆的直径,圆心的坐标为M 11, 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 M ,1 在直线 3x24 ym0 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_31241m0,m5即为所求.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题假设不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且OPOQ , PQ是圆的直径,圆心在直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3x4ym0 上,而是设P x1 , y1 、Q x2 , y2 再由 OPOQ 和韦达定理求 m,将会增大运算量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题假设不能挖掘利用几何条件OMP90 ,点 M 是在以 OP 为直径的圆周上, 而利用参数方程等方法, 运算量将很大,并且比较麻烦.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们常常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到.典型例题已知中心在原点 O,焦点在 y 轴上的椭圆与直线yx1 相交于 P、Q 两点, 且 OPOQ ,|PQ|10 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求此椭圆方程.解：设椭圆方程为 ax 2by 21ab0 ,直线 yx1与椭圆相交于 P x1, y1 、 Q x2 , y2 两点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由方程组22消去 y 后得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_axby1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab x2xx2bxb 2b10, x xb1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 k OPk OQ1 ,得 y1 y2x1 x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 P、Q 在直线 yx1 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1x11,y2x21,2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y2 x11 x21x1x2 x1x2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把 1代入,得 2x1 x2x1x2 10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 b1即ab化简后,得2b10ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab2410225可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由| PQ|,得 x12x2 y1y2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x1x2 5 , xx 212454 x1 x2,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2b 24b15abab4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2把 2代入,得 4b8b30 ,解得 b1 或 b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入 4后,解得 a223 或 a122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 ab0 ,得 a3 , b1 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求椭圆方程为3 x 2y21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略,简化了运算.三. 充分利用曲线系方程2利用曲线系方程可以防止求曲线的交点,因此也可以削减运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典型例题求经过两已知圆C1： x 2y 24x2 y0 和 C2 ： xy22 y40 的交点,且圆心在直线l ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x4 y10 上的圆的方程.解：设所求圆的方程为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y24 x2 y x 2y22 y40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 1 x21 y 24 x21 y40 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21其圆心为 C,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2又 C 在直线 l 上,214110 ,解得1 ,代入所设圆的方程得x213y 23xy1 0 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求.评注：此题因利用曲线系方程而防止求曲线的交点,故简化了运算.四、充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法.x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典型例题P 为椭圆及此时点 P 的坐标.2 21 上一动点, A 为长轴的右端点, B 为短轴的上端点,求四边形OAPB 面积的最大值ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、线段长的几种简便运算方法 充分利用现成结果,削减运算过程一般的,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程ykxb 代入圆锥曲线方程中,得到型如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax2bxc0 的方程,方程的两根设为xA , x B,判别式为,就| AB|1k 2 ·|xx |1k 2· ,假可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB2设直接用结论,能削减配方、开方等运算过程.例求直线 xy10 被椭圆 x4 y 216 所截得的线段AB 的长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 结合图形的特殊位置关系,削减运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2例F1 、 F2 是椭圆y21 的两个焦点, AB 是经过 F1 的弦,假设 |AB|8 ,求值| F 2 A | F2 B |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_259 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离22例点 A 3, 2为定点,点F 是抛物线 y4 x 的焦点,点 P 在抛物线 y4 x 上移动,假设 |PA| | PF |取得最小值,求点 P 的坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载