大题综合训练-解析版.docx

学校;姓名:大题综合训练班级:考号:一、解答题，-i j-L 一小,f a-c sin A-sin B.在“IBC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知一-=;一 a + b sinC(1)求角B的大小;(2)设 7 = 2a-c,若b = 6，且A,。都为锐角，求力的取值范围.cos B cos A1 .如图，45C的内角A, B, C的对边分别为。，b , c , a = 2b,且(1)求c；(2)在ANC 内有点/，/CMA = NCMB ,且直线 CM 交 A3 于点Q, 求 tan/CQA.2 .请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.丽衣=-6;|。+蓊|=2E，i为虚数单位；A3C的面积为3岳.在ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a,c,已知bc=2, cosA = -(2)求 sin(CJ)的值. ocos B cos A3 .如图，ABC的内角A, B, C的对边分别为m b, c, a=2b,且(1)求焦点尸的坐标，并证明直线48过点尸;(2)求四边形A3RQ面积的取值范围.22/729 .已知椭圆C* +方=1('八0)经过点在(2,0),且离心率为学(1)求椭圆。的方程;(2)设直线k工-1与椭圆C相交于尸，。两点，求期版的值.22匕0)的左，右焦点耳，入的两条相匕0)的左，右焦点耳，入的两条相30 .已知直线4与，2是分别过椭圆£点+1r = 1(。交但不重合的动直线.4与椭圆相交于点A,丛，2与椭圆相交于点C，D,。为坐标原 点.直线0Ao民。C。的斜率分别为颔次8，心，心，且满足心+&=心+(1)若4与1轴重合.|4却=26,|。4=华.试求椭圆上的方程：(2)在(1)的条件下，记直线4 n，2 = P.试问：是否存在定点M，N,使得|PM| + |PN为定值？若存在.求出定值和定点M, N的坐标：若不存在，请说明理由.31 .已知函数/(x) = " + "*,其中e是自然对数的底数.(1)判断并证明"X)的奇偶性；(2)若关于x的不等式矿(x)e-,+-在(。,+8)上恒成立，求实数机的取值范围；(3)已知正数，满足：存在与£口，+8),使得"/)(_£+3%)成立，试比较/t与 的大小，并证明你的结论.CI 1.设函数/(x) = lnx +,g(x) = ox 3.x(1)求函数0(x)= /3 + g。)的单调递增区间；(2)当。=1时，记力。)=/(x)g(x),是否存在整数4,使得关于x的不等式22有 解？若存在，请求出4的最小值；若不存在，请说明理由.32 .已知函数/(x) = lnJl, 4=1,。，汨=4).X(1)试判断了(%)的单调性;(2)求证：4为递减数列，且% 。恒成立.34.设函数,f(x)-2tzx +(26Z-1)Inx,其中。£ R .(1) q = i时，求曲线y = /(x)在点(1J)处的切线方程；(2)讨论函数y = /(x)的单调性；(3)当时，证明对DxeQ2),都有/(x)<0.35 .已知函数 /(x) = lnx + x2 -aV)x,a e R(1)讨论函数7。)的单调区间；(2)设否，9(0<m</)是函数g(x)= /(x)+ x的两个极值点，证明: 8(%) 一8(2)<§一皿。恒成立.36 .已知函数/(x) = (f -办+ l)e'.(1)讨论“X)的单调性；(2)若g(x) = x)-l在(L+oo)上有零点,求实数q的取值范围.参考答案1. (1) 3 = 60。； (2) 2£(O,3).【分析】(1)利用正弦定理对上q=空上芈变形化简可得收= /+，/,再利用余弦定理可 sine求出角B的大小；(2)由正弦定理可得。=2 sin Ac = 2sinC ,则 = 4sin A - 2sin C = 4sin A - 2sin (120° - A),再由A,。都为锐角，求出角A的范围，从而可求出机的取值范围【详解】a c (1 h(1)由已知及正弦定理，得一；=,即50)。= /，即讹、=4+02 a + b c由余弦定理，得cos3 = =Z ='.2ac 2因为3£(0,)，所以8 = 60。.(2)因为/? = 6,5 = 60。，则，= 百 =2,得Q = 2sinA,c = 2sinC.sin A sin C sin 60°所以m= 4sin A2sinC = 4sin A 2sin(120° A)4 人41 .八=4sin A-2 cosA + smA122 J=3sin A-V3cosA = 2V3-sin A-cos A = 2>/3sin(A-30o).因为 A C 都为锐角,A+C = 120°, WiJ 30° < A < 90°, 0° < A - 300 < 60°, 0 < sin (A - 30°) < ,所以根£(0,3).2. (1) ZC = 90°； (2) tan/CQA = 8.【分析】(1)根据边角互化，以及二倍角公式得sin2A = sin2B,根据角A5的关系，即可求角C；(2)首先设ZMC4 = 6,在KMA和CMB中，分别利用正弦定理，结合条件，即可求得tan。，再结合三角形内角和的性质，即可求解tan/CQA.【详解】a b(1) => sin Acos A = sin Bcos B ,cosB cos A即 sin 2A = sin 23,24 = 23或24+28 = 180。,： a = 2b, Aw3,故A + 3 = 90°, A ZC = 90°.MA b（2）在CM4 中，设 NMC4 = 6,则二，sin 0 sin / CMAMB _ a _ 2b _ 2AM在CMfi 中则 sin（90。） sin/BMC - sin/BMC - sin。，2而 BM = 3AM n 3sin9 = 2cos6n tan8 = , 32 + 2tan ZCQA = -tan （9 + ZBC = - tan6> +tangAC = 一_3= 8.'71-tan 夕 tan/BAC , 21x z3(1) 8； (2) 3亚-7 .16【分析】选择，由向量的数量积的定义得到税的值；选择，由复数的模求得"C的平方和；选择，由三角形的面积公式求得税的值.(1)结合b-C的值，求出4。的值，进一步利用余弦定理求出(2)利用余弦定理求出cos。,进而求得sin。,再利用两角差的正弦公式计算即得.【详解】方案一：选择条件：(1) V AB - AC = be cos A = -6 cosA = 一：,：.be = 24172c = 24 b = 6 b = -4由（ o,解得 /或 /（舍去），h-c = 2c = 4 c = -6（/. er =Z?2 +c2 -2/?ccos A = 36 + 16-2x6x4x =64 , ，q = 8I 4J方案二：选择条件:(1)由/?2+c2=52 “2，解得Z? = -4c = -6 (舍去)'-=64, 4>a2 = b1 +c、2 -2hccos A = 36 + 16-2x6x4x方案三：选择条件:(1 ) V cosA = - , sin A =,44又：= -besin A = -bc = 3715 ,； bc = 24, 28b = -4c = -6 (舍)，a2 = /?2 + c2 -2/?ccos A = 36 + 16-2x6x4x cos。 cos。2x8x68lab：.sinC = J1- 648sin(C- -)= sin Ceoscos Csin 666sin(C- -)= sin Ceoscos Csin 666V15 V3 7 1 375-7xx =82 8 216n4. (1) ； (2) 82【分析】(1)利用正弦定理将边化角，再利用二倍角公式得到sin2A = sin23,即可得到2A = 28或7F2A = tt-2B,再根据。=如，即可得到A+B = w，从而得解; A(2)建立平面直角坐标系，4 = 20 = 2,过点M作MEJ_AC、用/，3。交4。、8C于点E、ME 2F,根据面积公式得到前=§,即可得到直线CQ的方程,从而得到其方向向量,设NCQA = 6,再根据平面向量的夹角公式求出cos。，最后根据同角三角函数的基本关系计算可得;【详解】解：(1)因为解：(1)因为cosB cos A,所以 acosA = 6cos8,即 sin Acos A = sin 8 cos 5,所以jrsin 2 A = sin 2B,所以 2A = 23 或 2A = -28,因为 a = 2Z?,所以 A+8 = ,因为 A+B+C = »,71 所以。=不(2)如图建立平面直角坐标系，因为。=2力，令a = 2b = 2,则A(1,O), B(0,2),过点M作ME1AC. MFLBC 交 AC、BC 于点、E、F ,因为/CM4 = /CAffi, BM = 3AM ,又11Ss bcm = CM BM sin NCMB , S ACM =-CMAM sin ZCMA ,所以 = 又/ACM11MF 2MF 2S.bcm=CB,FM，SjcmyCA EM，所以 = 所以 1411/。石=彳，所以直22FM 3CE 32,线CQ为y =所以直线CQ的方向向量可以为1 = (3,2),又砺= (1,2),设NCQ4 = e,则 cos 0n - AB 1V65/ c；n ft种石而二为"'所以所以tan° = » = 8【分析】【分析】(1)根据正弦定理实现边角转化，结合同角的三角函数关系式进行求解即可;(2)根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】(1)由正弦定理及 a sin 3 + V5/2COS A = 0得sin Asin B +V3 sin 3 cos A = 0 .乂在中，sin B > 0, /. sin A + /3 cos A = 0 ,2冗 得 tan A = -V3 , < 0 < A < % ， A =.(2)由(1)及a = 2近， =2及余弦定理，得28 = 4 + /-408$=即 <?+2° 24 = 0,解得c = 6 (舍去)c = 4.由题设可得=所以 N8W = NA4C NCA3 = e.26AB-ADsin 故AABD与AACO面积的比值为2n= 1-ACAD2又A5C的面积为-x4x2sin ABAC = 2百, 2所以A3。的面积为JL(1)述；(2)叵.84【分析】7(1)在BCD中，由余弦定理求得3。= 一，利用三角形的面积公式求得ABC的面积为 4S二巫,结合ABC和ABO的高相等，即可求解； 2(2)由(1)得到NA = N/WD,在BCD中，由正弦定理求得cos A ="，即可求解.4【详解】(1)因为点E为的中点，DE±AB,所以4) = &).在 4BCD 中，由余弦定理得 BD2 = BC2+ CD2 - 2BC -CD cos C,7所以 8b=4 + (3 5022x(38。)，解得 3。= ：,4又ABC的面积为5=！3。4。5m/。=!2乂3*且=逆，2222因为ABC和A3。的高相等，所以谡。的面积为当挛=芈.AC 28(2)由(1)得到 NA = NAB。，所以。石=3。3口/3。=笈0114,在ABCD中,在ABCD中,T力士曰BD BC由正弦定理付碇=嬴石而所以而悬2 =急,即专瘾，解得“SA邛'2又因为幺虫。，兀)，所以sinA = Jl cos2A=亚.46. (1)4=2； (2) 2021.【分析】(1)求出公比和首项即可.t J -L O（2）利用错位相减法，求出北二2-一天，再作差求出递增，即可求解.【详解】（1）因为数列4满足：%-=0,% =8 ,所以为讨=2%，设4的公比为必可得4= 2,又3 =8,即 4q=8,解得 =2,(2) bnTnTn=-+-r+,2 22 23 T1123 n5北亏+井升+国,1123 n5北亏+井升+国,上面两式相减可得北=/ +壑 +亍"1"下"一2+】化简可=2-化简可=2-"+ 2因为 <+1(=2 2+i-2 +2所以亿递增，（最小，且为g所以2x；加-2021,解得加2022,则机的最大值为2021.8. （1）证明见解析；（2）2 + + 2【分析】（1）由已知可得2&+（+1） = 4-,再由等比数列的定义即可证明.（2）由（1）可得+，再由等比数列以及等差数列的前项和公式，分组求和即可求解.【详解】（1） ; 2% =%+ + 2, A 2an+-（n+l） = an-n,金=；,数列2是以4=4-1 =（公比为g的等比数列.(2)由(1 )知a=Q一 =Cln15c111c1Sn = Q + CI2 + Q3 + , +-bld + 2 + H- + VI21 2n 7 n(n +1) _ - + + 21I 122 2H29 .证明见解析；药【分析】（1）由题知log"=2 + 2,故4=公+2,再根据等比数列的定义证明即可;11 （1 A（2）根据题意，并结合由（1）得% =2向，进而得7 -一-,再根 4n -1 21 2 - 1 2/1 + 1 J据裂项求和法求和即可得答案.【详解】解：（1）数列log是首项为4,公差为2的等差数列,?. logA. an =2/2 + 2 , /. an公+2, .左2吊，.也=廿%又 a1 = k2+2 = k4,数列。 是以/为首项，公比为42的等比数列.(2)由(1)得：册=k": ： k =2"+' ,2向71 If 11 )又“也=而口，,"=斤二7 = 51五二？一五百).,1 fl 1 11n.T b、+ b, + b? + + b = - 1 1F-i=213 3 52/t-l 2n + l J 2 + l. (1) = 22T；(2)2021.【分析】（1）由数列的前项和与项满足3S=4%-2, «eN+,利用S”和%的关系，经分类讨论可得数列%是等比数列，进而求数列4的通项公式.（2）由（1）可得 1暇%=2-1,则7； =",即可得到 1- 1- 1-=黑I 4八。I （J 2九再解不等式即可;【详解】(1)求 c；(2)在ABC 内有点 M, /CMA = /CMB,且 8M=3AM,直线 CM 交 A5 于点 Q, 求 tan Z CQA.5 . ABC的内角A, B,。的对边分别为，b, c,已知sin3 +后cosA = 0.(1)求角A的大小；(2)设。为BC边上一点，且4OJ_AC,若q = 2«，。=2 .求A3。的面积.兀6 .如图，在A3C中，ZC = -, BC = 2,点E为AB的中点，点。在AC上且。石_LtW.(1)若AC = 3,求A3。的面积；(2)若 DE = 6，求sinZA.7 .比知数列4满足：a+12。=0,。3=8(1)求数列4的通项公式；(2)设a二一数列也的前项和为若2 > 根-2021对 cN*恒成立.求正整数 册m的最大值.38 .数列%满足：4=；, 2用=%+ + 2.(1)记-几,求证：数列出为等比数列；(2)记§ 为数列4的前几项和，求S.9 .已知数列1。&4是首项为4,公差为2的等差数列.(%为常数，女0且左。1).(1)求证：数列4是等比数列；(2)当攵=&时，设。，仇=一，求数列低的前项和了“.4 -110 .设数列%的前项和为S”，已知3S=4%-2(21且£N+ ), 7；是数歹Ulog24(1)因为3S=4，2,当 =1 时，3S】=4q2,解得q=2, 当九 N 2 时,3s,i = 4an_1 - 2 , /. 3Sn - 3szi=4an - 4an_t,即 att = 4afl_1,因为 q = 2 w 0 ,故 w 0 ,+ = 4,则q是以2为首项，4为公比的等比数列， ttn-故4 =2.47=22-(2)由(1)得:log2an=log222n-,=2n-l,.Tn = log2 a + log2 2 + , + log2 an=1 + 3 hf(2 1)n( + 2/1-1)22 n (1 V 1 A (1 > (1 (1 A (1 A即 111= 1- 1 1-222-32-42" 2 > nW20212n 2021所以正整数的最大值为2021.；7 YI11. (1)%=2T； (2) S=-【分析】(1)根据条件求出q即可； =log22=H-l,然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.【详解】(1), & 二夕2 = 4,且 q > 0 , q = 2 , %.a=q/T=2T(2) a=log2 2'i=-1-1 32-1 42 -1 n2-l1.32435(/1-1)(/? + 1)12. （1） an = 2n ； （2） 7；=1 + （1）一n + 1【分析】（1）首先由条件可知S+S,i=Ja3再利用数列4与S的关系，变形得到递推关系，得到 数列凡的通项公式；（2）由（1）得到a=（一1）" + =）再求数列的和.【详解】（1）由题得，当-2 时, S“+S,i=2x；a,；=a；，当.3 时，S,i+S_2=Ja；L ，-得% +。一1一3九=w（41 +%-1）（“,所以%-%I =2（儿.3）.当 =2时，由S+S,i=Ja3得邑+百=；蜡，整理得嫉一 2% 8 = 0 ,解得的 = 4或。2 = 2 （舍去）.又。2-4=2,符合式.所以数列%是首项为2,公差为2的等差数列，所以可=2.(2)由(1)得5=四三四=5 + 1). 乙2 + 1+1)所以北=。+%+&+(n( n =-1 + - + + 2J12 3)13. （1）证明见解析;¥【分析】（1）通过平面R4D_L平面A8CZ）得证PEJL平面A3CZ）,继而得出PEJLB。；过点。作。尸8。得四边形OEBC是正方形，DF = FB = BC = DC = T, AD = BD = C，再由勾股定 理得出NA/M = 90。，即得证3。_1_平面PAO,得BD上PA,再由AP_LPD,得 证APJ_平面Pa）,最后得平面平面P3。；（2）分别以射线E4、EF. E/为工轴、轴、z轴的正半轴，£点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，运用空间向量相关运算求出二面角5-PD-C的正弦值.【详解】（1）证明：点E为AD的中点，连接过点。作。/ BC,又：PA = PB, ZAPD = 9Q0 9：.PE±AD,又平面Q4OJ_平面ABCD,平面平面ABCD = AD,平面A5CO,又QBDu平面ABC。，.PE 上 BD,v£>F|BC, AB/CD, /ABC = 90。, BC = CD, 四边形OEBC是正方形，.DF=FB = BC=DC = T, /DFB = 90。,ad = bd = 6,在ADB 中，AD2 + DB2 = AB2, ,.ZADB = 90°,即 AOJ_BD,PE 工 BD, AD1BD, PEAD = E, 3。_1_平面PAO,又B4u平面B4。，二 BD1 PA.又"，肛BDCPD = D,.APJ_平面。8。，.APu平面PAB,二平面/MB,平面PBD.(2)由(1)可知PEJL平面ABCQ, AD9是等腰直角三角形,£点是4。的中点，ADb是等腰直角三角形,:.EF±AD分别以射线E4、EF、EE为x轴、V轴、z轴的正半轴，E点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,方=(0,0,0), CD = f所以诉=,c0旦 2V2 V2、,0n-DB = 0 n DP - 0,得:/2y = 0< V2 夜八，令户1，x +z = 0I 22解得:x = l y = 0 z = -I/ 设平面的一个法向量为 = (x, y,z)，设平面尸DC的一个法向量为加= (x,y,zn-CD = 0 , n-DP = 0, <：n-CD = 0 , n-DP = 0, <：/2 V2xy = 022 人LL，令=1，V2 V2 nx +z = 0解得:x = ly = i z = -1cos (n, m一' n-m1 + 1 V672x73 3所以，二面角3尸Z)C的正弦值是，当:号.14. (1)证明见解析；(2) 1；【分析】(1)推导出 PAA.CD, AD_LCD,从而 CZ)J_ 平面 PAD,由此证明 AH J_ CZ),再由 AH _L PD, 可证明A"_L平面尸C。，即可证明AH_LPC. (2)先证明平面PAD,得AEJ_AH, 所以得但H为直角梯形，再证明/WJ_平面的H,可得四棱锥的高为PH,利用体积公 式计算即可.【详解】(1)证明：因为24 = 4),且“为尸。的中点，所以又因为B4,底面A8C。， COu 平面 A5CO,所以 E4LCD,又 AB/C。，AD±AB,即 AZ)_L8,且 ADc/4 = A, 所以平面PAO, AH u平面PA。，所以A”J_C。，又尸DcCD = O,所以4"_1_平 面PCD,又PCu平面PC。，所以AH _L PC(2)因为“、尸分别为P。、PC的中点，所以HF/CD, HF = ：CD = ICDUAE,所 以HF/AE,又因为24,底面ABCQ, AEu平面A3CZ),所以Q4 J_A£.又49，隹，所 以4E_L平面PAO, AH u平面PAD,所以所以A石切为直角梯形，又。，平 面PAD, AB/CD,所以 4?_L 平面 B4O,丹/u 平面 B4。，所以 AEL/V/,又/V/_LAH , 故平面故四棱锥尸-A£EH的高为= 0 ,所以四棱锥P-AEEH的 体积 V =-x PH xSaefh =-x V2 x。+ 2)义血=1.3 AEFH 32【点睛】本题考查了立体儿何中的线垂直的判定和体积的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和 逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互 转化，通过严密推理进行证明，对于立体几何中体积的计算问题，注意利用线面垂直的证明 找到棱锥的高，然后利用体积公式求解.15. (1)证明见解析；(2) % = ；.【分析】(1)连接OC,证明出OB/AC,利用线面平行的判定定理即可证明B。/平面PAC.(2)先判断出5C/.以点。为原点，DA,DC ,垂直平面ABC的直线分别为尤，以z轴建立空间直角坐标系.用向量法计算即可.【详解】(1)如图，连接0C,交43于点。为45C的外心,(1)如图，连接0C,交43于点。为45C的外心,AC = BC = 2,OA = OB = OC9 所以QAC0aQBC,所以 ZACO = NBCO = - ZACB = 60° 2故。4。和O3C都为等边三角形，即四边形O4C8为菱形，所以O5/AC又ACu平面PAC, OBz平面B4C,所以B。/平面B4C.(2)由(1)同理可知因为3C7/平面PQ4, BCu平面P3C,平面PAOn平面PBC = /,所以BC/Lz轴建立空间直角如图所示：以点。为原点，OAOC和垂直平面ABC的直线分别为达 坐标系.则 A(V3,0,0), B(-V3,0,0), C(0,1,0), P(0, -1, 76), BC = (a/3,1,0).设加=4定所以 * = BQ + * = (G,2/1 _ 1,遍(1 _ Z), BA = (273,0,0)设平面ABM的法向量为“ = (x,)").J BA n - 2y/3x = 0(W-n = V3x + (22-l)； + V6(l-2)z = 0，fx = O得V、(2/l-l)y + V6(l-A)z = 0，令y = 6得元=(0,跖2/ J)./t -1所以直线/与平面ABM所成角。的正弦值为:sin a = cos/6 + 2 V、21 .2,即当几=；即点M是线段PC的中点时，直线/与平面ABM所成角取最大值.RF (1)证明见解析；(2)存在，芸=： oC 3【分析】(1)设8C中点为O,过。作6AC,则有。OJ_8C,又平面BCDJ_平面ABC,所以。平面ABC,所以。0,3，故3、06、0。三条直线两两垂直建立空间直角坐标系。-丐？, 求出平面板、平面A3C的法向量，利用向量数量积为0可得答案.(2)设尸(。,根,0)(-14根vl),则布=(-2,"2 + 1,0),瓶= (-LL&),设平面AFE的法向量m = (x, j, z),利用m = (x, j, z),利用叵.沅二°得而AE-m = 0由 cosi, m) =,9可得答案.【详解】(1)如图，设5c中点为。，过。作0X/AC,则有QOJ_5C,又平面BCD_L平面ABC,所以OO_L平面ABC,所以。OJ_Ox,又0x_L3C,故。/、。8、。三条直线两两垂直，如图建立空间直角坐标系。-盯z ,依题意可得 42,-1,0),£(1,0,&),8(0,1,0),通=(-1,1,夜),丽二(-2,2,0),设平面 ABE 的法向量勺=(x,y,z)，则有AE-r = OAB - /?! = 0-x+ y + !lz - 0-2x + 2y = 0，取或=(u,o)，取平面ABC的法向量后= (0,0,1),因为屋区=0,所以平面ABEJL平面ABC.(2)设/(。,加,0)(1根1),则/=(一2,m+ 1,0),通二(一1,1,0),设平面AFE的法向量而= (x,y,z),则有AF -m = 0一 _ 即AE-m = 0-九+y + 02 = O一 2x + (/n + l)y = 0(,取加=加+ 1,2,cos4, ni)=cos4, ni)=771 + 1 + 2所以V2xcos4, ni)=生+根+ 11'易知二面角八MM的大小与向量”777 + 1 + 2口生+机+ 11V 22述9质的夹角大小一致,化简得3m1 - 7m + 2 = 0,解得机=；或m=2 (舍),所以所以线段8C上存在一点凡使得二面角尸隹B的余弦值等于述,止匕时BF I 1.9=二“ BC 23【分析】(/)由题易知AE，BC , A£，进而得隹，平面耳3CG ,故平面AEF J_平面ABCCX ；()由(/)知AE1BC, AE±EF,故得/EEC为二面角方 AEC的平面角为45。，进 而得尸C = £C = 1,再计算体积即可.【详解】(/)证明：,几何体是直棱柱，5耳J"底面ABC, AEu底面ABC, .AE18M，直三棱柱ABC-A4G的底面是边长为2的正三角形，£是的中点，.A£_L8C,又 BCCBB、=B, BC、3与 u 平面耳 BCG；,.AE_L平面ABCCI,AEF,，平面眄_L平面与3CG；()解：由(/)知，平面 ABCC，则 AEJ_3C, AE±EF9可得/FEC为二面角尸-AE-C的平面角为45。，在RNFCE中,可得尸C = EC,等边三角形ABC的边长为2，AE = G , CE = CF = 1,则三棱锥尸AEC的体积VxLlx百xl ='L3 26(1)证明见解析；(2) J. o【分析】(1)利用勾股定理逆定理计算证明AB_LAD, ABA.BP,进而利用线面垂直判定定理证得AB J_平面8PC ,从而AB，CP,在计算证得AD_LOP,得到45 JL平面PCD,从而4)_LCP,证得PC_L平面ABC。；(2)以CD, CB, CP所在的直线为x, >, z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.【详解】(1)因为 AB = AP = 4, BD = 4 ,所以 AB? +=吕。?，所以 ab_lad,又因为ABC。为平行四边形，所以43_LBC, ADLDC,因为AB = 4, BP = 4>/2， PA = 473 ,所以 钻2+次>2 = a尸2,所以 他，族,因为P8c3C = B,所以ABJ_平面BPC,所以AB_LCP,因为AT> = 4,。尸=48，PA = 473 ,所以人。2+。尸=人尸，所以人。，止,因为POcOC=O,所以A。JL平面PC。，所以AOLCP,因为ADcAB = A,所以尸CJ_平面A5CD(2)由(1)知，CD, CB, CP两两垂直，分别以CD, CB, CP所在的直线为x, J, z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在三角形 P3C 中,PC = yJPB2-BC2 =4，则 A（4,4,0）, 5（0,4,0）, C（0,0,0）,。（4,0,0）,矶0,2,0）,尸（0,0,4）,所以诙= (<2,0),DF 2 2 因为=,DF = DE =FE 35DF 2 2 因为=,DF = DE =FE 35|,用，AF = AD+DF =IT。中=（4,4,-4）, 设平面PAF的一个法向量为m = (x, y, z),m- AF = 0m - PA = 0 'm- AF = 0m - PA = 0 '816 cxy = 055,4x + 4y-4z = 0令 y = l,得 x = -2, z = -l,于是取 /篦=（一21,一1）,又由(1)知，底面ABC。为正方形，所以 因为PC J_平面ABC。，所以PC_LBD, 因为4?门。=。，所以8Z)J_平面ACP, 所以丽=(4,-4,0)是平面P4C的一个法向量，设二面角尸-BA-C的大小为设二面角尸-BA-C的大小为贝（ cos 3= cos （利12_y/376x732 - 2所以二面角尸-B4-C的大小为? O的前几项和.(1)求数列的通项公式；(1Y1) ( ion(2)求满足条件1- 1-1- 2而7的正整数的最大值.I 12 八 hj ln) 2U2111 .已知各项为正数的等比数列4中，q=l, %=4.(1)求数列%的通项公式；(2)设d=log24，求数列出的前项和S.12 .已知正项数列%的前项和为S，q=2,当九.2时，:4是S与的等差中 项.(1)求数列4的通项公式；(2)记2=(T)S,求数列也的前项和人13 .在四棱锥尸一ABCO中，AB/CD, AB = 2, BC = CD = 1, ZABC = ZAPD = 90° , PA = PD,平面平面A8CQ.(1)证明：平面B4B_L平面尸3。；(2)求二面角8PO。的正弦值.14 .如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为直角梯形，AB/CD, ADA.AB, PA 上底面 ABCD,且 E4 = AQ = OC = 2, AB = 4, H、E、F 分别为 PD、AB. PC 的中点.Q18. (1)分布列见解析，数学期望为-；(2) 50.【分析】(1)由频率分布直方图和分层抽样的方法，可求得抽取的10人中合格的有6人，不合格的 4人，则4的可能值为0, 1, 2, 3, 4,然后求出对应的概率，从而可得4的分布列和数学 期望，(2)由题意可求得入。的值，由X服从正态分布M，b2)和正态分布的性质可求得答案 【详解】(1)由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为4。房=3）=牛=2） C 35Jo(0.014-0.02)x20x10 = 6,不合格的人数为10-6 = 4 .因此，J的可能值为0, 1, 2, 3, 4, 则2偌=。)=弃£，%=1)=警=r，%=2)=等、5。 1今jo Z1Cl() /1210C4尸偌=町=才 cio故J的分布列为i 834iq01234P11482127435I 210所以 4 的数学期望 £（）= 0x + 1x + 2x = + 3x + 4x = 一.v 714217352105（2）由题意可知,/=（30x0.005+50x0.015 + 70x0.02+90x0.01）x20 = 64.a2 =（30-64）2 xO.l +（5O-64）2 x0.3 +（7