环境规划与管理的数学基础2526.docx

第四章环环境规划划与管理理的数学学基础第一节环环境数据据处理方方法一、数据据的表示示方法1、列表表法例：研究究电阻的的阻值与与温度的的关系时时，测试试结果如如下：测量序号温度t/电阻R/1105104222941092342711324600118057501224691012672、图示示法n 图示法的的第一步步就是按按列表法法的要求求列出因因变量yy与自变变量x相对应应的yi与xi数据表表格。n 作曲线图图时必须须依据一一定的法法则，只只有遵守守这些法法则，才才能得到到与实验验点位置置偏差最最小而光光滑的曲曲线图形形。n 坐标纸的的选择-常用用的坐标标系为直直角坐标标系，包包括笛卡卡尔坐标标系（又又称普通通直角坐坐标系）、半半对数坐坐标系和和对数坐坐标系。 半对数坐坐标系 半对数坐标的标度法 一个轴是是分度均均匀的普普通坐标标轴，另另一个轴轴是分度度不均匀匀的对数数坐标轴轴。 右图中的的横坐标标轴（xx轴）是是对数坐坐标。在在此轴上上，某点点与原点点的实际际距离为为该点对对应数的的对数值值，但是是在该点点标出的的值是真真数。为为了说明明作图的的原理，作作一条平平行于横横坐标轴轴的对数数数值线线。3、插值值法计算算数值（1）作作图插值值法例：用分分光光度度计法测测定溶液液中铁的的含量,测得标标准曲线线数据如如下：Fe （g/mmL） 2 4 6 88 100 112吸光度（A） 0.097 0.200 0.304 0.408 0.510 0.613测得未知知液的吸吸光度为为0.4413，试试求未知知液中铁铁的含量量。在图的纵纵坐标上上0.4413处处找到直直线上对对应点，读读出其对对应的横横坐标即即为未知知液中铁铁的含量量 8.1222（2）比比例法（3）牛牛顿内插插公式一般的非非线性函函数都可可以展开开为多项项式（二）数数据特征征n 数据特征征是对环环境总体体状况进进行估计计判断的的基础，是是认识数数据理论论特性的的基本出出发点，通通常可分分为以下下三类：n 位置特征征数:表示数数据集中中趋势或或刻画频频数分布布图中心心位置的的特征数数；n 离散特征征数:用来描描述数据据分散程程度；n 分布形态态特征数数:刻划了了根据所所获数据据绘制的的分布曲曲线图的的形态。1. 位位置特征征数（1）算算术平均均数：式中：xx1, x2, , xxn为样样本个体体数据，n为样本个数（2）加加权平均均数如果样本本个体数数据x1, xx2, , xxn取值因因频数不不同或对对总体重重要性有有所差别别，则常常采取加加权平均均方法。式中：wwi是个个体数据据出现频频数，或或是因该该个体对对样本贡贡献不同同而取的的不同的的数值。（5）中中位数n 环境数据据有时显显得比较较分散，甚甚至个别别的数据据离群偏偏远，难难以判断断去留，这这时往往往用到中中位数。n 样本数据据依次排排列（从从大到小小或者从从小到大大）居中中间位置置的数即即为中位位数，若若数据个个数为偶偶数，则则中位数数为正中中两个数数的平均均值。n 只有当数数据的分分布呈正正态分布布时，中中位数才才代表这这组数据据的中心心趋向，近近似于真真值。1. 位位置特征征数n 环境统计计中常常常用到几几何平均均数。不同的平平均值都都有各自自适用场场合，选选择的平平均数指指标应能能反映数数据典型型水平，并并非随意意采用。几何平均直径：2. 离离散特征征数3. 分分布形态态特征数数二、异常常数据的的剔除n 在处理实实验数据据的时候候，我们们常常会会遇到个个别数据据偏离预预期或大大量统计计数据结结果的情情况，如如果我们们把这些些数据和和正常数数据放在在一起进进行统计计，可能能会影响响实验结结果的正正确性，如如果把这这些数据据简单地地剔除，又又可能忽忽略了重重要的实实验信息息。这里里重要的的问题是是如何判判断异常常数据，然然后将其其剔除。判判断和剔剔除异常常数据是是数据处处理中的的一项重重要任务务，目前前的一些些方法还还不是十十分完善善，有待待进一步步研究和和探索。n 目前人们们对异常常数据的的判别与与剔除主主要采用用物理判判别法和和统计判判别法两两种方法法。n 物理判别别法就是是根据人人们对客客观事物物已有的的认识，判判别由于于外界干干扰、人人为误差差等原因因造成实实测数据据偏离正正常结果果，在实实验过程程中随时时判断，随随时剔除除。n 统计判别别法是给给定一个个置信概概率，并并确定一一个置信信限，凡凡超过此此限的误误差，就就认为它它不属于于随机误误差范围围，将其其视为异异常数据据剔除。n 剔除异常常数据实实质上是是区别异异常数据据由偶然然误差还还是系统统误差造造成的问问题。n 若是人为为因素的的偶然误误差就应应剔除，如如果没有有足够的的理由证证实是偶偶然过失失造成的的时候，应应对数据据进行统统计处理理，采用用一定的的检验方方法来决决定取舍舍。n 本节着重重介绍统统计判别别法。1.拉依依达准则则若可疑数数据xpp与样本本数据之之算术平平均值的的偏差的的绝对值值大于33倍（2倍）的的标准偏偏差，即即：则应将xxp从该该组数据据中剔除除，至于于选择33s还是是2s与显显著性水水平有关，显显著性水水平表示的的是检验验出错的的几率为为，或检检验的可可置信度度为1。3s相当当于显著著水平0.001，2s相当当于显著著水平0.005。2. 格格拉布斯斯准则用格拉布布斯准则则检验可可疑数据据xp时，选选取一定定的显著著性水平平，若：则应将xxp从该组组数据中中剔除，称为格拉布斯检验临界值，可查相关表格得到。以上准则则是以数数据按正正态分布布为前提提的，当当偏离正正态分布布, 特别别是测量量次数很很少时，则则判断的的可靠性性就差。因因此，对对粗大误误差除用用剔除准准则外，更更重要的的是要提提高工作作人员的的技术水水平和工工作责任任心。另另外, 要保证证测量条条件稳定定，防止止因环境境条件剧剧烈变化化而产生生的突变变影响。3.狄克克逊（ddixoon）法法n 狄克逊研研究了nn次测量量结果，按按其数值值大小排排列成如如下次序序：n 当xi服服从正态态分布时时n 用不同的的公式求求得f 值，再再经过查查表，得得到相应应的临界界值，进进行比较较,若计算算值>ff(n，)视为异异常值，舍舍弃；再再对剩余余数值进进行检验验，直到到没有异异常值为为止。狄狄克逊通通过模拟拟实验认认为：nn7，使用用f10；8n10，用用f11；11n13，用用f21；n14，用用f22效果果好。例题n 用狄克逊逊法判断断下列测测试数据据(400.022，40.15，40.20，40.13，40.16)中的400.022是否应应舍弃？n 解：将数数据排列列，取 =00.055 n 40.002 400.133 40.15 440.116 400.200n ，0.66110.6642n 所以400.022应保留留。三、数据据的误差差分析（一）几几种误差差的基本本概念例题: 滴定定的体积积误差V绝对误差差相对误差差20.000 mmL±0.022 mLL±0.1%2.000 mLL±0.022 mLL±1.0%（二）误误差的来来源及分分类1. 随随机误差差随机误差差是在一一定条件件下以不不可预知知的规律律变化着着的误差差。这些些偶然因因素是操操作者无无法严格格控制的的，故无无法完全全避免随随机误差差。但它它的出现现一般具具有统计计规律，大大多服从从正态分分布。2. 系系统误差差系统误差差是指由由某个或或某些不不确定的的因素所所引起的的误差。当当条件一一旦确定定，系统统误差就就是一个个客观上上的恒定定值，它它不能通通过多次次测量取取平均值值的方法法来消除除，只能能根据仪仪器的性性能、环环境条件件或个人人偏差等等进行校校正，使使之降低低。3. 过过失误差差过失误差差是由于于操作人人员不仔仔细、操操作不正正确等原原因引起起的，它它是可以以完全避避免的。（三）误误差分析析n 误差可能能是由于于随机误误差或系系统误差差单独造造成的，还还可能是是两者的的叠加。误误差分析析中，常常采用精精密度、正正确度和和准确度度来表示示误差的的性质。n 精密度反反映了随随机误差差大小的的程度，是是指在相相同条件件下，对对被测对对象进行行多次反反复测量量，测量量值之间间的一致致(符合)程度。n 正确度指指测量值值与其“真值”的接近近程度。n 对于一组组数据来来说，精精密度高高并不意意味着正正确度也也高；反反之，精精密度不不好，但但当测量量次数相相当多时时，有时时也会得得到好的的正确度度。n 准确度指指被测对对象测量量值之间间的一致致程度以以及与其其“真值”的接近近程度。准确度、正正确度和和精密度度的关系系四、数据据的标准准化处理理n 在大批的的环境统统计数据据中，当当数据的的物理量量不同、单单位或量量值差别别较大时时，常常常会给下下一步分分析带来来困难，这这时就有有必要对对数据进进行标准准化处理理，从而而提高计计算的精精度。n 环境管理理与规划划中，常常采用下下面的公公式进行行标准化化处理：第二节最最优化分分析方法法一、线性性规划在环境规规划管理理中，线线性规划划常常用用来解决决两类优优化问题题：一是是如何优优化资源源配置使使产值最最大或利利润最高高，二是是如何统统筹安排排以便消消耗最少少的资源源或排放放最少的的污染物物。一般线性性规划问问题的求求解，最最常用的的算法是是单纯形形法。二、非线线性规划划在环境规规划与管管理中，某某些问题题的决策策模型可可能会出出现下面面的情况况：目标函函数非线线性，约约束条件件为线性性；目标函函数为线线性，约约束条件件非线性性；目标函函数与约约束条件件均为非非线性函函数。上上述情况况均属于于非线性性规划问问题，其其数学模模型的一一般形式式是：n 数值求解解非线性性规划的的算法大大体分为为两类：n 一是采用用逐步线线性逼近近的思想想，通过过一系列列非线性性函数线线性化的的过程，利利用线性性规划获获得非线线性规划划的近似似最优解解；n 二是采用用直接搜搜索的思思想，根根据部分分可行解解或非线线性函数数在局部部范围内内的某些些特性，确确定迭代代程序，通通过不断断改进目目标值的的搜索计计算，获获得最优优或满足足需要的的局部最最优解。三、动态态规划n 在环境规规划管理理中，经经常遇到到多阶段段最优化化问题，即即各个阶阶段相互互联系，任任一阶段段的决策策选择不不仅取决决于前一一阶段的的决策结结果，而而且影响响到下一一阶段活活动的决决策，从从而影响响到整个个决策过过程的优优化问题题。这类类问题通通常采用用动态规规划方法法求解。n 基本原理理为：作作为多阶阶段决策策问题，其其整个过过程的最最优策略略应具有有这样的的性质，即即无论过过去的状状态和决决策如何何，对前前面的决决策所形形成的状状态而言言，其后后一系列列决策必必须构成成最优决决策。n 可以把多多阶段决决策问题题分解成成许多相相互联系系的小问问题，从从而把一一个大的的决策过过程分解解成一系系列前后后有序的的子决策策过程，分分阶段实实现决策策的“最优化化”，进而而实现“总体最最优化”方案。为为使最后后决策方方案获得得最优决决策效果果，动态态规划求求解可用用下列递递推关系系式表示示：第三节常常用决策策分析方方法n 决策是指指通过对对解决问问题备选选方案的的比较，从从中选出出最好的的方案。n 决策贯穿穿于环境境管理与与规划的的各个方方面，是是管理与与规划的的核心。决策技术术n 技术经济济分析中中的决策策，是指指对多方方案进行行评价与与择优，从从而选定定一个最最满意的的方案。n 决策的分分类n 按决策的的条件n 确定型n 非确定型型n 风险型n 按决策的的对象n 宏观n 微观n 按决策在在企业组组织中的的地位分分类n 高层决策策n 中层决策策n 基层决策策决策树法法n 决策树技技术的含含义n 是把方案案的一系系列因素素按它们们的相互互关系用用树状结结构表示示出来，再再按一定定程序进进行优选选和决策策的技术术方法。n 决策树技技术的优优点n 便于有次次序、有有步骤、直直观而又又周密地地考虑问问题；n 便于集体体讨论和和决策；n 便于处理理复杂问问题的决决策。决策树图图形n 适用对象象n 多阶段决决策、前前一阶段段的决策策影响后后续阶段段的结构构和决策策的项目目。n 方法n 用决策树树的形式式列出决决策问题题的逻辑辑结构。n 从决策树树的末端端向决策策点倒退退，计算算出不同同决策方方案下的的期望值值，将未未占优的的方案去去掉，直直到得出出初始的的决策方方案。运用决策策树技术术的步骤骤（1）绘绘制决策策树图；（2）预预计可能能事件（可可能出现现的自然然状态）及及其发生生的概率率；（3）计计算各策策略方案案的损益益期望值值；（4）比比较各策策略方案案的损益益期望值值，进行行择优决决策。若决策目目标是效效益，应应取期望望值大的的方案；若决策策目标是是费用或或损失，应应取期望望值小的的方案。决策树例例题（参参考书目目：环境境管理学学-杨贤智智编著）有一石油油化工企企业，对对一批废废油渣进进行综合合利用。它它可以先先作实验验，然后后决定是是否综合合利用；也可以以不作实实验，只只凭经验验决定是是否综合合利用。作作实验的的费用每每次为330000元，综综合利用用费每次次为1000000元。若若做出产产品，可可收入4400000元；作不出出产品，没没有收入入。各种种不同情情况下的的产品成成功概率率均已估估计出来来，都标标在图11上。试试问欲使使收益期期期望值值为最大大，企业业应如何何作出决决策。根据图中中给出之之数据求求解。决决策树采采用逆顺顺序计算算法。1 计算事件件点、的期望望值400000××0.8850×0.115340000400000××0.1100×0.99040000400000××0.5550×0.445220000原决策树树根据以以上算出出的期望望值可简简化为（图图2a）：2.在决决策点22、3、4作出决决策2 按mmax（340000100000），0240000，决决定综合合利用。3按maax（40000100000），00，决定定不综合合利用。4按maax（220000100000），0120000，决决定综合合利用。决策树继继续简化化为（图图2b）：3.计算算状态点点的期望望值：2240000×0.660×0.441444004.在决决策1作出决决策。5.最后后得出整整个问题题的决策策序列为为：不作作实验、直直接综合合利用，收收入期望望值为1120000元。二、决策策矩阵n 决策矩阵阵又称为为损益矩矩阵，它它是利用用损益的的期望值值进行决决策，常常用于有有限条件件下资源源分配的的最优化化决策问问题。三、多目目标决策策方法n 在环境管管理与规规划问题题中,同时存存在着多多个目标标，每个个目标都都要求达达到其最最优值，并并且各目目标之间间往往存存在着冲冲突和矛矛盾，这这类问题题就是多多目标决决策问题题。解决决这类决决策问题题的方法法就是多多目标决决策方法法。第四节环环境数学学模型一、数学学模型概概述n 环境数学学模型是是应用数数学语言言和方法法来描述述环境污污染过程程中的物物理、化化学、生生物化学学、生物物生态以以及社会会等方面面的内在在规律和和相互关关系的数数学方程程。n 它是建立立在对环环境系统统进行反反复的观观察研究究，通过过实验或或现场监监测，取取得大量量的有关关信息和和数据，进进而对所所研究的的系统行行为动态态、过程程本质和和变化规规律有了了较深刻刻认识的的基础上上，经过过简化和和数学演演绎而得得出的一一些数学学表达式式，这些些表达式式描述了了环境系系统中各各变量及及其参数数间的关关系。一、数学学模型概概述n 环境数学学模型主主要应用用于环境境规划与与管理、环环境影响响评价和和环境质质量预测测几个方方面，其其类型主主要包括括大气扩扩散模型型、水文文与水动动力模型型、水质质模型、土土壤侵蚀蚀模型、沉沉积物迁迁移模型型和物种种栖息地地模型等等，每一一类模型型又可按按模型的的空间维维数、时时间相关关性、数数学方程程特征等等来进行行分类.二、模型型建立建立数学学模型的的步骤(一)建建模准备备n 了解问题题的实际际背景，明明确建模模目的，搜搜集必需需的各种种信息，尽尽量弄清清对象的的特征。(二)模模型假设设n 根据对象象的特征征和建模模目的，对对问题进进行必要要的、合合理的简简化，用用精确的的语言作作出假设设，是建建模至关关重要的的一步，建建模者能能充分发发挥想象象力、洞洞察力和和判断力力，善于于辨别主主次，而而且为了了使处理理方法简简单，应应尽量使使问题线线性化、均均匀化。二、模型型建立建立模型型的方法法1、图解解法n 采用点和和线组成成的用以以描述系系统的图图形称为为图模型型，可用用于描述述自然界界和人类类社会中中大量事事物和实实物之间间的关系系。n 图模型形形象、直直观，对对决策者者了解系系统结构构和功能能之间的的关系很很有帮助助。但图图解建模模法作为为一种描描述性方方法，往往往精确确度较差差，而且且受人的的视觉影影响而局局限于三三维空间间中，因因此它通通常作为为建立系系统方程程式模型型的辅助助分析工工具来用用。2、质量量平衡法法n 根据质量量平衡原原则建立立微分方方程是最最常用的的建立白白箱模型型的方法法。n 应用质量量平衡方方法必须须知道物物质流的的方向和和通量，污污染物质质反应的的方式和和速度，以以及各种种污染物物之间的的相关关关系和关关联作用用。n 环境数学学模型中中很多都都是在质质量平衡衡的基础础上建立立的。值值得注意意的是，几几乎每一一个利用用质量平平衡原则则建立的的模型中中都包含含了一个个或多个个待定参参数，它它们一般般很难由由过程的的机理确确定，且且数值又又随时间间、空间间变化，因因此需要要借助于于大量的的观测数数据最终终确定参参数。3、概率率统计法法n 回归分析析法建立立在对客客观事物物进行大大量试验验和观察察的基础础上，是是一种用用来寻找找隐藏在在某些现现象中的的规律性性的数理理统计方方法。n 回归分析析法就是是通过分分析因素素之间的的因果关关系和影影响程度度进行预预测，用用过去和和现在的的环境监监测数据据确定函函数关系系式，按按最小二二乘法原原则确定定函数式式中的参参数值，进进而建立立回归预预测模型型，用于于预测环环境要素素特征发发展变化化的规律律。3、概率率统计法法n 根据变量量之间函函数形式式的不同同，回归归分析分分为线形形回归和和非线性性回归；根据自自变量个个数的多多少，可可分为一一元回归归和多元元回归。n 根据数据据处理方方法的不不同，时时间序列列预测方方法主要要分为移移动平均均法、加加权滑动动平均法法和指数数平均法法。三、模型型参数的的估值方方法由于环境境系统中中的模型型基本上上都是灰灰箱模型型，其中中至少存存在着一一个待定定参数，因因此参数数的估计计是建立立环境数数学模型型非常重重要的一一项工作作。下面面介绍几几种主要要的估值值方法。（一）图图解法凡是给定定的公式式或数据据可以直直接描述述成一条条直线，或或经过一一定处理理后可以以转化为为直线时时，常常常采用图图解法估估计参数数。作图图时，将将自变量量x和因变变量y标注在在直角坐坐标系中中，确定定每一个个数据点点位，把把所有的的点位连连接起来来，形成成一条直直线，其其数学表表达式为为：Y=b + aax（4-221）式中：aa是直线线的斜率率，b是直线线在y轴上的的截距。（二）经经验公式式法根据长时时期的实实际经验验，人们们提出了了许多经经验公式式来估计计数学模模型中的的相关参参数。应应注意的的是，使使用经验验公式要要求该系系统条件件与建立立经验公公式的条条件一致致或相近近，否则则就会出出现很大大偏差。（三）线线性回归归法此法适用用于自变变量xii(i=1,2,¡¡­n)与因变变量y呈一次次线性关关系的情情况。线线性回归归分析有有两个基基本假设设：一是是所有的的自变量量的值xxij(j=1,2,¡¡­m)均不存存在误差差，因变变量的值值含有测测量误差差；二是是与各测测量值拟拟合得最最好的线线性方程程：y=a1x1+a2x2+¡­­+aixxi+¡­+¡­annxn+b是能使各各点到直直线的竖竖向偏差差的平方方和最小的直直线。根根据极值值存在的的条件，分分别对ZZ做ai、b的一阶阶偏导，使使：由此可以以求得偏偏差平方方和Z最小时时的参数数值aii(i=1,2,n)、b。四、模型型的检验验n 数学模型型只能近近似地反反映实际际问题中中的关系系和规律律，到底底反映得得好不好好，还需需要接受受检验，如如果数学学模型建建立得不不好，没没有正确确地描述述所给的的实际问问题，数数学解答答再正确确也是没没有用的的。因此此，在得得出数学学解答之之后还要要让所得得的结论论接受实实际的检检验，检检验其是是否合理理和是否否可行等等。n 所谓检验验就是用用独立于于确定参参数时所所用数据据的新观观测数据据与模型型的计算算值相比比较，进进行误差差分析，进进行数据据稳定性性分析，如如果不符符合实际际，还应应设法找找出原因因，修改改原来的的模型，重重新求解解和检验验，直到到比较合合理可行行，才能能算是得得到了一一个解答答。但是是，十全全十美的的答案是是没有的的，已得得到的解解答仍有有改进的的余地，可可以根据据实际情情况，或或者继续续研究和和改进；或者暂暂时告一一段落，待待将来有有新的情情况和要要求后再再作改进进。n 检验包括括两部分分，一是是检验模模型的计计算结果果和实际际观测数数据之间间的吻合合程度，二二是对模模型进行行灵敏度度分析。其其中灵敏敏度分析析用来估估计模型型计算结结果的偏偏差，本本节仅介介绍模型型的吻合合度检验验方法。四、模型型的检验验（1）相相关系数数法n 相关系数数法假设设观测值值和计算算值存在在一定的的线性关关系：习题1. 计计算下面面数据的的各种平平均值、标标准差、算算术平均均误差和和级差。0.833，0.776，0.889，0.773，0.992，0.881，0.992，0.775，0.888，0.779，0.990，0.8842. 对对某合金金中铜的的含量进进行测定定，不同同的人员员测定的的数据为为：566.911，57.13，57.21，57.36，57.41，58.49，58.56，59.11，59.76，60.31，试试用格拉拉布斯准准则检验验是否有有应舍去去的数据据。3. 有有一组三三因子数数据：xx1=(11, 33, 44, 55)，x2=(00.2, 0.3, 0.44)，x3=(332, 35, 366)，试试对它们们进行标标准化处处理。