第25讲--平行线分线段成比例定理.docx
第二十四讲平行线分线段成比例一、知识要点1.平行线分线段成比例定理如下列图，如果4 “4,那么生="，丝="，理="AC DF AC DF DE DF2 .平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果那么丝=丝=匹 AB AC BCa n a p n/73 .平行的判定定理：如上图，如果有=二，那么OE BC。（你会证明吗？） AB AC BC二、典例分析：类型一：平行线分线段成比例定理及其推论基本应用例 1、如图，DE/ BC,且 £V5 = AE,假设 AB = 5, AC = 10,求 A 石的长。例 2、如图， AB/EFI /CD,假设 AB = a, CD = b, EF = c,求证：- = - + cabCA/变式训练：1、如图，AB上BD, CD±BD,垂足分别为3、D, AC和比 相交于点石，EFA.BD,垂足为尸.证明：_L + _L = _L.AB CD EF2、如图，找出SgQ、S、bed、Sabo之间的关系，并证明你的结论.3、如图，在梯形ABCD中，AB/CD, AB = 12, CD = 9 ,过对角线交点O作所CD交AO, BC于类型二、定理及推论与中点有关的问题例4、（2007年北师大附中）（1）如图（1）,在AA3C中，M是AC的中点，石是AB上一点，且AE = ! A3 ,连接EM并延长，交BC的延长线于D , 4BCCD(2)如图(2), AABC 中，AE:EB = 1:3, BD:DC = 2:1,4）与CE相交于尸，那么与+”的值为（）rC rDA-1A-1B. 1C-1D. 2注：对上面两小题请写出简要过程。变式训练:1、（2001河北）如图，在AABC中，。为3。边的中点，石为AC边上的任意一点，BE交AD于点O.（1）当上=，时，求42的值; AC 2 AD（2）当空=!时，求42的值； AC 3 4 AD（3）试猜测必=匚时42的值，并证明你的猜测.AC n +1 AD2、（2003恩施）如图，AD是AABC的中线，点£在40上，尸是8E延长线与AC的交点.AT 1（1）如果石是4）的中点，求证： =；FC 2殁成立，假设石是AD上任意一点（石与4、D不重合）, EDAp 1（2）由（1）知，当E是AD中点时，- = -FC 2上述结论是否仍然成立，假设成立请写出证明，假设不成立，请说明理由.3、（宁德）如图，AA5C中，。为5C边的中点，延长4）至£, 延长AB交CE的延长线于P。假设AD = 2DE,求证：AP = 3ABo3、（宁德）如图，AA5C中，。为5C边的中点，延长4）至£, 延长AB交CE的延长线于P。假设AD = 2DE,求证：AP = 3ABoE4、（济南市中考题；安徽省中考题）如图，AA3C中，别是A3, AC的中点，那么假设。2、石2分别是。出、耳。的中点，那么&生4 212 （ 3假设口、区分别是28、生。的中点，那么。3月3= + 214假设耳,分别是以自纥的中点，那么&纥=4、（济南市中考题；安徽省中考题）如图，AA3C中，别是A3, AC的中点，那么假设。2、石2分别是。出、耳。的中点，那么&生4 212 （ 3假设口、区分别是28、生。的中点，那么。3月3= + 214假设耳,分别是以自纥的中点，那么&纥=类型三：利用平行线转化比例例5、如图，在四边形ABCQ中，AC与&）相交于点O,直线/平行于8D,且与AB、DC、BC、4）及AC的延长线分别相交于点V、N、R、S和P.求证：PM - PN = PR- PS变式训练：1、，如图，四边形ABCZ）,两组对边延长后交于£、F ,对角线友）£厂, AC的延长线交所于G.求证：EG = GF.2、：。为AA5C的中位线上任意一点，BP、CP的延长线分别交对边AC、43于。、E,求证：丝+艾=1DC EB2、在AABC中，底边上的两点石、尸把三等分，是AC上的中 线，AE. AF分别交于G、”两点，求证：BG:GH:HM=5:3:23、如图，M、N为AABC边3C上的两点，且满足3M = MV = NC, 一条 平行于AC的直线分别交AB、AM和4V的延长线于点。、石和尸.求证：EF = 3DE .4、：如图，在梯形ABCD中，AB/CD, M是AB的中点，分别连 接AC、BD、MD、MC,且AC与MD交于点E, DB与MC交于F.(1)求证：EF/CD(2)假设= CD = b,求砂的长.6、(山东省初中数学竞赛题)如图，在梯形ABCD中，AD/BC, AQ = 3, BC = 9, AB = 6, CD = 4,假设 EF/BC,且梯形AEED与梯形ESCb的周长相等，求所的长。4/7、（山东省竞赛题）如图，口438的对角线相交于点O,在AB的延长线上任取一点E,连接OE交5C 于点/，假设A3 = q, AD = c9求B尸的值。8、等腰直角AAHC中，£、。分别为直角边BC、AC上的点，且 CE=CD,过石、。分别作AE的垂线，交斜边AB于3 K.求证：BL = LK .家庭作业1、如。石AB, O=OC OE,求证：AD/BC.家庭作业1、如。石AB, O=OC OE,求证：AD/BC.2、在AA3C中，BD = CE , QE的延长线交3C的延长线于P,求证：AD BP = AE CP.求证：AD BP = AE CP.3、如图，在AABC的边上取一点。，在AC取一点E,使AD = AE, 直线上和的延长线相交于P,求证：些=些CP CE
