近世代数初步_习题解答(抽象代数).doc
近世代数初步_习题解答(抽象代数) 导读：就爱阅读网友为您分享以下“近世代数初步_习题解答(抽象代数)的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to 的支持!注：Z3x的全部元素即为Z3中次数不高于1次的所有多项式所在的剩余类. 2(x?1) 4.427?127?1(mod3) 7123?2123?2120?23(mod5) ?23(mod5)(因为24?1(mod5),2120?(24)30?1(mod5) ?3(mod5) 827?(23)3)3?(23)3?23?2(mod6) 注：直接根据初等数论中的模运算法那么简化运算. 5.Zp0是p?1阶乘法循环群，故?a?Zp0,满足ap?1?1.于是ap?a.又0p?0,所以Zp中全部元是x?x?0的全部根.由第一节习题8,得映射 p Zp?Zp a?a 是恒等自同构. 注：有限域Zp中任意元素a满足a?a. pp 第六节 Fx模某个理想的剩余类环,添加一个多项式的根的扩域 一、知识摘要 1.F是域,Fx的全部理想都是主理想.f(x)是Fx中的任意n次多项式,f(x)生成的主理想为(f(x)= f(x)Fx.那么商环 FxFx?an?1xn?1?.?a1x?a0?(f(x):ai?F,i?0,1,2,.,n?1 (f(x)f(x)Fx ?an?1xn?1?.?a1x?a0:ai?F,i?0,1,2,.,n?1. 其中,r(x)?r(x)?(f(x)是模f(x)的剩余类. Fx是交换环且其上的运算满足：r1(x)?r2(x)?r1(x)?r2(x),且r1(x)?r2(x)?r1(x)r2(x). (f(x) 2. Fx是域?(f(x)是Fx的极大理想?f(x)是Fx中的不可约多项式. (f(x) 3.F是域, p(x)是Fx中的n次不可约多项式,那么 (i) 域FxFx可看作F的扩域.此时x?x?(p(x)?是p(x)的根. (p(x)(p(x) (ii)设?是p(x)的任一根,那么有F(?)? 二、习题解答 Fx. (p(x) 1.(x2?x?1)(x3?2x?1)?x5?x4?2x3?1. (x4?2x?1)(x3?x?1)?x7?x5?x3?2x2?1 注：按照Zx中多项式乘法,系数模3即可. 2.x2?1,x3?2x?1在Z3中无根,于是在Z3x中无一次因式,从而不可约. Z3xZ3x是9是27个元素的域. (x2?1)(x3?2x?1) 注： p是素数,f(x)是Zpx上的n次不可约多项式,那么 3.用§4习题7,它的全部理想为零理想及 Zpx(f(x)是pn个元素的域. Z3x(x2?1)Z3x(x3?2x?1)Z3x ,2,22333(x?1)(x?2x?1)(x?1)(x?2x?1)(x?1)(x?2x?1) 后面两个理想是极大理想. 4.易证Qx与Q(2)都是域。作映射 (x2?2) Qx? Q(2) ? p(x)?p 这是同态映射,且是满射 .Ker?p(x)|p?0.由 于x?2的极小多项式,故2 Ker?(x2?2).由同态根本定理得 Qx?Q(2). 2(x?2) 注：由同态根本定理证明,关键是映射Qx?Q(2)的建立. 第七节 整环的分式域,素域 一、知识摘要 1.无零因子的交换环R(R?0)称为整环.整数环Z和域上的多项式环Fx都是整环. 2.设R是整环,在集合R?R0上定义等价关系M如下： ? (t,s)M(l,m)?tm?sl. 在等价类的集合 ?t?F?:(t,s)?R?R0? ?s? 上定义加法和乘法如下：?ac,?F, bd acad?bc?, bdbd acac?. bdbd 那么F在这样定义的运算下构成域. F可看作环R的一个扩域(或R是F的子环),且F中元都是R的元素的商.把具有此性质的域F称为整环R的分式域. 3.同构整环的分式域必同构. 特别,任一整环R的分式域在同构意义下唯一. 4.F是域,那么 (i) F的特征为0时,F必有与有理数域Q同构的子域. (ii) F的特征为p(素数)时,F必有与域Zp同构的子域. 即任何域(在同构意义下)必包含Q或Zp作为子域.从而,有理数域Q与 Zp不在再含有其它的子域.把具有此性质的域称为素域. 二、习题解答 1.设R是有限整环,R?r?,rrt-1是R的1,?,rt.令rt?0.?0?r?R,当ri?rj时有rri?rr.j故rr1, 全部非零元,必有某rj使rrj?1,即rj为r的逆元.R的每个非零元都有逆,故是域. 注：主要根据整环中消去律成立. R是整环，?a,b?R,假设ab?P,那么(a?P)(b?P)?ab?P?0.于是a?P?0或b?P?0,即 P a?P或b?P.故P为素理想. R反之,设P是素理想, ?a,b?R,假设ab?P那么a?P或b?P.现设中(a?P)(b?P)?ab?P?0. P R即ab?P.于是a?P或b?P,即a?P?0或b?P?0.故是整环. P2.设 注：素理想必为理想. 3.设I是R的极大理想,那么R是域,当然是整环.由习题2.I是素理想. I 4.设Z中(n)?nZ是一个理想.当n?0时,(n)是素理想.当n?0时,设n?0.假设n不是素数,设n?ab,a,b均为大于1的正整数,由于a和b都不是n的倍数,故a?(n),b?(n).但ab?n?(n),故(n)不是素理想.这就证明了(n)是素理想那么n?0或n为素数. 反之,n?0或n为素数.当n是素数时,对ab?(n),那么n|ab.假设n不整除a,那么(n,a)?1且n|b.即a?(n) 或b?(n),从而(n)是素理想. 5.R是域,那么也是整环.它的分式域F以R为子环,且F中的元是R的元的商.由于R是域,它的元的商仍在R中,故R=F. 6.?2?Q(2),可写?
