《高等数学》课程电子教案(节选)cjb.docx

高等数数学课课程前期期建设成成果 本课程程为我校校第二批批精品课课程建设设立项项项目，学学院为此此专 门门抽调各各教研室室骨干教教师组成成课程组组，充分分发挥和和强化其其建设与与改革职职能，前前期建设设所取得得的成果果主要体体现在以以下几个个方面： 一、师师资队伍伍建设 本课程程组共112名成成员，其其中正副副教授55人，讲讲师3人人，助教教5人，其其中具有有博士学学位3人人，具有有硕士学学位6人人，已初初步建立立一支数数量充足足、结构构合理、素素质优良良、充满满生机与与活力的的专任教教师队伍伍。 二、教教材建设设 考虑到到师范院院校属性性及相关关学科的的教学特特点，构构建融会会贯通的的课程体体系，我我们已经经编写出出下述高高等数学学系列列教材： 1. 孙国正正主编，高高等数学学，安徽徽大学出出版社220033 2. 刘树德德编，高高等数学学，校科科类基础础课，教教材，已已申请出出版 3. 刘树德德编，高高等数学学续论，选选修课教教材，校校内胶印印使用 三、教教学改革革 1. 加强教教学内容容的整合合力度，以以社会发发展的新新科技、新新成果充充实教学学内容，提提高教学学起点。 2. 深入进进行教学学方法改改革，多多用启发发式、讨讨论式、研研究式教教学方法法，从改改变教师师的教学学方式之之入手，达达到转变变学生的的学习方方式之目目的。 3. 运用现现代教育育手段提提升教学学水平。为为教师制制作CAAI课件件，使用用多媒体体授课，加加快计算算机辅助助教学软软件的开开发积极极创造条条件。 四、教教学研究究项目 1. 省高校校教学研研究项目目, 高高等数学学课程的的优化设设计，119999-20002； 2. 校教材材建设基基金资助助项目，出出版校科科类基础础课教材材高等等数学, 20006 3. 校第二二批精品品课程建建设立项项项目, 高高等数学学，220055-20008 课程建建设是一一项长期期艰苦的的工作，今今后我们们要继续续努力，加加快建设设的步伐伐。20055.122高等数数学课课程电子子教案(节选)授 课 人：刘刘树德教学内容容：1、微积积分学的的基本定定理与基基本公式式；2、定积积分的换换元积分分法与分分部积分分法。教学目的的：1、理解解微积分分学的基基本定理理与基本本公式的的涵义和和重要性性；2、熟练练掌握和和运用定定积分的的换元积积分公式式与分部部积分公公式。教学重点点： 定积分分的换元元积分法法与分部部积分法法教学难点点： 微积分分学的基基本定理理与基本本公式教学手段段：讲授授§6.22 微微积分学学的基本本定理与与基本公公式 若已知知f(xx)在a,bb上的的定积分分存在，怎怎样计算算这个积积分值呢呢？如果果利用定定积分的的定义，由由于需要要计算一一个和式式的极限限，可以以想象，即即使是很很简单的的被积函函数，那那也是十十分困难难的。本本节将通通过揭示示微分和和积分的的关系，引引出一个个简捷的的定积分分的计算算公式。 1. 微积分分学基本本定理 设函数数f(xx)在区区间aa,b上可积积，则对对a,b中中的每个个x，f(xx)在a,xx上的的定积分分都存在在，也就就是说有有唯一确确定的积积分值与与x对应，从从而在a,bb上定定义了一一个新的的函数，它它是上限限x的函数数，记作作(x)，即，xaa,b这个积分分通常称称为变上上限积分分. 定理66.2.1 设f(x)在在a,b上上可积，则则(x)=是a,b上上的连续续函数。 证 任取xxa,bb及x0，使使x+xa,bb。根根据积分分对区间间的可加加性，=(xx+x)-(x)=。由于f(x)在在a,b上上可积，从从而有界界，即存存在M0，使使对一切切xa,bb有|f(xx)|M，于是是|=M|x|.故当xx0时有有0.所所以(x)在x连续，由由xa,bb的任任意性即即知(x)是a,b上上的连续续函数. 定理66.2.2(原原函数存存在定理理) 设f(x)在在a,b上上连续，则则(x)=在a,b上上可导，且且'(xx)=f(xx)，xa,bb，也就是说说(x)是f(xx)在a,bb上的的一个原原函数. 证 任取xxa,bb及x0，使使x+xa,bb. 应用积积分对区区间的可可加性及及积分中中值定理理,有=(xx+x)-(x)=f(x+x)x,或=f(xx+x), (011).(22.1)由于f(x)在在a,b上上连续，.故在(22.1)中令x0取极极限,得得=f(xx).所以(x)在在a,b上上可导,且'(x)=f(xx). 本定理理回答了了我们自自第五章章以来一一直关心心的原函函数的存存在问题题. 它它明确地地告诉我我们: 连续函函数必有有原函数数, 并并以变上上限积分分的形式式具体地地给出了了连续函函数f(x)的的一个原原函数. 回顾微微分与不不定积分分先后作作用的结结果可能能相差一一个常数数. 这这里若把把'(x)=f(xx)写成成.或从d(x)=f(xx)dx推得,就明显看看出微分分和变上上限积分分确为一一对互逆逆的运算算. 从从而使得得微分和和积分这这两个看看似互不不相干的的概念彼彼此互逆逆地联系系起来,组成一一个有机机的整体体. 因因此定理理6.22.2也也被称为为微积分分学基本本定理. 推论66.2.1 设设f(xx)为连连续函数数，且存存在复合合f(x)与f(x), 其中(x),(x)皆为可可导函数数, 则则. (2.22) 证 令(x)=, aa为f(x)的的连续区区间内取取定的点点. 根根据积分分对区间间的可加加性, 有 =(x)-(x). 由于ff(x)连续,所以(x)为可导导函数,而(xx)和(x)皆可导导,故按按复合函函数导数数的链式式法则, 就有有 =.所以(22.2)式成立立. 例1. 证明明: 若若f(xx)在(-,+)内内连续, 且满满足f(x)=, 则则f(xx)0. 证 由假设设知f(x)=在(-,+)内内可导, 且ff'(xx)=f(xx). 令F(x)=f(xx), x(-,+),则F'(xx)=f'(x)ee-x-f(xx)e-x=0.所以F(x)c, x(-,+).由于F(0)=f(00)=00, 可可得F(x)0. 从而有有f(x)=F(xx)ex0, x(-,+).例2求求解：应用用洛比达达法则， 原式 2牛牛顿莱布尼尼兹公式式 定理66.2.3 设在上连续续，若是是在上的一一个原函函数，则则.（22.3） 证 根据微微积分学学基本定定理，是是在上的一一个原函函数。因因为两个个原函数数之差是是一个常常数，所所以，上式中令令，得，于于是.再令，即即得(22.3)式。 在使用用上，公公式(22.3)也常写写作，或。 公式(2.33)就是是著名的的牛顿莱布尼尼兹公式式，简称称NL公式式。它进进一步揭揭示了定定积分与与原函数数之间的的联系：在上的定定积分等等于它的的任一原原函数在在上的增增量，从从而为我我们计算算定积分分开辟了了一条新新的途径径。它把把定积分分的计算算转化为为求它的的被积函函数的任任意一个个原函数数，或者者说转化化为求的的不定积积分。在在这之前前，我们们只会从从定积分分的定义义去求定定积分的的值，那那是十分分困难的的，甚至至是不可可能的。因因此NL公式式也被称称为微积积分学基基本公式式。 例3 计算算下列定定积分 （1）； （2）（）； （3）； （4）。 解（11）原式式 （22）原式式 （33）原式式 （44）原式式 例4 设，求求。 解 。§6.33 定定积分的的换元积积分法与与部分积积分法 有了牛牛顿莱布尼尼兹公式式，使人人感到有有关定积积分的计计算问题题已经完完全解决决，但是是能计算算与计算算是否简简便相比比，后者者则提出出更高的的要求。在在定积分分的计算算中，除除了应用用NL公式式，我们们还可以以利用它它的一些些特有性性质，如如定积分分的值与与积分变变量无关关，积分分对区间间的可加加性等，所所以与不不定积分分相比，使使用定积积分的换换元积分分法与分分布积分分法会更更加方便便。 1、定定积分的的换元积积分法 定理66.3.1 设函数数在上连续续，函数数在（或）上有有连续的的导数，并并且，（），则则（3.1） 证 由于与与皆为连连续函数数，所以以它们存存在原函函数，设设是在上的一一个原函函数，由由复合函函数导数数的链式式法则有有，可见是的的一个原原函数。利利用NL公式式，即有有所以(33.1)式成立立。 公式(3.11)称为为定积分分的换元元公式。若若从左到到右使用用公式(代入换换元)，换换元时应应注意同同时换积积分限，还还要求换换元应在在单调区区间上进进行。当当找到新新变量的的原函数数后不必必代回原原变量而而直接用用NL公式式，这正正是定积积分换元元法的简简便之处处。若从从右到左左使用公公式(凑凑微分换换元)，则则如同不不定积分分第一换换元法，可可以不必必换元，当当然也就就不必换换积分限限。 例1 计算算下列定定积分 （1）； （2）； （3）； （4）。 解 （11）令，则则，且当当t从0变变到时，从11减到。于于是 原式. （2）令令，则，且且当t从0变变到时，x从0增增到。于于是 原式. （3）原原式. （4）原原式. 例2 设在在上连续续，证明明：特别当为为奇函数数时，；当为偶函函数时， 证：因因为，在中，令令，得所以. 当为奇奇函数时时，故故，从而而有. 当为偶偶函数时时，故故，从而而有. 例3 设为为上的连连续函数数，证明明： （1）； （2）； （3）。 证：（11）令，则则，且当当t从0变变到时，x从减到00。于是是(2)，在在中，令令，得 =所以（3）令令，则所以 =（利利用(2)的结果果）. 例2和和例3的的结果今今后经常常作为公公式使用用，例如如我们可可以直接接写出2定积积分的分分部积分分法定理6.3.22若u(x)，v(x)在a,b上上有连续续的导数数，则.(33.2)证 因因为所以是在在a,b上上的一个个原函数数，应用用NL公式式，得.利用积分分的线性性性质并并移项即即得（33.2）式式公式（33.2）称称为定积积分的分分部积分分分式，且且简单地地写作.(33.3)例4计算算下列定定积分（1） （22）（3） （3）解（1）原原式=. =.（2）原原式= = =. （33） = =.所以.（4）令令，则例5 （1）证证明 （22）求的的值.解 由由例3（11）即知知（1）成成立（2）当当时所以于是当为为奇数时时有当为偶数数时有容易得出出所以(3.44)公式(33.4)称为沃沃利斯(Wallliss)积分分公式，它它在定积积的计算算中经常常被应用用。例求求的值.解。17