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2021高一数学知识点总结集合 XX高一数学集合知识点总结 一.知识归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则ab)和无序性(a,b与b,a表示同一个集合)。 集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：n，z，q，r，n* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对xa都有xb，则ab(或ab); 2)真子集：ab且存在x0b但x0a;记为ab(或，且) 3)交集：ab=x|xa且xb 4)并集：ab=x|xa或xb 5)补集：cua=x|xa但xu 注意：?a，若a?，则?a; 若，则; 若且，则a=b(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ab=aab;ab=bab;abcuacub; acub=空集cuab;cuab=iab。 5.交、并集运算的性质 aa=a，a?=?，ab=ba;aa=a，a?=a，ab=ba; cu(ab)=cuacub，cu(ab)=cuacub; 6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二.例题讲解： 【例1】已知集合m=x|x=m+,mz,n=x|x=,nz,p=x|x=,pz，则m,n,p满足关系 a)m=npb)mn=pc)mnpd)npm 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 解答一：对于集合m：x|x=,mz;对于集合n：x|x=,nz 对于集合p：x|x=,pz，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以mn=p，故选b。 分析二：简单列举集合中的元素。 解答二：m=，n=，,，p=，,，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。 =n，n，mn，又=m，mn， =p，np又n，pn，故p=n，所以选b。 点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。 变式：设集合，则(b) a.m=nb.mnc.nmd. 解： 当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选b 【例2】定义集合a*b=x|xa且xb，若a=1,3,5,7,b=2,3,5，则a*b的子集个数为 a)1b)2c)3d)4 分析：确定集合a*b子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合a=a1，a2，an有子集2n个来求解。 解答：a*b=x|xa且xb，a*b=1,7，有两个元素，故a*b的子集共有22个。选d。 变式1：已知非空集合m1,2,3,4,5，且若am，则6?am，那么集合m的个数为 a)5个b)6个c)7个d)8个 变式2：已知a,baa,b,c,d,e,求集合a. 解：由已知，集合中必须含有元素a,b. 集合a可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e. 评析本题集合a的个数实为集合c,d,e的真子集的个数，所以共有个. 【例3】已知集合a=x|x2+px+q=0,b=x|x2?4x+r=0,且ab=1,ab=?2,1,3,求实数p,q,r的值。 解答：ab=11b12?4×1+r=0,r=3. b=x|x2?4x+r=0=1,3,ab=?2,1,3,?2b,?2a ab=11a方程x2+px+q=0的两根为-2和1， 变式：已知集合a=x|x2+bx+c=0,b=x|x2+mx+6=0,且ab=2,ab=b，求实数b,c,m的值. 解：ab=21b22+m?2+6=0,m=-5 b=x|x2-5x+6=0=2,3ab=b 又ab=2a=2b=-(2+2)=4,c=2×2=4 b=-4,c=4,m=-5 【例4】已知集合a=x|(x-1)(x+1)(x+2)>0,集合b满足：ab=x|x>-2，且ab=x|1 分析：先化简集合a，然后由ab和ab分别确定数轴上哪些元素属于b，哪些元素不属于b。 解答：a=x|-21。由ab=x|1-2可知-1,1b，而(-,-2)b=。 综合以上各式有b=x|-1x5 变式1：若a=x|x3+2x2-8x>0，b=x|x2+ax+b0,已知ab=x|x>-4，ab=,求a,b。(答案：a=-2，b=0) 点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。 变式2：设m=x|x2-2x-3=0,n=x|ax-1=0，若mn=n，求所有满足条件的a的集合。 解答：m=-1,3,mn=n,nm 当时，ax-1=0无解，a=0 综得：所求集合为-1，0， 【例5】已知集合，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为q，若pq，求实数a的取值范围。 分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离求解。 解答：(1)若，在内有有解 令当时， 所以a>-4,所以a的取值范围是 变式：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。 解答： 点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。 4
