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经济应用数学微积分部分习题解答（参考）习题一（P37）1设函数 求：f(0) ， f(-1) ， f() ，f(a+1)解：分析：即求当x为0，-1，（a+1）时的函数值。 f(0) = = -1 ; f(-1) = = f() = ; f(a+1) = 3.下列各组函数是否表示相同的函数？为什么？ （1）y= lg 与 y= 2lgx (2)y = 1 与 y = sinx + cosx (3) y= 与 y = x+1 (4) y = -x 与y = -x解：分析：相同函数的条件是D与f相同。（定义域与对应规则）（1）不同，D不同 （2）相同 定义域与对应法则相同（3）不同，D不同 （4）不同 对应法则不同（当x= -1，对应y不同）4求下列函数的定义域： （1） y= (2) y= (3) y= lg (4) y= lg lg(x+1) (5) y= arcsin (6) y= tan(2x+1) (2x+1) 解：求定义域应记住：分母0 a0 x0 三角函数的限制。 (1) y= 解D: x0 或(-)（2）y= (4)lg lg (x+1)解: D:-1x1 解: D:(0,+)(3) y= lg (5) y= arcsin 解: D:-2,1 解: D:-1,3(6) y = tan(2x+1)解:2x+1 D: x5判断下列函数的奇偶性。（1） f(x) = (3)f(x) = lg (x+ 解:f(-x) = =f(x) 解:f(-x) = lg(-x+ f(x)是偶函数。 =lg =lg=lg(x+ = -lg(x+) = -f(x) f(x)是奇函数。(4) f(x) =xe 解: f(-x)= -x e f(x) 也-f(x) f(x)是非奇非偶函数。(5) f(x) = log解:f(-x)=log 分析：判断奇偶函数= log（ （1）f(-x)=f(x), f(x)是偶函数 = -log (2) f(-x)= -f(x), f(x)是奇函数 = -f(x) 否则非奇非偶。 f(x)是奇函数。（6）设f(x) = 求 f(0)， f(-1)， f (1) ，f(-2) ，f(2)，并作出函数图像。解：分析：求分段函数的函数值D先确定x0的所属的区间从向确定其解析式尔后代之，作图需分段作图。0 -1<x1 -1 x-1 f(0) = 0 =0f(-1) = (-1)+2 =1 , f(1) = 1 =1 f(-2) = (-2)+2 =0 , f(2) = 2-2 =0 7设f(x) = 求 f ,解：分析：视f中的为中间变量代替f(x)中的变量x而成。 f=; = 10求下列函数的反函数（3） y = 2x+1 (4) y = 1-lg (x+2)解: x = 解: lg(x+2)=1-y x = x+2 = 10 即 y = x = 10-2 即 y = 10-214下列变量中哪些是无穷小，哪些是无穷大（在指定的变化过程）分析：在指定变化过程中，变量0是无穷小。变量 是无穷大。（1）x+2x (x0) (2) (x0)解: 当x0， x+2x0 解: 当x0，2x+11， x0 是无穷小。 是无穷大。 (当x0， x无穷小， x是无穷小)(3) (-1) (n) (4) (n)解:当n时(-1)是有界量 解法一： 是无穷小量。 =0+0 =0是无穷小。 是无穷小。（5）e (x0+)解: x0+ , , e 是无穷大.( x0+)(6) e (x0-)解: x0- , , e 是无穷小.( x0-)(7) lg x (x0+)解: x0+ , lg x , 是无穷大.( x0+)(8) (x1)解: x1 , x-10 , 是无穷大.( x1)(9) (x)解: , 是有界量, x时, 是无穷小, 0是无穷小.( x)(10) 2 (x+)解: x+, 2+ 是无穷大.( x+)15.求下列极限.(1) 解: 连续函数= 2×(-2)2+5×(-2)-1=-3(2) (12) 解: 分析:分子.分母极限均存在,可用法则 解:原式= = =0 =1 (3) (13)解: 解:原式= = = =2 = 1-(4) (14) 解 解: 原式= = 分析:无穷小的倒数是无穷大.(11)解:分析:分子、分母同除以n50=16.设函数f(x) 解：本题的解法可参照书中P13 例3 （1）当x0 左极限右极限 f(x)极限不存在. (当x0) (2) 当x1 左极限右极限f(1)=2 当x1时f(x)的极限为2 (3) 当x 18. (1)解法1: 原式= 解法2: 原式= = = = = = = = = = 解法3: “用洛必达” (3) 原式= 解: 原式= = = = = 0 = = （2）解法1: 原式= 解法2:可用等价无穷小解之= 原式= = = (4) (5) 解: 解: 原式= (当x0 arctanxx) = (6) 解: 原式= = = 1-1 = 019.求下列极限(1) (2) 解: 原式 = 解: 原式 = = e6 = e(3) (4) 解: 原式= 解: 原式= = = (5) 解: 原式 = = 20.求下列函数的间断点并指出其类型。 (1) y = (2) y = x sin解: 解: (无穷小x有界量) x = -1是无穷间断点 = 0 是第二类间断点 x = 0是第一类间断点为可去间断点(3) y = (4) y = (1+x)解: 解:x = 5是可去间断点 x = 0是第一类间断点，可去间断点第一类间断点 (5) y = (6) y = 解: 解:= x = 0是第一类可去间断点= -2 但x=k (k=±1 , ±2)x = 1是第一类可去间断点 时 lim y不存在 x=k (k=±1 , ±2)= 时是第二类无穷间断点x = 2是第二类无穷间断点23下列函数在x=0是否连续？为什么？(1) f(x) 解: 但 f(0)=0 f(x) 在x=0不连续.(2) f(x) 解: f(x) 在x=0连续.(3) f(x) 解: f(x) 在x=0连续.24.求下列函数的极限。 (1) (2) 解: 原式 = 解: 原式 = x-1, cos(1+x)1(3) x-1 ,cot(1+x) 解: 原式 = (5) (6) 解原式： 解原式： = = = =27某厂生产产品1000t，定价为130元/t，当售出量不超过700t时，按原定价出售，超过700t的部分按原价的九折销售，试将销售收入表示成销售量的函数。解：设销售收入为R元，销售量为q吨(t)则700t×130元/t=91000R= 习题二 (P61) 1.根据导数的定义，求下列函数的导数. （1） y = 解: ; (3)设f(x)=cos x, 求解: , , 3求下列函数的导数。 （1）f(x) = 2 求解: (2) f(x) = , 求 解:(3) f(x) = , 求 解:(4) f(x)= , 求 解: 4. 求下列函数的导数。 (1) y = 3x2-x+7 (2) y = 5(2x-5)(x-8)解: 解:= 6x-1+0 = 6x-1 =52(x-8)+2x-5 =5(4x-21)(3) y = (4) y = 解: 解: = = （5）y = 解法1: y = 解法2: = = - = = = = = = （6） y = (7) y = 解:y = 解: = = = (8) y = 解: = = = (9) y = (11) y = 解: 解: = = = =(10) y = (12) y = 解: 解: = = = =6. 求下列函数的导数。 (1) y = (3) y = 解: 解: = =(7) y = (10) y = ln ( ln x )解: 解: = = =7. 求隐函数的导数. ( 指 )(1) （3） 解:原方程两边对x求导 解:两边取对数 两边求导 9.求高阶导数.(1) y = ln(1+x) 求 (3) 求 解: 解: 由不完全归纳法的 10.求下列函数的微分.(1) y = (4) y = 解: 解: = 11.利用微分求近似值.解:分析:近似公式: (1) (2) 解:设 解:设 =1.02 =1-0.002=0.998 习题三（P92）3利用洛必达法则求下列极限。 (2) (4) 解：原式= 解：原式= = = = =(6) *(14)解：原式= 解：设 y = = = 则 = = = 4.求下列函数的单调区间. (1) y = x（0，100） 100（100，+） + 0 f 解 : D: x0 , (x-100) 即 X100 函数在 ( 0 , 100) 在 (100 , +) 5.证明下列不等式. (1) 当0<x<时, x<sin x<x x<证明: 当0<x<时 x>0 证: sin x >x设f(x)=x-sinx 令g(x)=(x)=1-cosx >0 x>0 , f(x)=x-sinx>f(0)=0 对于x<有 cosx>0 , tanx>x x > sinx g(x) 在 (0 , ) 即 x< g(x)>g() 两g()= g(x) >0 即 即sinx>x的证6求下列函数的极值。（1） x(-,-1)-1(-1,3)3(3,+) + +f极大 极小解 : =6（x-3）(x+1)驻点： x=3 x= -1 函数的极大值为f（-1）=17 函数的极小值为f（3）= -477求下列函数在所给区间上的最大值和最小值。 解：分析：不必列表，只须将可纯的极值点的极值与端点值比较之求极。 （2）y=, x-2,2 解： x=0 x=±1 ， ， ， ， 比较之 ， ， 12某商品的总成本函数为C=1000+3Q，需求函数Q= -100P+1000，其中P为商品单价，求能使利润最大的P值。解：L=R-C , R=Pq L=R-C=P(-100P+1000)-1000+3(-100P+1000) = -100P2+1300P-4000 L=1300-200P 令L=0 P=6.5答：能使利润最大的P值是6.5。 17.确定下列函数图形的凸向区间和拐点。 （1） y = x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+) +00+y拐拐 解： 令 x=±1 图形下凸区间为 (-,-1) ，(1,+) 上凸区间为 (-1,1) 拐点是（-1，-10）， （1， -10）18求下列曲线的渐近线。 (1) y = (2) y = 解： 解： x= -2是y的铅垂渐近线。 y = 0是曲线的水平渐近线。 y=1为曲线的水平渐近线 X=0和x= -为曲线的铅垂渐近线。19.按照作图步骤，描绘下列函数的图象。 解：函数作图步骤：求出函数的定义域考查函数的奇偶性，周期性。求出方程=0的根，列表判别函数的升降区间及极值点求出方程=0的根，列表确定函数凸凹性与拐点求出函数的渐近线计算几个点的函数值，画出图形。(1) y = x+ 解：函数定义域为（-，0）（0，+），f(x)为奇函数，无周期性。 , =0 x=±1 无零点 x>0 , x<0 X=0处 f , 均不存在x(-，-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+ ) + + +f-22 , a= , b=x=0为铅垂渐近线,无水平渐近线。 y=x为斜渐近线。 习题四1求解下列问题：（1）已知曲线上任一点切线的斜率为3x，且该曲线过点（1，1）求此曲线方程。解：分析；若所求曲线方程为y=f（x），则已知f（x）=3x即已知f（x）=3x，求f（x）用方法。=x+c 即y=x+c 过（1，1）点 ，1=×1+c c= 所求曲线方程为y=x，即3 x2y1=02求不定积分（1） （2）解：原式=+ 解：原式= =2+x+c =3+c（3） （4）解：原式= 解：原式= = = = =（5） （6）解：原式= 解：原式= = =（7） （8）解：原式= 解：原式= = = = =3求不定积分（1） （2）解：分析用凑微法 解：方法同（1）原式= 原式= （=） = （=） =4求不定积分（1） （2）（第二换元法）解：原式= 解：令 = = 原式= = = =5求下列不定积分（分部积分公式）（1） （2）解：形式，用分部积分法 解：原式=原式= = （第二次用公式）= = =（3） （4）解：原式= 解：原式= = = = = = =*8求下列微分方程的通解和满足条件（初始）的特解（1）解：分函变量： 两边积分 （2） , 解： 习题五1不计算积分，比较下列各组积分值大小（1）与 （2）与解：根据定积分性质与（1） （2）当 2估计下列积分值的大小：（1）解：根据积分性质6，而在1，4 （2）解： 3求下列函数的导数（1） （2）解：依据定理5.1 （1）= （2） （3） （4）解： 解： = =4求下列极限（1） （2）解：原式 解：原式= = = =0 =（有界量×无穷小量=无穷小） （二次用洛必达法则）5求函数在区间-1，5上的最大值和最小值解：令 x=0 ， x=4 为驻点又， ， 上最大值为，最小值为6计算下列定积分（1） （2）解：原式= 解：原式= = = = =（4） （5）解：原式= 解：是奇函数，原式=0 = =57计算下列定积分（1） （2）解：原式= 解：令 = = = = = = =8利用函数的奇偶性计算定积分（1） （2）解：原式 解：原式=0 =9计算下列定积分（分部积分法）（1） （2）解：原式= 解：原式= = = = = = =10计算下列广义积分（1） （2）解：原式= 解：原式= = = = =0+1=1 11求下列各题中平面图形的面积（1）由曲线与围成的图形解： 交点坐标为（1，1）（-1，1）12某产品产量为Q单位时，边际成本为C（Q）=80（元/单位），固定成本为C（0）500元，求生产100个单位产品时的总成本和平均成本。解： C（0）=500 若生产100个单位产品时的总成本是8500元/单位，平均成本量85元/单位。13某投资总额为100万元，在10年中每年可获收益25万元，年利率为5%，试求（1）该投资的纯收入贴现值，（2）回收该项投资的时间。解：（1） = 贴现值为回收投资时间为（2） 习题六1求下列函数的定义域，并用联立不等式表示（1） （2）解： 解：解得：2求下列函数的极限（1）（解法依据定义6.3）解：原式= =2+4 =6（2）解：原式=3讨论下列函数的连续性 解：分析：由于y与x同阶时分子、分母同阶，所以可选用路线加以讨论。由于K的不同可以解得不同的极限值，原极限不存在 Z在（0，0）不连续。4求下列函数的偏导数（1）解：分析P160，对于求关于x的偏导，只需将y视为常量，对x求导；求关于y的偏导，只需将x视为常量，对y求导即可。解： （2）解：数学（微积分）在经济问题中的应用一、经济问题中常见函数1需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数。习题一263126设某商品的销售收入R是销售量Q的二次函数，已知Q=0，2，4时，相应地R=0，6，8 试确定R与Q的函数关系解：设27某厂生产产品1000t定价为130元/t，当售出量不超过700t时，按原定价出售。超过700t的部分按原价的九折出售，试将销售收入表示成销售量的函数。解：设销售收入为R元，销售量为q吨 700t×130元/t=91000元，130×90%=117 31某服装厂生产衬衫的可变成本是每件15元，每天的固定成本是2000元，若每件衬衫售价为20元，则该厂每天生产600件衬衫的利润是多少？无盈亏产量是多少？解：设R（Q）为收入函数，C（Q）为成本函数，L（Q）为利润函数R（Q）=20Q=20×600=12000C（Q）=15Q+2000=15×600+2000=11000L（Q）=R（Q）-C（Q）=12000-11000=1000（元）无盈亏 即R（Q）=C（Q），20Q=15Q+2000，Q=400（件）答：利润是1000元，无盈亏产量是400件。二、最大（小）值，边际分析、弹性分析习题三9某企业的成本函数和收益函数分别为：C（Q）=1000+5Q+（元） R（Q）=200Q+（元）求（1）边际成本、边际收益和边际利润解：边际成本 边际收益 边际利润 （2）已知生产销售了25个单位产品，那么生产第26个单位产