2023年考研数学三真题及答案.docx
2023年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目规定的。）(1) 曲线y=x2+xx2-1渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C。【解析】由limx+y=limx+x2+xx2-1=1=limx-y=limx-x2+xx2-1,得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由limx1y=limx1x2+xx2-1=得x=1是曲线的一条垂直渐近线；由limx-1y=limx-1x2+xx2-1=12得x=-1不是曲线的渐近线；综上所述，本题对的答案是C【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2) 设函数fx=(ex-1)(e2x-2)(enx-n),其中n为正整数，则f'0=(A)-1n-1n-1! (B) -1nn-1!(C)-1n-1n! (D) -1nn!【答案】A【解析】【方法1】令gx=(e2x-2)(enx-n),则fx=(ex-1)gxf'(x)=exgx+(ex-1)g'x f'0=g0=-1-2(-(n-1) =-1n-1n-1! 故应选A. 【方法2】 由于f0=0,由导数定义知 f'0=limx0f(x)x=limx0(ex-1)(e2x-2)(enx-n)x =limx0(ex-1)xlimx0(e2x-2)(enx-n) =-1-2-n-1=-1n-1n-1!. 【方法3】 排除法，令n=2,则 fx=(ex-1)(e2x-2)f'x=exe2x-2+2e2x(ex-1) f'0=1-2=-1 则(B)(C)(D)均不对的 综上所述，本题对的答案是(A) 【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(3) 设函数f(t)连续，则二次积分02d2cos2f(r2)rdr=(A)02dx2x-x24-x2x2+y2f(x2+y2)dy(B) 02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy(C) 02dy1+1-y24-y2x2+y2f(x2+y2)dx(D) 02dy1+1-y24-y2f(x2+y2)dx【答案】B。【解析】令x=rcos ,y=rsin ,则r=2所相应的直角坐标方程为x2+y2=4,r=2cos 所相应的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1。由02d2cos2f(r2)rdr的积分区域2cos<r<2,0<<2得在直角坐标下的表达为2x-x2<y<4-x2, 0<x<2所以02d2cos2f(r2)rdr=02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy综上所述，本题对的答案是(B)。【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算(4) 已知级数n=1(-1)nnsin1n绝对收敛，级数n=1(-1)nn2-条件收敛，则(A)0<12 (B) 12<1(C)1<32 (D) 32<<2【答案】D。【解析】由级数n=1(-1)nnsin1n绝对收敛，且当n时(-1)nnsin1n1n-12，故-12>1,即>32由级数n=1(-1)nn2-条件收敛，知<2综上所述，本题对的答案是(D)【考点】高等数学无穷级数数项级数敛散性的鉴定(5) 设1=00c1,2=01c2,3=1-1c3,4=-11c4,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为(A) 1,2,3 (B) 1,2,4(C) 1,3,4 (D) 2,3,4【答案】C。【解析】n个n维向量相关1,2,n=0显然 1,3,4=01-10-11c1c3c4=0所以1,3,4必线性相关综上所述，本题对的答案是(C)。【考点】线性代数向量向量组的线性相关和线性无关(6) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=.若P=1,2,3,Q=(1+2,2,3),则Q-1AQ=(A) (B)(C) (D)【答案】B。【解析】由于P经列变换(把第2列加至第1列)为Q，有Q=P=PE21(1)那么Q-1AQ=PE21(1)-1APE21(1)=E21(1)-1P-1APE21(1) =0001=综上所述，本题对的答案是(B)。【考点】线性代数矩阵矩阵运算、初等变换(7) 设随机变量X,Y互相独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则PX+Y21=(A) 14 (B) 12(C) 8 (D) 4【答案】D。【解析】PX2+Y21=x2+y21 f(x,y)dxdy而fx,y=fXxfYy=1,0<x<1,0<y<1,0, 其他即fx,y是在正方形0<x<1,0<y<1上等于常数1，其余地方均为0，x2+y21 f(x,y)dxdy事实上就是单位圆x2+y21在第一象限的面积。综上所述，本题对的答案是D。【考点】概率论与数理记录多维随机变量的分布二维随机变量分布(8) 设X1,X2,X3,X4为来自总体N1,2(>0)的简朴随机样本，则记录量X1-X2X3+X4-2的分布为(A)N0,1 (B)t(1)(C)2(1) (D)F(1,1)【答案】B。【解析】1， X1-X2N0,22，故X1-X22N0,1；2， X3+X4-2N0,22，故X3+X4-22N0,1，(X3+X4-22)22(1), (X3+X4-22)2/1=X3+X4-223， X1-X2与X3+X4-2互相独立。X1-X22与(X3+X4-22)2也互相独立， 所以X1-X22X3+X4-22=X1-X2X3+X4-2t(1)综上所述，本题对的答案是B。【考点】概率论与数理记录数理记录的概念二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）(9) limx4(tanx)1cosx-sinx= 。【答案】e-2。【解析】这是一个1型极限，由于(tanx)1cosx-sinx=1+(tanx-1)1cosx-sinxlimx4tanx-1cosx-sinx=limx4tanx-1cosx(1-tanx)=limx4-1cosx=-2所以limx4(tanx)1cosx-sinx=e-2【考点】高等数学函数、极限、连续两个重要极限(10) 设函数fx=lnx, &x12x-1, &x<1,y=ffx,则dydxx=e= 。【答案】1e【解析】y=ffx可看做y=fu,与u= fx的复合，当x=e时u= fe=lne=12lne=12由复合函数求导法则知dydxx=e=f'12f'e=212xx=e=1e【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(11) 设连续函数z=f(x,y)满足limx0y1fx,y-2x+y-2x2+(y-1)2=0,则dz(0,1)= 。 【答案】2dx-dy 【解析】 由limx0y1fx,y-2x+y-2x2+(y-1)2=0，且z=f(x,y)连续，可得f0,1=1,且 fx,y-f0,1=2x-y-1+o(x2+(y-1)2), (x0y1) 由可微的定义得 f'x0,1=2,f'y0,1=-1,即 dz(0,1)=f'x0,1dx+f'y0,1dy=2dx-dy 【考点】高等数学多元函数的微分学多元函数偏导数的概念与计算(12) 由曲线y=4x和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形的面积为 。【答案】4ln2【解析】y y=4x y=x y=4xO 1 2 x曲线y=4x和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面域如下图，则所围面积为S=014x-xdx+12(4x-x)dx=4ln2【考点】高等数学一元函数积分学定积分的应用(13) 设A为3阶矩阵，A=3，A*为A的随着矩阵。若互换A的第1行与第2行得到矩阵B，则BA*= 。【答案】-27【解析】【方法1】两行互换两列互换A变成B，所以A=-B,再由行列式乘法公式及A*=An-1，则BA*=B|A*=-AA2=-27 【方法2】根据题意 A=B，即B=E12A 那么BA*=E12AA*=AE12=3E12 从而BA*=3E12=33E12=-27 【考点】线性代数行列式行列式的概念和基本性质 线性代数矩阵随着矩阵，矩阵的初等变换(14) 设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，PAB=12,PC=13,则PABC= 。【答案】34【解析】A,C互不相容，自然有CA,当然更有CAB，所以PABC=P(ABC)P(C)=P(AB)1-P(C)=1223=34【考点】概率论与数理记录随机事件和概率事件的关系与运算，概率的基本公式，事件的独立性三、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算环节。(15) 求极限limx0ex2-e2-2cosxx4【解析】【方法1】limx0ex2-e2-2cosxx4=limx0e2-2cosxlimx0ex2-2+2cosx-1x4 =limx0x2-2+2cosxx4 (等价无穷小代换) =limx02x-2sinx4x3 (洛必达法则) =12limx01-cosx3x2=16limx012x2x2=112【方法2】limx0ex2-e2-2cosxx4=limx0e2-2cosxlimx0ex2-2+2cosx-1x4 =limx0x2-2+2cosxx4 (等价无穷小代换) =limx0x2-2+2(1-x22!+x44!+o(x4)x4 (泰勒公式) =limx0112x4+o(x4)x4=112【方法3】limx0ex2-e2-2cosxx4=limx0e(x2-2+2cosx)x4 (拉格朗日中值定理) =limx0x2-2+2cosxx4 =limx02x-2sinx4x3 (洛必达法则) =12limx016x3x3 (x-sinx16x3) =112 【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算 高等数学一元函数微分学微分中值定理，洛必达(L'Hospital)法则(16) 计算二重积分D exxydxdy,其中D是以曲线y=x,y=1x及y轴为边界的无界区域。【解析】D exxydxdy=01dxx1xexxydy=1201ex(1-x2)dx =12ex(1-x2)01+01xexdx =-12+xex01-01exdx =12 【考点】高等数学一元函数积分学不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算(17) 某公司为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元）。设该公司生产甲、乙两种产品的产量分别是x(件)和y（件），且这两种产品的边际成本分别为20+x2(万元/件)与6+y(万元/件).(I) 求生产甲、乙两种产品的总成本函数C(x,y)(万元)；(II) 当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；(III) 求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释经济意义。【解析】(I) 总成本函数 Cx,y=10000+20x+x24+6y+y22 （万元）(II) 由题意知，求Cx,y在x+y=50时的最小值，构造拉格朗日函数Fx,y,=Cx,y+x+y-50=10000+20x+x24+6y+y22+x+y-50解方程组F'x=20+x2+=0,F'y=6+y+=0,x+y-50=0. 得x=24,y=26.因也许极值点唯一，且实际问题存在最小值，故总产量为50件时，甲乙两种产品的产量分别是24,26时可使总成本最小，且此时投入总费用Cminx,y=10000+20×24+2424+6×26+2622=11118(万元)(III) 甲产品的边际成本函数：C'x,y=20+x2,于是，当总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本C'x,y=20+242=32其经济意义为：当甲乙两种产品的产量分别是24,26时，若甲的产量每增长一件，则总成本增长32万元。(18) 证明：xln1+x1-x+cosx1+x22,(-1<x<1)【解析】【方法1】记fx= xln1+x1-x+cosx-1-x22,则f'x=ln1+x1-x+2x1-x2-sinx-x,f''(x)=41-x2+4x21-x22-1-cosx当-1<x<1时，由于41-x24,1+cosx2,所以f''(x)2>0,从而f'(x)单调增长。又由于f'0=0，所以，当-1<x<0时，f'x<0; 当0<x<1时，f'x>0，于是f0=0是函数fx在(-1,1)内的最小值。从而当-1<x<1时，fxf0=0即xln1+x1-x+cosx1+x22,(-1<x<1)【方法2】记fx= xln1+x1-x+cosx-1-x22, (-1<x<1)显然，fx是偶函数，因此只要证明fx0 x0,1)由于f'x=ln1+x1-x+2x1-x2-sinx-x, x0,1)ln1+x1-x>0 2x1-x2>2x=x+x>x+sinx从而有f'x>0，x(-1,1)有f0=0则当-1<x<1时，fxf0=0即xln1+x1-x+cosx1+x22,(-1<x<1)【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数的极值(19) 已知函数fx满足方程f''x+f'x-2fx=0及f''x+fx=2ex (I) 求fx的表达式；(II) 求曲线y=f(x2)0xf(-t2)dt的拐点。【解析】(I) 联立f''x+f'x-2fx=0,f''x+fx=2ex,得f'x-3fx=-2ex,因此fx=e3dx-2exe-3dx+C=ex+Ce3x 代入f''x+fx=2ex，得C=0,所以fx=ex(II) y=fx20xf-t2dt=ex20xe-t2dty'=2xex20xe-t2dt+1y''=2x+2(1+2x2)ex20xe-t2dt当x<0时，y''<0; 当x>0时，y''>0,又y0=0,所以曲线的拐点为(0,0)【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(20) 设A=1a0001a0001aa001,=1-100.(I) 计算行列式|A|；(II) 当实数a为什么值时，方程组Ax= 有无穷多解，并求其通解。【解析】(I) 按第一列展开A=11a001a001+a-14+1a001a001a=1-a4,(II) 当A=0时，方程组Ax= 有无穷多解，由上可知a=1或-1假如a=110011-1000-1011-10-100111-10-200001-10-2rA=3,rA=4,方程组无解，舍去当a=-1时，1-10001-10001-1-10011-1001-10001-10001-10-1011-1011-10001-10001-100-111-1001-10001-1-100rA=3=rA，方程组有无穷多解，取x4为自由变量，得方程组通解为(0,-1,0,0)T+k(1,1,1,1)T, k为任意常数【考点】线性代数线性方程组线性方程组有解和无解的鉴定，非齐次线性方程组的通解(21) 已知A=101011-10a0a-1,二次型fx1,x2,x3=xT(ATA)x的秩为2(I) 求实数a的值；(II) 求正交变换x=Qy将f化为标准形。【解析】(I) 由于rATA=r(A),对A做初等行变换A=101011-10a0a-110101100a+10a0, 所以，当a=-1时，rA=2(II) 由于a=-1，所以ATA=，矩阵ATA的特性多项式为E-ATA=-20-20-2-2-2-2-4=(-2)(-6)，于是ATA的特性值为1=2，2=6，3=0当1=2时，由方程组2E-ATAx=0,可得到属于1=2的一个单位特性向量12(1,-1,0)T；当2=6时，由方程组6E-ATAx=0,可得到属于2=6的一个单位特性向量16(1,1,2)T；当3=0时，由方程组0E-ATAx=0,可得到属于3=0的一个单位特性向量13(1,1,-1)T。令Q=126-13,则f在正交变换x=Qy下的标准形为y=2y12+6y23【考点】线性代数矩阵矩阵的特性值和特性向量的概念、性质线性代数二次型二次型的标准形和规范形，用正交变换和配方法化二次型为标准形(22) 设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为X Y0120140141013021120112(I) 求PX=2Y；(II) 求Cov(X-Y,Y).【解析】(I) PX=2Y=PX=0,Y=0+PX=2,Y=1=14+0=14(II) 由(X,Y)的概率分布可得PX=0=14+14=12 ； PX=1=0+13+0=13；PX=2=112+112=16；PY=0=14+112=13 ； PY=1=0+13+0=13；PY=2=14+112=13；PXY=0=712；PXY=1=13；PXY=4=112所以EX=012+113+216=23EY=130+1+2=1DY=13(0-1)2+13(1-1)2+13(2-1)2=23EXY=13+13=23所以CovX-Y,Y= EXY-EXEY-DY=23-23-23=-23【考点】概率论与数理记录随机变量的数字特性随机变量的数学盼望(均值)、方差、标准差及其性质(23) 设随机变量X,Y互相独立，且都服从参数为1的指数分布，记U=maxX,Y,V=minX,Y.(I) 求V的概率密度fV(v)；(II) 求E(U+V).【解析】(I)FVv=PVv=PminX,Yv=1-PminX,Yv =1-PXv,Yv=1-PXvPYv =1-e-ve-v=1-e-2v,v>0当v0时，FVv=0，fVv=2e-2v，v>00，v0(II)EU+V=EX+Y=EX+EY=1+1=2【考点】概率论与数理记录随机变量及其分布常见随机变量的分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量函数的分布概率论与数理记录随机变量的数字特性随机变量的数学盼望(均值)、方差、标准差及其性质
