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电子科技大学微积分试题及答案 电子科技高校期末微积分 一、选择题(每题 2 分) 1、设 x ¦( ) 定义域为（1,2），则 lgx ¦( ) 的定义域为（）A、（0,lg2）B、（0，lg2 C、（10,100） D、（1,2）2、x=-1 是函数 x ¦( ) =( )221x xx x-的（）A、跳动间断点B、可去间断点C、无穷间断点 D、不是间断点 3、试求02 4limxxx®- +等于（）A、 -14B、0 C、1 D、 ¥4、若 1y xx y+ = ，求 y¢ 等于（）A、22x yy x-B、22y xy x-C、22y xx y-D、22x yx y+- 5、曲线221xyx=-的渐近线条数为（）A、0 B、1 C、2D、3 6、下列函数中，那个不是映射（）A、2y x =( , ) x R y R+ -Î Î B、2 21 y x = - +C、2y x =D、 ln y x =( 0) x >二、填空题（每题 2 分）1、211 x +y= 的反函数为 _ 2、2( 1 ) l i m ()1xn xf x f xnx®¥-=+设 （ ，则 的间断点为 _ 3、21lim 51xx bx ax®+ +=-已知常数 a、b, ，则此函数的最大值为 _ 4、26 3 y x k y x k = - = = 已知直线 是 的切线，则 _ 5、 ln 2 1 11 x y y x + - = 求曲线 ，在点（，）的法线方程是 _ 三、推断题（每题 2 分） 1、221xyx=+函数 是有界函数 ( ) 2、 有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、 limbb aa=¥ 若 ，就说 是比 低阶的无穷小( ) 4、 可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、 曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点( ) 四、计算题（每题 6 分）1、1sinxy x = 求函数的导数2、21( ) arctan ln(12f x x x x dy = - + 已知 ），求3、2 32 6 x xy y y x y - + = ² 已知 ，确定 是 的函数，求4、20tan sinlimsinxx xx x®-求5、31 )dxx x +ò计算（ 6、210lim(cos ) xxx+®计算五、应用题 1、设某企业在生产一种商品 x 件时的总收益为2) 100 R x x x = - （ ，总成本函数为2( ) 200 50 C x x x = + + ，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的状况下，总税额最大？（8 分）2、描绘函数21y xx= + 的图形（12 分）六、证明题（每题 6 分）1、用极限的定义证明：设01lim ( ) , lim ( )xxf x A f Ax+®+¥®= = 则2、证明方程 1 0,1xxe = 在区间（ ）内有且仅有一个实数一、 选择题 1、C2、C 3、A 4、B 5、D6、B 二、填空题 1、 0 x = 2、 6, 7 a b = = - 3、184、3 5、 2 0 x y + - =三、推断题 1、 √2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、1sin1sin1sin ln1sin ln22)1 1 1 1cos ( )ln sin1 1 1 1( cos ln sin )xxxxxxy xee xx x x xx xx x x x¢ = ¢= ¢é ù= - +ê úë û= - +（ 2、 2 2( )1 1 2(arctan )1 21arctandy f x dxxx x dxx xxdx= ¢= + -+ += 3、 解： 2222)2)2 2 2 3 02 32 3(2 3 )(2 3 (2 2 )(2 6 )(2 3x y xy y yx yyx yy x y x y yyyx y- - ¢+ ¢ =- ¢ =- ¢ - - - - ¢ ¢¢ =- 4、 解： 222 30 00 tan sin ,1 cos21tan (1 cos ) 12lim limsin 2x xxx x x x xx xx xx x x® ®® - = =当 时，原式= 5、 解：6 652 3222226 6,61 )611 16116 (1 )16 6arctan6 6arctanx x tdx tt ttttttt t Cx x C=+=+ -=+= -+= - += - +òòòò令t=原式（ 6、 解：2201lncos01lim lncos20200012lim1lim lncoslncoslim1( sin )coslim2tan 1lim2 2xxxxxxxxxxeexxxxxxxxxe+®+®®®®®-=-=-= = - = 原式其中：原式 五、应用题 1、解：设每件商品征收的货物税为 a ，利润为 ( ) L x2 22( ) ( ) ( )100 (200 50 )2 (50 ) 200( ) 4 5050( ) 0, , ( )4(50 )41(50 2 )410 25 0225L x R x C x axx x x x axx a xL x x aaL x x L xa aaxT aT a Ta= - -= - - + + -= - + - -¢ = - + -¢ = =-=¢ = -¢ = = ¢¢ = - < =令 得 此时 取得最大值税收T=令 得当 时，T取得最大值 2、 解：( ) ( )2330 0, 012102220 1D xy xxy xyxy x= -¥ È +¥ =¢ = -¢ = =¢¢ = +¢¢ = = -， 间断点为令 则令 则 x( , 1) -¥ -1 -( 1,0) -0 310,2æ öç ÷è ø 312 31( , )2+¥y¢- -0 +y¢¢+0 - +y 拐点 无定义 极值点 渐进线： 032limlim 0 01limxxxy yy x yy xyx x®¥®®¥= ¥= =+= = ¥无水平渐近线是 的铅直渐近线无斜渐近线图象 六、证明题 1、 证明：lim ( )0, 0( )1 1 101( )1lim ( )xxf x AMx M f x Ax MM M xf Axf Axeexe®¥®¥=" > $ >> - <> < < > - <=当 时，有取 = ，则当0 时，有即 2、 证明： ( ) 1( ) 0,1(0) 1 0, (1) 1 00,1 ( ) 0, 1( ) ( 1) 0, (0,1)( ) 0,11 0,1xxxf x xef xf f ef ef x x e xf xxexx x x= -= - < = - >Î = =¢ = + > Î -令在（ ）上连续由零点定理：至少存在一个 （ ），使得 即又则 在 上单调递增方程 在（ ）内有且仅有一个实根
