综合检测试卷(一).docx

综合检测试卷（一）（时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）.等比数列斯中，是函数式尤）=/ 4x+3的两个零点，则。3。9等于（）A. -3 B. 3 C. -4 D. 4答案B解析7是函数/（1）=/一4x+3的两个零点，.5,是方程x24x+3=0的两个根, .5,。7 = 3,由等比数列的性质可得3,。9 =。5,。7 = 3.1 .设函数式幻二+4若/ （1） = 3,则。的值为（）A. 1 BJ C. 1 d4答案c解析/ 0） = 3加，：.ff （T） = 3q=3, = 1.3 . 5是等差数列斯的前项和，若卷=；,则新为（）A 得 B| C-| D|答案A解析设 S3 = 4, 516 = 3，根据§3,S3, S9 S6, S12 S9是一个首项为公差为。的等差数列，各项分别为2a,3a,4a,坊 §63a512 q+2q+3q+4q 10,.函数/U） = e'x（e为自然对数的底数）在区间11上的最大值是（）A. 1+- B. 1 C. e+1 D. e-1 e答案D解析 f (x) = eA1,令/ (x) = 0,得 x=0.又月0)=e。-0=1, Xl) = e-l>l, /-1)=1+1>1,且e一1e所以於）max=>（l） = e1.4 .函数y=在的大致图象可能是（）答案D解析 当x=e时，y=l9即函数过点（e,l）,排除A；x（ln x）2'当x>l时，函数单调递减；当04V1时，函数单调递减，排除B, C.95 .设等比数列斯的前项和为S，且满足0+4=干S6 = 9S3 .若勿= 10g2斯，则数列勿的前10项和是（）A. -35 B. -25 C. 25 D. 35答案CR 90（1+才）=不解析 设等比数列斯的公比为?由题意知q*l,贝N当（T）=1一9解得（1一/），/“一平所以斯=；X2= 2-3,所以乩=一3,所以数列儿的前10项和，。=地竽19=2,= 5X（-2+7） = 25.6 .中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作直指算法统宗.这 是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及 和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？ ”翻译成现代文为：今有白米一百八 十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石, 那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得（）A. 78 石 B. 76 石 C. 75 石 D. 74 石答案A解析 今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列斯, 只知道甲比丙多分三十六石，因此公差d=*=-= 18,贝I前3项和 = 30+-5 1Z，X（18）=180,解得。1=78.所以甲应该分得78石.8.已知«r)为定义在R上的可导函数，/ (x)为其导函数，且(x)恒成立，其中e是自 然对数的底数，则()A. fi2 020)<e/(2 021)B. e/(2 020)</(2 021)C.第2 020)=42 021)D.然2 020)次2 021)答案B解析 令F(%) 审，则9(x)=f'(X)AX由于火X)勺7(X)，所以尸(x)>0,故函数F(x)在R上单调递增，所以尸(2021 )>F(2 020),£2021) ,/(2 020)故;2n2 > e2 020，即 第2 020)勺(2 021).二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分)A. ( 1,3)为函数y=/(x)的单调递增区间(3,5)为函数)=/(幻的单调递减区间C.函数y=/(x)在x=0处取得极大值D.函数y=/(x)在x=5处取得极小值答案ABD解析 由题图，可知当x<1或3Vx<5时，/ (x)<0；当x5或一1 vx<3时，/ (x)>0,所以 函数>=/U)的单调递减区间为(一8, -1), (3,5),单调递增区间为(一1,3), (5, +8),所以 函数y=/(x)在= 1，%=5处取得极小值，在x=3处取得极大值，故选项C说法错误，A, B, D正确.10 .等差数列。是递增数列，满足7 = 3恁，前项和为s，下列选项正确的是()A. d>0B. 。1<0C.当=5时，S最小D. S>0时，的最小值为8答案ABD解析 由题意，设等差数列斯的公差为义因为 7 = 35,可得 4i+6d=3(i+4"),解得 i = -3d,又由等差数列诙是递增数列,可知办0,则的<0,故A, B正确;因为* =九2+"一2包8 '2包8 '由£N*可知，当=3或4时，S最小，故C错误;令S尸，?2一争2>o,解得<0或>7,即S>0时，的最小值为8,故D正确.11 .设等差数列为的前项和为S”且满足Si5>0, 516<0,则()A. 8>0B.。9<0兴,乎中最大的项为受。2。15。9a*，居中最大的项为官答案ABD解析由 S5 =15。8>0,得。8>。，A 正确；由 S16 =<0,得9+。8<0,所以。9<0,且d<o, B正确；因为d<0,所以数列斯为递减数列，所以0, 08为正，斯为负，且$,，$5为正,S16,5为负，噜，,1为正,%工为负，C错误；当后8时，S”单调递增，斯单调递减，所吟单调递增，所以脚兴,金中最大的项为, D正确. 15。8.若函数yu)= e"1与g(x) = or的图象恰有一个公共点，则实数的可能取值为()A. 2 B. 0 C. 1 D. -1答案BCD解析 «r) = e'1 与 g(x)=x 恒过(0,0),如图，当aWO时，两函数图象恰有一个公共点，当a>0时，函数八%)=k1与g(x)=ax的图象恰有一个公共点，则g(x)=ax为人)=81的切线,且切点为(0,0),由1a)=e",所以。=/ (0)=e°=l,综上所述，的可能取值为0, 1或1.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分).若函数/(x)=V+czx24在x=2处取得极值，则。=答案3解析由 «¥)=f + ox2 %可得 f' (x) = 3f+2ax,因为=2是函数«x)的极值点，可得/ (2) = 0,所以一3义4+2义2 = 0,解得=3.12 .若数列斯的前几项和S=3-1,则它的通项公式斯=.答案2X3i解析 当 22 时,斯=S一Si=3一1一(3i 1)=2X3I当 =1时，0=Si=2,也满足式子a=2X31,数列斯的通项公式为诙=2X3i.15.在数列中，已知0=2,斯斯-1=2斯7 £N*),记数列的前项之积 为T,若。=2 021,则的值为.答案2 020文/345+1解析 由斯斯-=2斯-1 1(22,)及=2,得。2=, 3=W，。4=不 ，a=一"一.数列以的前项之积为234+1.TvX-X-X X=71+1.12 3 nJ当=2 021时,的值为2 020.16.若函数人)=加一¥+1存在唯一的零点xo，且沏>0,则实数的取值范围是.答案j 8,一亨解析 当a=0时，/x)=1x2+l有两个零点，不符合题意；当 时，f (x) = 36TX23x=3x(ax- 1),令/(X)= O,解得 Xl=o, X2=.若 >0,则)>0,令/ (x)>0,得 x<0 或无，；令/ (x)<0,得。4<),则 «x)在(一8, 0),电+8)上单调递增，在(0, J)上单调递减；又/(1)=Q；<0, /(0)=1,则此时/(X)在(一8, 0)上存在零点，不符合题意.若4V0,贝内<0,令，(x)>0,得:<x<0;令，(x)<0,得XV：或x>0,贝U/U)在(十，0)上单调 递增，在(一8, £), (0, +8)上单调递减.要使存在唯一的零点xo且超0,则满足/七)=1表0,解得。一乎，综上，实数a的取值范围是(一8,乎)四、解答题(本题共6小题，共70分)(1。分)已知是公差为3的等差数列，数列为满足6=1,历=3, anbn+bn=nbn. 求斯的通项公式；(2)求儿的前项和.解(1)由已知。 = 1,岳=3, cib b =Z?2j 得。i=2,数列斯是以2为首项，3为公差的等差数列， 斯=2+3(- 1) = 3九一 1(£N*).(2)由知,(3- 1)/+瓦=瓦+i,即 bn+i = 3b, 数列父是以1为首项，3为公比的等比数列，记为的前项和为S”小 13 3- 1,则 5.=-r=(neN*).18. (12 分)已知函数«x)=52+alnX.若，=1,求函数次幻的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若。=1,求函数1)在1, e上的最大值和最小值.解(1)函数段)的定义域为(0，+8),) , 1 (%+ 1)(% 1)当。=一 1 时，f (%)=%- =,令/ (x) =。，得 X=1 或 x= 1(舍去)，当 x£(0/)时，ff (x)0,函数7U)单调递减；当 x£(l, +8)时，f (%)0,函数7U)单调递增，所以/(X)在x=l处取得极小值，极小值为) 无极大值.当。=1时，易知函数7U)在1, e上单调递增，所以/(X)min=/(1)=T，«X)max=/(e)=；e2+l.岳=。5.19. （12分）在等差数列斯中，02 = 3, 45 = 9,在等比数列瓦中,加=2,求数列%, 与的通项公式；若金=斯瓦，求数列金的前n项和Tn.解（1）在等差数列斯中，设首项为公差为“由。2 = 3,恁=9,。2=。1 + d= 3 9。5=。1+41=9,解得解得0=1, cl=2.所以 an=2n 1.又设小的公比为q,由仇=6=3,历=。5 = 9,得 =3, 所以为=3.(2)cn=anbn=(2n 1 )-3n,乙=3 + 3X32+5X33 + (2-l)3，37；2=32+3X33+5X34HF(2一3)X3+(2一 1)3十】， 由一得-27；=3+2(32+33+344F3)一(2- 1)3十】,9(13D+1= 3 + 2X-l-一(2- 1)3'什|1 3=-6+2（1初 3+1所以 =3 + 51）3+1（12分）正项数列斯的前项和S满足S（n2+n 1）SW（n2+n）=0.求数列斯的通项公式斯；都有都有+1（2）令小=（ + 2）* 数列勿的前项和为乙，证明：对于任意的6N）解由能一（川+- 1）S一（/+）=0,得 S（川+）+1）=。由于数列斯是正项数列，所以s>o,所以s=居+儿则 ci=S 2,当 时，an = Sn-Sn-= 722 + n (H I)2 (72 l) = 2n,又41=2 = 2X1满足上式.综上，数列小的通项公式为斯=2('£N*).(2)证明 因为斯=2，所以。 =(+2)2届+1 _1T 1,_ 14层( + 2)2=冠层(+2)2_丁产出1T+次T+/T+号1厂舟村9丁产出1T+次T+/T+号1厂舟村91(+2尸.=如+京-15+1)2(+2)2564-所以对于任意的£N*,都有卷.21.(12分)某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=±+10(x6R其中3<x<6,。为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求实数的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利 润最大，并求出最大值.解(1)当x=5时，y=ll,由函数式10(x6)2,Ji D得 5+10= 11, =2.2(2)由(1)知该商品每日的销售量 >=鼻+10(x6)2, 商场每日销售该商品所获得的利润为r 2J/U) = (x3) Z+10(x-6)2 =2+ 10(%-3)(x-6)23<%<6,f (x)= 10(x-6)2+2(x-3)(x-6)= 30(x4)(x6),令/ (x)=。，得 x=4,当3vx<4时，/ (x)>0,函数於)在(3,4)上单调递增；当4<rv6时，/ (x)<0,函数於)在(4,6)上单调递减， 当x=4时，函数式工)取得最大值式4)=42,当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.22. (12 分)已知函数«x) = 3(x1) 2xlnx.求汽外的单调递增区间；(2)当时，/(x)Walnx恒成立，求实数。的取值范围.解(1)因为函数 «x) = 3(x1) 2xlnx,所以/ (x)=l21nx,令 / (x)>0，解得 0<x<e2 ,所以大幻的单调递增区间为0,” .17(2)因为当时，兀x)Wain元恒成立,所以当 工21 时,3(x1) 2xlnxalnxWO 恒成立, 令 g(x) = 3(x1) 2xln x-aln 尤，则 g(l) = O,x一2xln xx令 /:(x) xa2xn x,则'(x)= 121nx,%(1)=1a, 因为当时，/ a)wo恒成立,所以/z(x)在1, +8)上单调递减.当21时,力a)W/z(l)WO, g(x)在1, +8)上单调递减，故g(x)Wg(l)=O,符合要求；当 a£( e,l)时，>0, /z(e)=-e-6/<0,力。)单调递减,故存在为£(1, e)使得05) = 0,则当工£(1,孙)时,/i(x)>0, g(x)单调递增,g(%)>g(l)=O,不符合要求;'-a、以工)单调递减,=a e 2 -1 <0,I J/-a、故存在xo£ l,ev使得或切)=0, I /则当x£(l,沏)时,/i(x)>0, g(x)单调递增，g(x)g(l) = O,不符合要求. 综上