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第六讲： 矩形【教学目标】目标一: 矩形的性质 目标二:矩形的判定法则目标三:直角三角形斜边中线性质 目标一: 矩形的性质【知识点精析】性质定理1：矩形的四个角都是_;如图，在矩形ABCD中，ABC=90°，又有邻角互补、对角相等可得，BAD=ABC=BCD=CDA=90°.定理的几何表示：四边形ABCD是矩形，BAD=ABC=BCD=CDA=90° 性质定理2：矩形的对角线_.如图，在矩形ABCD中，AB=DC，ABC=BCD=90°，BC是公共边，可得ABCDCB，从而AC=BD.又矩形是特殊的平行四边形 AC和BD互相平分.定理的几何表示：四边形ABCD是矩形，AC=BD，AC和BD互相平分对称性：矩形是 _ 图形，对称轴是 _【经典例题】例1.（2013白银）如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE 的延长线于点F，且AF=BD，连接BF （1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由； （2）当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由例2. 如图，在矩形ABCD中，ABBC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）A8B 6C4D2【考试真题训练】1.（2013包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）AS1S2BS1=S2CS1S2D3S1=2S22.（2013遵义）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm， BC=8cm，则 AEF的周长= cm3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AEBD于点E，AOB=45°， 则BAE的大小为（） A15° B22.5°C30°D45°4.（2013资阳）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AOB=60°，AC=10，则AB= 5.（2013湘西州）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF，CE（1）求证： BEC DFA；（2）求证：四边形AECF是平行四边形6.（2013遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直 线MN交BC于点M，交AD于点N （1）求证：CM=CN； （2）若CMN的面积与CDN的面积比为3:1，求的值目标二: 矩形的判定法则【知识点精析】1.判定方法1：有_个角是直角的平行四边形是矩形；（定义） 判定方法2：有_个角是直角的四边形是矩形； 判定方法3：对角线相等且_的四边形是矩形； 判定方法4：_相等的平行四边形是矩形；（前提条件：平行四边形）2. 判定一个四边形是矩形的方法与思路是：【经典例题】例1. 已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H， 求证：四边形EFGH是矩形.例2. 已知四边形ABCD，E、F、G、H分别是四边的中点，若四边形ABCD的对角线ACBD， 证明：四边形EFGH一定是矩形【考试真题训练】1. 下列命题中，假命题是（）A有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形B有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形C有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形D有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形2. 在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AFBC， 求证：四边形AFCE是矩形.3.（2013年河北）如已知：线段AB，BC，ABC = 90°. 求作：矩形ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业： 对于两人的作业，下列说法正确的是（ ） A两人都对 B两人都不对 C甲对，乙不对 D甲不对，乙对4. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知三角形OAB是正三角形四边形ABCD是 矩形吗？说明理由5. 如图，四边形ABCD中，A=BCD=90°，BC=CD，CEAD，垂足为E， 求证：AE=CE6. 已知，如图，点D是ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形 (1)试说明：四边形ADCE是平行四边形； (2)当ABC满足什么条件时，平行四边形ADCE是矩形？7. 如图，已知BF、BE分别是ABC与它的邻补角的平分线，AEBE，AFBF，垂足分别是点E、FEF 分别交AB、AC于点M、N （1）请猜想四边形AEBF的形状，并说明理由； （2）探索MN与BC的关系，并证明你得出的结论目标三:直角三角形斜边中线性质【知识点分析】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.定理的几何表示： 在RtABC中，BD是AC的中线， AD=BD=CD【经典例题】例1.直角三角形两边的长分别为3和4，则此直角三角形斜边上的中线长为（）A5和4B2.5和2C5D2例2.如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，若A=20°，则BDC=（） A30° B40° C45° D60° 【考试真题训练】1.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长 为 .2.直角三角形两直角边为5和12，则斜边上的中线长为 . 3.直角三角形的周长为2+，斜边上的中线长为1，则该三角形的面积等于（）A1 B C D4.在RtABC中，ACB=90°，B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（）A1cmB2cmC1.5cmDcm5.如图，直角三角形ABC中，ABC=90°，点D、E分别是AC、BC的中点，AB=3，BC=4，则 DE和BD的长分别为（） A2和5 B1.5和5 C1.5和2.5 D2和2.56.（2013张家界）如图， ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN BC设MN交ACB的平 分线于点E，交ACB的外角平分线于点F （1）求证：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由拓展：直角三角形斜边中线定理的逆命题，考试时可通过它证明直角三角形7. 证明：如图，AD是ABC中BC边上的中线，AD=BD=CD，证明ABC是直角三角形.8