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学时 投资分析的数量方法（Quantitative Methods for Investment Analysis） 投资工具第一章：货币的时间价值Chapter The Time Value of Money§ 解释利息率是对投资者的不同风险予以回报的实际无风险利率和风险溢价的总和利息率和折现率（Interest Rates and Discount Rates）货币时间价值概念的基础：收益率（rates of return）、利息率（interest rate）、要求的收益率（required rates of return）、折现率（discount rates）、机会成本（opportunity costs）、通货膨胀（inflation）和风险（risk）。货币的时间价值，反映了时间、现金流量和利息率三者之间的关系。投资者偏好现在消费。利息率是投资者推迟现在消费的回报。在确定世界，利息率被认为是无风险（risk-free）利率。一般是国家的短期债券，如美国的国库券（Treasury-bills, T-bills）。在不确定的世界，有两个因素影响利息率： 通货膨胀。贷款者承担通货溢价（inflation premium）和推迟消费的机会成本。因此，货币的名义成本（nominal cost of money），由实际利率（real rate）和通货溢价组成。 风险。贷款者还承担了不履行风险（default risk）。因此，利息率包括：名义的无风险利率和不履行风险溢价。利息率的意义： 收益要求率。即促使投资者放弃现在消费所要求的收益。 折现率（利息率和折现率可以交互使用）。 机会成本。即投资者按某一选择行为而放弃其他选择所失去的价值。影响利息率最重要的因素是：资金的供求关系。§ 计算整笔现金的终值（FV）和现值（PV）单一现金流量的终值（The Future Value of a Single Cash Flow）整笔现金流（或lump-sum investment）的终值计算公式（N的初值为0）： FVN PV（1 r）N 基本概念： 简单利息（simple interest），即利息率乘原始本金。 复利（compounding），即利息所挣的利息； 复合期间数（或投资年数）N。 终值因素（1r）N。单一现金流量的现值（The Present Value of a Single Cash Flow） 单一现金流量的现值计算公式：PVFVN（1+ r）N（1+r）N是现值因素，它是终值因素得倒数（reciprocal）。§ 区别设定的年利息率（the stated annual rate）和实际的年利息率（the effective annual rate）复合的频率m（the frequency of compounding）设定的年利息率（stated annual interest ratequoted interest rate）。即：在复利情形下，年度中利息支付次数为一次以上（利息支付期间少于1年）的，金融机构提供的利息率报价不是利息支付期间的期间利息率，而是年度利息率。这个利息率报价即为设定的年利息率，用rs表示。实际利息率（EAR），即：在给定设定的年利息率（rs）和m的情况下，单位货币投资1年（N1后）所得的终值。在m1时，EAR rs ；在m 1时，EAR rs 。§ 给定设定的年利息率和复合频率（the frequency of compounding），计算实际年利息率。设定的和实际的年利息率（stated and effective rates）期间利息率（the periodic rate）与设定的年利息率的关系：期间利息率rsm（m为年度内支付利息的次数）。实际利息率（EAR）的计算公式：EAR （1期间利息率）m 1 （1rsm）m 1永续复合时，实际利息率与设定的年度利息率的关系：EAR e rs 1。§ 在复合期间不是1年的情形下，解决货币的时间价值问题 复合的频率m（the frequency of compounding） 年度的复合期间超过1次时，终值的计算公式为：FVN PV（1rsm）m×N 年度的复合期间超过1次时，现值的计算公式为：PV FVN（1rsm） ( m×N ) 永续复合（continuous compounding）永续复合（年度复合期间次数为无限大）即上述等式中，m。e( rs× N ) 是transcendental number，e 2.712818。则终值为：FVN PV e( rs× N )§ 计算普通年金（the ordinary annuity）和预付年金（annuity due）的终值（FV）和现值（PV）现金流量系列的终值（The Future Value of a Series of Cash Flow） 年金（annuity）：有限系列的现金流系列，且所有现金流系列的价值相等。 普通年金（ordinary annuity）：普通年金的首次现金流量，发生在一个期间后（时间指数t1）。 预付年金（annuity due）：首次现金流量立即支付的年金（时间指数t0）。 永续支付年金（perpetuity）：系列无限的现金流系列，且首次现金流量发生在一个期间后（时间指数t1）。 等值的现金流量（equal cash flows） 普通年金 等值（即每次现金流量的数目相等）普通年金的图例。A即年金的数目（the annuity amount），它表示每次支付的现金流量的数目。N即支付年金的期间个数（the number of time periods）。r即各年金支付期间的利息率（the interest rate per periods）。t0t1；At2；AtN；AA（1r）A×（1r）N1A（1r）2A×（1r）N2A（1r）NA（1r）PVA （1r）1 +（1r）2 +（1r）N FV A ×（1+ r）N1 r 等值普通年金的终值计算公式： FV A ×（1+ r）N1 r 系列非等值的现金流量（a series of unequal cash flows）非等值普通年金的终值计算公式： FV A1（1+ r）N1 A2（1+ r）N2 AN（1+ r ） 现金流量系列的现值（The Present Value of a Series of Cash Flow） 系列等值现金流量（a Series of Equal Cash Flow）的现值。系列等值现金流动，是首次支付发生在t1、末次支付发生在tN时的现金流动。其现值（PV）的计算公式：PVA （1r）1 +（1r）2 +（1r）N A1（1+ r）N r 预付年金（annuity due）的现在价值的计算方法。预付年金的现值可以分为两部分，即：现在支付的年金金额及支付（N1）次的普通年金（ordinary annuity）的现值。其计算公式为：PV A + A1（1+ r）(N1) r A（1+r）1（1+ r）N r§ 计算永续年金（perpetuity）的现值。系列无限的等值现金流量的现在价值 永续年金 永续年金，是首次支付发生在t1时的普通年金的无限延伸。现值（在t0时的现值）的计算公式为： PV A （1r） t lim A 1（1r） t r Ar t1 t§ 对货币的时间价值问题，根据给定的相关变量计算未知量t0的现金流动的现值（Present Values Indexed at Times Other Than t = 0）在将来某时间t 0（t 0为首次支付的期间序数）开始支付的年金（或永续年金）的现值，可以表示为其首次支付前的一个期间（t 0-1）的现值PV（to），然后再将该现在价值折算成目前的现值PV（0）。A（t0） B（tt 0 1） C（tt 0） D（t） 永久支付年金的现值：PV=A/r； 首次支付（t 0）的系列等值现金流量（N tt o + 1）的现值： PV A 1（1r）N r单一现金流（Nt 01）的现值：PV= FVN（1+ r）N利息率和增长率的求解（Solving for Interest Rates and Growth Rates） 单一现金流量的利息率或增长率（用g表示）的计算公式：r （FVN PV）1 N 1 复合增长率（compound growth rate），是一系列不同的期间利息率的总体测评。用g1；g2；g n 表示不同期间内的利息率，则：g （1g1）×（1g2）××（1g n） 1。期间数（N）的求解（Solving for the Number of Periods）单一现金流动的期间数的计算公式：N （FVN PV） （1+ r）年金数额（A）的求解（Solving for the Size of Annuity Payments） 普通年金（t1时的年金）的年金数额（A）的计算公式：A PV×r1（1 r）N A FV×r（1 r）N 1 复利年金数额（A）的计算公式：A PV×（rsm）1（1 rsm） m×N A FV×（rsm）（1 rsm）m×N 1 预付年金（t = 0时的年金）的年金数额（A）的计算公式：A PV×r1（1 r）N （1 r） 永续年金的年金数额（A）的计算公式：A = r ×PV§ 解释现金流量的累加原则（additivity principal）年金数额（A）的求解（Solving for the Size of Annuity Payments）累加原则，即对相同时间点的货币金额可以进行累加（或扣除）。累加原则是解决非恒定现进流量（uneven cash flows）问题的重要方法。等价和累加（Equivalence and Additivity）在近似恒定的现金流量中的应用近似恒定的现金流量，是指在大多数期间内都能保持现金流量的恒定，但是，因为在极少数期间现金流量不能保持恒定而不能将它视为恒定的现金流量。等价（equivalence），即现值和终值等式，是指现值和终值是被时间分割而价值相等的两个量。因此，单一金额或单一现金流量（a lump sum）可以视为与年金等价，而年金也可以视为是与其终值相等价的单一金额。由此可见，对于现值、终值和现金流量系列，只要三者被定格在同一时间点，则可以认为它们是等价的。这样对于同一时间点的现金流量就可以适用累加原则。§ 计算非恒定现金流量系列（uneven cash flow）的终值和现值等价和累加（Equivalence and Additivity）在近似恒定的现金流量中的应用根据Page 35-36的例题可将方法归纳为： 根据近似恒定的现金流量假定一个恒定的现金流量。 根据近似恒定的现金流量和恒定的现金流量的关系，在假定一个（或多个）现金流量系列。该假定的系列现金流量一般仅在一个期间有现金流量，而其他期间的现金流量为0，因而可以用单一现金流量的现值和终值公式求解。 应用累加原则求近似恒定现金流量的现值和终值。§ 能够作出时间直线，指出时间指数和解决有关货币的时间价值问题的实际应用，如大学学费或退休金的储蓄和抵押借款（mortgage）第二章：现金流量折现的应用Chapter Discounted Cash Flow （DCF）Applications§ 计算和解释投资的净现值（NPV）和内部报酬率（IRR）现金流量折现的分析（DCF Analysis）财务决策有三个主要领域： 资本预算（capital budget），即对相对长期的投资的资金分配； 资本结构，公司为要进行的投资提供长期资金的抉择； 在投资资本的管理（working capital management），即短期资产和短期债券的管理。净现值规则（the net present value rule）净现值，即某项投资现金流入的现值（获利）减去其现金流出的现值（成本）。计算NPV的步骤： 识别该项投资所发生的所有现金流量； 判断适合于该投资项目的折现率r（或机会成本）； 用折现率计算每一个现金流量的现值（现金流入的现值为正、现金流出的现值为负）； 求出NPV；净现值规则的应用： NPV0，则可进行该项投资； NPV0，则不可进行该项投资； 两项可选投资，应选取NPV较大者进行投资。NPV的计算公式： NNPV CFt(1r ) t t0CFt ，即时间t的预期现进流量；N，即投资的计划存续时间（the investments projected life）；r，资本的折现率或机会成本。上述各变量的数据要保持相互的匹配。如：在现金流量为年金时，则r应为年利息率。内部报酬率规则（the internal rate of return rule）内部报酬率（IRR），即使净现值（NPV）等于0的折现率。它仅取决于投资的现金流量，而不需要外部的数据。内部报酬率有两个其它的名称：债券得到期收益率（yield to maturity for bonds）和投资组合的货币权重收益率（dollar-weighted rate of return for portfolios）。对IRR的解释要注意：即使我们的现金流量计划是正确的，但是，只有在所有暂时的（interim）现金流量正好以内部报酬率（IRR rate）进行再投资时，我们才能得到正好与IRR相等的复合收益率（compound rate of return）。IRR的求解方程为（各变量的数据要保持相互的匹配）： NNPV CFt(1IRR ) t 0 或 t0 NCF0 CFt(1IRR ) t （CF0Investment）t1 IRR规则：如果计划或投资的IRR大于资本的机会成本，则该计划或投资可以接受。如果资本的机会诚或要求报酬率（hurdle rate）等于IRR，则NPV等于0。§ 比较净现值规则和内部报酬率规则内部报酬率方法的有关问题NPV的计算取决于由市场决定的外部的折现率（或资本的机会成本），而IRR不受任何外部利息率的影响。§ 讨论内部报酬率方法的有关问题内部报酬率方法的有关问题如果投资计划互不依赖（即对某项目投资的决策不会影响到另一投资项目），则按IRR和NPV规则做出的投资决策是相同的。如果公司不能为所有的投资计划提供资金，则这两个规则可能会给出相互矛盾的投资决策。NPV规则吸收了由市场决定的资本的机会成本作为折现率，所以NPV就是投资预期的财富增加额。在IRR和NPV规则相互冲突时，一般使用NPV规则。§ 计算投资组合收益率的资金权重和时间权重 投资组合收益的计量（portfolio return measurement） 资金权重的收益率（dollar-weighted rate of return）。投资组合的资金权重收益率，即为投资组合的内部报酬率（IRR）。其计算可方程（求解得到IRR）为：PV（outflows）PV（inflows）。PV（outflows）为所有现金流入的现值；PV（inflows）为所有现金流出现值。 时间权重的收益率（time-weighted rate of return）。其计算步骤： 在投资组合有任何较大现金流入或流出前，即对投资组合估价，并且根据现金流入或流出的日期将整个的评估期间作为亚期间（subperiods）。 计算投资组合每个亚期间的期间持券收益率（holding period return）。 复合持有期间收益率HPR，以得到该年的年度收益率（即该年的时间权重收益率）；组合中的投资超过一年的，则对年度收益率取几何平均值以得到时间权重的收益率。每一次现金的流入或流出即对投资组合评估，代价太高。实践中常采用近似的方法，即按确定间隔期间对投资组合评估。假定以每月为间隔期间，则：r t（NVE tMVB t）MVB t 。（NVB t和NVE t表示t月初或月末的市值值）用N表示测评期间的不同年度，t表示各年度内的亚期间，r t 表示年度内不同亚期间的持有期间收益率，r N表示测评期间各年度的时间权重收益率，r TW表示所有测评年度时间权重收益率的几何平均值。则：对年度内的亚期间：r N （1r1）（1r 2）（1r t）1。对各年度：r TW （1r1）×（1r2）××（1r N）1N 1。§ 区别收益率的资金权重和时间权重投资组合收益的计量（portfolio return measurement）资金权重和时间权重的收益率的比较： 投资组合的资金权重收益率，取决于投资组合中现金流入或流出的时间和数量。 在投资行业，时间权重的收益率是优先选择，原因有二：它不受投资组合中现金的流入或流出的影响；它计量的是投资组合中1美元的最初投资在整个计量期间增长的复利息率。因此，如果客户在不利的时间向投资组合注入资金，则会使资金权重收益率有下降的趋势，反之，则会使资金权重收益率升高。而时间权重收率则可消除其影响。§ 计算美国国库券的银行贴现收益率、持有期间收益率、实际年收益率和货币市场收益率。货币市场收益率（Money Market Yields）货币市场，即风险低、折现性高的短期债务工具（debt instruments）。有些债务工具是纯折现工具，即利息表现为借贷金额和偿还金额之间的差额。如投资者购买国库券的支付低于票面金额（face amount），在到期时得到票面金额的折现。 银行贴现收益率或贴现收益率（bank discount yield）的计算。rBD为年度的贴现收益率；D为货币折扣（the Dollar discount），即国库券的面值F与购买价格P的差；t为国库券离到期的天数；F为面值。则：rBD （DF）×（360t）贴现收益率对投资者收益的测评没有意义，原因： 该收益率取决于面值而不是购买价格，投资的收益必须参照投资的金额来评估； 该收益率以365天为一年的天数； 贴现收益的年度化仅考虑了单利（simple rate），而忽略了复利。为此，由下述三种替代的收益测评方法。 持有期回报率HPY（holding period yield）的计算。p0即债务工具的最初购入价格；p1即债务工具到期时能得到的价格；D1是债务工具到期时能分配到的现金（即所生的利息）。则：HPY（p1p0D1）p0 。使用这个公式进行计算，要注意： 买进或卖出的价格必须是任何应计利息（accrued interest）与交易价格的和； HPY是以150天为期间的收益。 实际年收益率EAY（effective annual yield）的计算。实际年收益率EAY（1HPY）365t 1。实际年收益率考虑到了HPY的复利并扩展到1年。贴现收益率小于实际年收益率。 货币市场收益率（money market yieldthe CD equivalent yield）的计算。若一年以360天计算，则该转换使国库券的报价收益率与生息的货币市场工具（interest-bearing）的收益率报价可相互比较。§ 持有期间收益率、实际年收益率和货币市场收益率的相互转换 货币市场收益率（Money Market Yields） 货币市场收益率与持有期间收益率的转换。一般地，假定360天一年，则货币市场收益率与年度化的持有期间收益率相等。货币市场收益率rMM HPY×（360rBD） 货币市场收益率与贴现收益率的转换。货币市场收益率rMM 360×rBD（360t×rBD）rMM rBD×(Fp0 ) （ rMM rBD）§ 计算债券等值收益率（bond equivalent yield）基本的债券评估（Basic bond valuation）两类债券： 附息债券（coupon bonds），即定期支付券息（coupon interest）的债券； 零券息债券（Zero- coupon bonds）或纯贴水债券或不附息债券（strips）。债券的内部报酬率，即为债券的到期收益率。债券的净现值，是债券的现值（以要求的收益率对债券承诺的偿付进行折算）与其市场价格的差。债券的价格准确，则NPV为0；债券被低估，则NPV为正。债券的三个关键属性： 到期期间（term to maturity），到期即发行人支付债券面值（par value）以回赎（redeem）债券； 券息； 本金，即面值。券息率（coupon rate）与本金相乘，可得债券的利息收益。零券息债券和无套利评估方法（the arbitrage-free valuation approach）不附息债券的利息，等于购价和本金（面值）的差，因此，可以用整笔金额的计算公式，即：PVFVN（1r）N；或：r （FVN PV）1 N 1。债券的面值为FVN ，r是债券的内部报酬率，要与N匹配。债券的等值收益率即为债券的到期收益率YTM（yield to maturity）。如果M为到期值（Maturity）或面值；P为购价；m为每年的复利期间数。则其计算公式为：YTM m×（MP）m×N 1 。将公式变形可得债券的购价P的计算公式：P M（1YTMm）m×N 。到期收益率YTM与实际年收益率EAY的换算：EAY（1YTM）N 1。债券的实现收益取决于：债券至购进日或偿付日的价格升值（appreciation）；收到的券息；券息再投资能获得的利息。不附息债券的收益仅取决于价格升值，投资者不会得到券息和券息再投资的收益。投资人持有不附息债券获得的收益，等于债券的实际年收益（EAY）。在固定收益分析中，不附息债券的到期收益率YTM有重要作用。N年不附息债券的YTM称为N年的点利息率（spot interest rate），由点利息率和到期收益率组成图像称为点收益率曲线（spot yield curve）。我们可以点利息率来给复杂的债务工具（包括附息债券）定价，这种方法称为无套利的评估方法（arbitrage-free valuation approach）。其方法（以附息债券为例）：将附息债券的每个现进流（到期前每一期间支付券息、到期时的券息和本金）看作为相应支付期间的不附息债券，将这些不附息债券的现金流以适当的点利息率予以折算为对应的现值（即价格），折算公式为：P M（1YTMm）m×N ，然后求出所有现金流现值的和，即为附息债券的价格。比较该债券当前的价格和上述计算得出的价格，如存在差额，则可实现套利。第三章：统计概念和市场收益Chapter Statistical Concepts and Market Returns§ 区别描述性（Descriptive）统计推理性（Inferential）统计。 什么是统计？（What is Statistics？）统计方法包括： 描述性统计（Descriptive statistics），即如何有效地归纳数据，以描述一个大的数据集合的重要方面。 推理性统计（Inferential statistics），即如何从实际观察到的较小群体，对大群体进行预测、评估和判断的。推理统计的基础是概率理论（Probability Theory）。本章的内容是描述性统计。主要关心： 向心趋势（central tendency），即数据的中心在何处； 分散性（dispersion），即数据从中心扩散的距离； 偏度（skewness），即分布是否对称； 峰度（kurtosis），即极端结果出现的几率。§ 群体（population）和样本（sample）的区别。§ 解释参数（parameter）和样本统计的概念。参数是群体特征的描述尺度；统计是样本特征的描述尺度。通过样本统计（sample statistics），可以估算未知的群体参数。§ 测评刻度（measurement scales）类型的不同。测评刻度Measurement Scales（levels of Measurement）为了选择适当的统计方法来归纳和分析数据，应对不同的测评刻度进行区分。 名义刻度（nominal scale），即仅对观测对象归类但不排序。 普通刻度（ordinal scale），即对观测对象分类归类，并按某些特征对这些类别进行排序。 间隔刻度（interval scale），即对观测对象进行归类并对类别排序，而且还保证刻度值之间的差别相等，但是，间隔精度的零点不能反映被测参数值的完全缺乏。因此，刻度值之间能够均衡地相加或相减，但不能地形成比例。 比例刻度（ratio scale）。§ 定义和解释频率分布（frequency distribution）。频率（Frequency Distributions）频率分布（Frequency Distributions），是归纳数据的最简单方法之一。它将数据归纳到数字相对较小的一系列间距中，用表格表示这些数据。间距（intervals），是观察对象落于其中的一系列值。频率分布，就是间距与相应的频率值组成的图表。建立频率分布表的重要考虑因素，是间距的数量。§ 定义和解释持有期间收益（holding period returntotal return）频率分布（Frequency Distributions）持有期间收益率R t的计算公式：R t （P t P t1 D t）P t1 。P t为在期间t的期末的市值，P t1为在期间t1的期末的市值，D t为在期间t所得的现金分配。该公式的特点：与时间和货币单位无关。§ 计算相对频率和累积相对频率（cumulative relative frequency）。频率分布（Frequency Distributions） 给定间隔对应的观察对象的实际数据，就是绝对频率（absolute frequency）。 相对频率（relative frequency），就是用绝对频率与观察对象总数的比。 累积绝对频率和累积相对频率，就是将绝对频率或相对频率依次累加。§ 柱状图表（histogram）或频率多边形（polygon）表示数据的特征。图表表示Graphic Presentation 柱状图表（The HistogramBar Chart）柱状图表（Histogram），是频率分布（Frequency Distributions）的图表等价形式。每一柱状的宽度，就是频率分布的间距（interval）。柱状的高度表示落于相应间隔的观察对象的频率。 频率多边形和累计频率分布（The Frequency Polygon and The Cumulative Frequency Distribution）频率多边形，即多边形每一顶点的横坐标为每一间距的中点，纵坐标为对应间距的绝对频率，然后将相邻的点用直线连接起来。另一个线条形式的图表是累计频率分布。这种图表不仅能描述累计绝对频率分布，而且能描述累计相对频率分布。§ 计算和解释向心趋势参数（measures of central tendency）。向心趋势参数（Measures of Central Tendency）向心趋势标度，就是通过找到一个单一的点来描述一组观察对象。通常的向心趋势尺度包括：平均值（mean）、中值（median）、加权平均值（weighted mean）、众数（mode）、几何平均值（geometric mean）。定位参数（location parameters）包括：向心趋势标度（Measures of Central Tendency）；四分值（quartiles）；五分值（quintiles）；十分值（deciles）；百分值（percentiles）；其他。 群体平均值m（Population MeanAverage）的计算方法： Nm （ X i）N i1 样本平均值（The Sample MeanAverage）的计算方法： nX （ X i）n i1算术平均值（the Arithmetic Mean）的特征： 算术平均值相当于一个物体的重心。在一条直线上标出观察对象的值，再将每个观察对象的频率用柱状图表示（柱体高度代表频率），则由此组成的杠杆，只有当支点在算术平均值的位置时，才会保持平衡。 观察对象与平均值的差（X iX），即为观察对象的分布偏差（deviation）。所有观察对象偏差的和为0。相对算术平均值的偏差表明了风险。 它容易受到极端值的不适当影响。 对特定群体，算术平均值只有一个。 中值（The Median）将观察对象按升序（获降序）排列。 如果观察对象的数量为奇数，则中值为序数在（n1）2 位置的观察对象的值； 如果观察对象的数量为偶数，则中值应在序数为n2 和 （n2）2 的位置，求这两项的平均值，可得中值。中值不受到极端大（或小）值的影响。 众数（The Mode）众数即分布中出现频率最多的的值。某个分布可能有多个众数或没有众数。股票收益数据和其他呈连续分布的数据，可能没有众数。然而，把这些数据按一系列的间距分组，就会发现最高频率间距，这就是“众数间距（modal interval）”。Mode是向心趋势标度中唯一能够与名义数据（nominal date）连用的标度。§ 四分值 、五分值、十分值、百分值（Quartiles、Quintiles、Deciles、Percentiles）四分值 、五分值、十分值、百分值四分值 、五分值、十分值和百分值，是与中值（median）相对应的。在一个有n个按升序排列的元素的系列中，P y为第y个百分值，L y为第y个百分值P y在升序排列系列中的位置，则：L y y（n1）100计算百分值的步骤： 如果L y是一个整数i，则P y X i ，X i是在第i个位置的值； 如果L y不是一个整数，则取与L y 两边相邻的值Xi 、X j ，i、j 在L y 的两边。则：P y Xi （L y i）（X jXi）。§ 计算和解释：加权平均值、范围、平均绝对差、方差和标准差。加权平均值（The Weighted Mean）加权平均值能够对不同的观察对象给予不同的权重，算术平均值则是对所有观察对象都同等对待。一系列的观察对象X1，X2，X n ，它们对应的权重分别是w1，w2，wn ，则加权平均值的计算公式是： nX w w i X i i1几何平均值（The Geometric Mean）一系列观察对象X1，X2，X n的几何平均值G的计算公式（X n0）： nG X1 X2 X n 将等式变形得：nG （ X i）n i1当某个观察对象为负数时，收益率的几何平均值RG为：TRG （1+R1）（1+R2）（1+RT） 1 （1+R t） 1/T 1 几何平均数与算术平均数的区别： 几何平均数永远小于或等于算术平均数。 一般地，当我们需要计算收益率或增长率的复合利息率（compound rate）时，使用几何平均数。分散性参数及其应用（Measures of Dispersion and Their Application）分散性的意义：它表示收益是围绕平均值的分散性，分散性说明的是风险。分散性参数有：范围（range）、平均绝对差（mean absolute deviation）、方差（variance）、标准差（standard deviation）。这些参数都是绝对分散（absolute dispersion）参数。 范围（The Range） 范围可用间距或比例数据计算。范围即数据集合中的最高值与最低值的差额。Range Maximum Value Minimum Value 范围能反映极端大值和极端小值的结果，而不能描述分布的情况。 平均绝对差（Mean Absolute Deviation）的计算公式（X为算术平均数）：nMAD （X i X）n i1