胡元明_开放式基金投资最优决策122168.docx

开放式基金投资最优决策一、问 题某开放式基基金现有有总额为为15亿亿元的资资金可用用于投资资，目前前共有88个项目目可供管管理人选选择，每每个项目目可重复复投资。根根据专家家经验，对对每个项项目投资资总额不不能太高高，应有有上限。这这些项目目所需要要的投资资额已知知，一般般情况下下投资一一年后各各项目所所得利润润也可估估算出来来，如表表1所示示。表1 单位位：万元元项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8投资额67006600485055005800420046004500年利润11391056727.551265116071418401575上 限340000270000300000220000300000230000250000230000请帮该公司司解决以以下问题题：（1）就表表1提供供的数据据，应该该投资哪哪些项目目，使得得第一年年所得利利润最高高？（2）在具具体投资资这些项项目时，实实际还会会出现项项目之间间互相影影响的情情况。公公司咨询询有关专专家后，得得到以下下可靠信信息：同同时投资资项目AA1，A3，它们们的年利利润分别别是10005万万元，110188.5万万元；同同时投资资项目AA4，A5，它们们的年利利润分别别是10045万万元，112766万元；同时投投资项目目A2，A6，A7，A8，它们们的年利利润分别别是13353万万元，8840万万元，116100万元，113500万元，该该基金应应如何投投资？（3）如果果考虑投投资风险险，则应应如何投投资，使使收益尽尽可能大大，而风风险尽可可能小。投投资项目目总体风风险可用用投资项项目中最最大的一一个风险险来衡量量。专家家预测出出各项目目的风险险率，如如表2所所示。表2项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8风险率(%)3215.52331356.54235（4）开放放式基金金一般要要保留适适当的现现金，降降低客户户无法兑兑现的风风险。在在这种情情况下，将将专家的的信息都都考虑进进来，基基金该如如何决策策，使得得尽可能能降低风风险，而而一年后后所得利利润尽可可能多？（5）这个个项目投投资，是是必须资资金全部部到位才才有利润润，还是是只要第第一期资资金到位位启动后后就可以以随便投投资，然然后利润润率按第第一期利利润和投投资之比比来计算算？二、模型的的建立及及求解1模型11（线性性整数规规划）（1）假设设1）不考虑虑其他因因素，单单纯追求求利润最最大；2）预计利利润能正正确反映映各项投投资的利利润；3）若对某某项目投投资，则则该项目目的总投投资额必必须是该该项目投投资额的的整数倍倍；4）投资过过程中交交易费为为0；5）该基金金中无“庄家”或“金融大大鳄”之类恶恶意操纵纵。（2）建模模设xi为对对项目AAi的投资资股数，H表示基金总额，mi表示项目Ai的投资上限，bi表示项目Ai每股的预计年利润，ci表示项目Ai每股的投资额，则一年后总投资利润，基金总额约束：，各项目投资额上限约束：（i=1，2，8），从而建立如下模型。s.t. （3）求解解应用Linndo软软件包，以以题中所所给数据据为例，编编程求得得结果，如如表3所所示。表3项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8投资股数（股股）51145255投资额335000660048502200002900008400230000225000总投资1498550年利润56951056727.5550605800142892007875利润率（%）1716152320174035总利润368411.5从表3可以以看出，基基本上利利润率较较高的投投资项目目对应较较强的投投资势头头，但有有的投资资项目虽虽然利润润率较高高，却未未得到相相应的投投资势头头，这说说明利润润率并不不是影响响投资的的唯一因因素，还还有另外外的因素素尚未考考虑到，需需要继续续深入讨讨论。2模型22（非线线性整数数规划）考虑到专家家的信息息，投资资项目之之间相互互影响，修修正模型型1。（1）假设设1）专家的的信息有有较高的的可信度度，单纯纯追求利利润最大大。2）满足模模型1的的假设22）55）。（2）建模模由于不知道道是否各各相互影影响的项项目同时时投资时时，利润润较大，引引入01变量量，。设表示受同同时投资资影响时时项目AAi每股的的预计年年利润，可可建立如如下模型型。 s.t. 其中中的330表示示A1，A3各最多多投资55股，66股；中中的200表示AA4，A5各最多多投资44股，55股；中的5000表示AA2，A6，A7，A8各最多多投资44股，55股，55股，55股。当当A1，A3同时投投资时，x1x3>0，y=1；当A1，A3不同时投资时，x1x3=0，y=0，故得A1，A3是否相互影响的约束可表示为：。同理可得其他两个是否相互影响的约束。（3）求解解应用Linngo软软件包，以以题中所所给数据据为例，编编程求得得结果，如如表4所所示。表4项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8投资股数10645455投资额67000291000220000290000168000230000225000总投资额1491000年利润10050611141806380285692007875利润率（%）1516211922174035总利润376077从表4可以以看出，随随着利润润率的提提高，投投资势头头也相应应增强，利利润率下下降，投投资势头头也相应应减弱，这这又一次次反映了了利润率率对投资资势头的的强大影影响。3模型33（多目目标规划划&非线线性整数数规划）考虑到专家家提供的的风险损损失率方方面的约约束，进进一步修修正模型型2。（1）假设设1）考虑专专家预测测出的各各项目风风险率，总总体风险险用投资资项目中中最大的的一个风风险来度度量，追追求利润润尽可能能大、风风险尽可可能小；2）满足模模型2的的假设22）。（2）建模模设qi表示示项目AAi的风险险率，则则总体风风险，投投资总利利润R同模型型2，从从而可建建立如下下模型。maax RRmiin QQs.t. 同模型型2利用法构构造评价价函数，其其中权系系数，R*，Q*分别为为R，Q的最优优值，RR(0)，Q(0)分别为为Q，RR取最优优值时RR，Q的取值值，可以以把上述述双目标标规划化化为如下下单目标标规划。s.t. 同模型型2不过确定权权系数的的常用方方法是根根据专家家意见和和经验给给出。（3）求解解引入变量ss=Q，目标标函数化化为，在在满足上上述约束束条件的的基础上上，还要要对s加以约约束：，i=1，22，8。应应用Liingoo软件包包，以题题中所给给的数据据为例，编编程求得得结果，如如表5所所示，即即在考虑虑利润和和风险的的基础上上，均衡衡两者的的权，得得出的最最佳折中中方案。表5项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8投资股数54040055投资额335000264000022000000230000225000总投资额1274000利润率(%)1716152320174035风险率(%)3215.52331356.54235年利润59654224050600092007875总利润320544总体风险107200(A1的风险险)从表5可以以看出，利利润率和和风险率率对投资资的影响响都很大大，对利利润率和和风险率率都大的的项目应应谨慎投投资，对对风险大大，利润润过小的的项目应应少投资资，甚至至不投资资。但对对风险较较大而利利润较小小的项目目A1投资最最多，说说明权系系数的选选择不适适当。4模型44（多目目标规划划&非线线性整数数规划）模型3中未未考虑保保留适当当的现金金，从开开放式基基金具有有由投资资者随时时赎回的的特性来来理解，相相比交易易所挂牌牌上市的的证券，开开放式基基金以其其单位基基金净值值作为赎赎回标准准，可以以在有效效规避二二级市场场的股价价波动风风险的同同时保证证其流动动性。对对于突发发性的赎赎回请示示，基金金管理人人往往会会通过保保留一定定的资金金来应付付。基于于此，我我们在模模型3的的基础上上追加考考虑保留留适当的的现金，用用以降低低客户无无法兑付付的风险险，进一一步修正正模型33。（1）假设设1）考虑保保留部分分资金，追追求利润润最大、风风险最小小；2）不考虑虑原始投投资人11%的认认购费率率、0.5%的的赎回费费率；3）考虑保保留资金金的存储储利润；4）满足模模型3中中的假设设。（2）建模模模型3中未未考虑投投资者的的风险偏偏好，而而这个因因素直接接涉及投投资方向向和势头头，对模模型结果果的影响响很大。在实际中，对对于不同同风险偏偏好的投投资者，其其最佳投投资方案案有所不不同。为为了反映映实际情情况，我我们把投投资者偏偏好合并并分类，各各自对应应的权值值为：高高度冒险险：WR=0.8，WWQ=0.2；比比较冒险险：WR=0.6，WWQ=0.4；中中性冒险险：WR=0.5，WWQ=0.5；比比较保守守：WR=0.4，WWQ=0.6；高高度保守守：WR=0.2，WWQ=0.8。WWR，WQ在满足足WR+WQ=1的的条件下下，具体体取值可可适当调调整，这这并不影影响算法法的实现现。1）风险偏偏好与效效用函数数。投资资的目的的是为了了将来更更大的消消费，即即财富的的增加。不不同的财财富水平平投资者者获得的的效用是是不同的的，同样样的财富富增加量量对不同同的投资资者，其其带来的的效用增增加也有有所不同同。财富富x与效用用U之间的的数量关关系通常常称为财财富的效效用函数数，记为为U(x)。U(x)一般般是增函函数，即即，但对对于不同同的投资资者其增增长的形形态不同同。以下下是三种种典型效效用函数数形态。风险回避型型 这这种人对对财富的的增加不不很敏感感，或财财富增加加的边际际效用是是递减的的，通常常不愿意意为增加加财富而而冒大风风险，如如图1所所示。风险中性型型 这这种人对对财富增增加的态态度始终终是相同同的，边边际效用用是一常常数，如如图2所所示。风险偏爱型型 这这种人对对财富具具有强烈烈的渴望望，越富富越想富富，财富富增加的的边际效效用是递递增的，因因而愿意意为增加加财富而而承担较较大的风风险，如如图3所所示。 图1图2 图图3以上三种基基本形态态均可用用下列二二次效用用函数表表示：虽然实际的的效用函函数有可可能不是是二次的的，但二二次效用用函数具具有更好好的概率率特性。2）投资心心理曲线线。一般般来说，人人们的心心理变化化是一个个模糊的的概念，在在此，对对一个投投资方案案的看法法（即对对投资者者的吸引引力）的的变化就就是一个个典型的的模糊概概念。通通过查找找心理学学的相关关资料，我我们定义义投资者者的心理理曲线为为 ，其中中表示投投资者平平均收入入的相关关因子，称称为实力力因子，一一般为常常数。实实力因子子是反映映不同投投资者的的平均收收入和消消费水平平的标准准。确定定一个投投资方案案应该尽尽力考虑虑所有不不同投资资者的实实力因子子，而在在我国不不同地区区的收入入和消费费水平是是不同的的，因此此不同地地区的实实力因子子也不尽尽相同，要要统一来来评估这这些方案案的合理理性，就就应该对对同一实实力因子子进行研研究。为为此我们们以中等等地区的的收入水水平为例例，根据据相关网网站的统统计数据据，不妨妨取人均均年收入入为1.5万元元，按我我国的现现行制度度，平均均工作年年限为335年，则则人均收收入为552.55万元。取取=0.5（即即吸引力力的中位位数），则则6.3305889。3）保留现现金比例例。设保保留现金金比例为为g，不同同投资者者所占人人群比例例为，又又得知他他们的风风险偏好好不同，主主观风险险权系数数为WQi，i=1，22，3，44，5，则则根据投资心心理曲线线，参照照风险偏偏好和效效用函数数，并根根据网上上调查，得得知投资资者基本本上划分分为5种种类型，通通过代入入模型计计算，得得到相关关信息如如表6所所示。表6风险偏好高度冒险比较冒险中度冒险比较保守高度保守所占人群比比例(%)8.524.53326.57.5风险权系数数归一化化0.080.160.200.240.32保留现金比比例(%)19.966保留的资金金存入银银行比闲闲置更有有利，这这笔资金金是用来来应对突突发性的的赎回请请求的，随随时都可可能用到到它，因因此采用用活期存存款的方方式，存存款年利利润按00.722%计。将将此代入入模型33，并把把基金总总额约束束修正为为：，得得模型44。（3）求解解应用Linngo软软件包，以以题中所所给数据据为例，编编程求得得结果，如如表7所所示。表7项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8投资股数50040455投资额335000002200000168000230000225000总投资额1178000年利润56950050600285692007875保留资金299400存款利润215.5568总利润309011.5668总体风险107200以上是在假假设这一一年中未未发生突突发性的的赎回请请求，保保留资金金未被动动用的情情况下的的总利润润。考虑虑到最不不好的情情况，即即保留资资金还未未存入银银行就被被动用，无无存款利利润可言言。综上上所述，我我们认为为用于保保留的资资金为2299440万元元比较合合适，总总利润应应该在（3306886，3309001.5568）范范围内。5模型55（非线线性整数数规划）（1）假设设1）不考虑虑风险因因素，单单纯追求求利润最最大；2）投资额额是连续续的；3）第一期期资金到到位启动动后就可可以随便便投资，然然后利润润率按第第一期利利润和投投资之比比来计算算。（2）建模模设xi为对对项目AAi的投资资金额，i=1，2，8。考虑到假设2）、3），项目之间有无影响时的利润率分别为，。引入01变量，i=1，2，8，则Ai的投资金额的上下限约束为：，可建立如下模型。 s.t. 其中中的1102××107表示A1，A3各最多多投资3340000万元元，3000000万元。当当A1，A3同时投投资时，；当A1，A3不同时投资时，。同理可得其他两个是否相互影响的约束。（3）求解解应用Linngo软软件包，以以题中所所给数据据为例，编编程求得得结果，如如表8所所示。表8项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8投资金额27000003000002200000230000250000230000总投资额1500000年利润4050063005060039101000008050总利润373700从表8可以以看出，这这种投资资方案将将资金全全部抛出出，未留留“适当”现金，不不符合开开放式基基金的特特点，欠欠妥。比比较模型型5和模模型2的的结果，可可知模型型5的方方案中总总投资额额、总利利润与利利润率分分别为11500000万万元、3373770万元元、244.9%，而模模型2的的方案中中总投资资额、总总利润与与利润率率分别为为14991000万元、3376007万元元、255.2%，显然然模型22的投资资方案比比模型55的更好好。这说说明在投投资时，只只有投资资以单位位投资额额的整数数倍投入入，利润润才会以以相应倍倍数增大大。如果果投资不不是以单单位投资资额的整整数倍投投入，利利润的增增长则明明显滞后后，利润润率明显显偏低，是是不合算算的方案案。同时时模型22的方案案中留下下了一部部分资金金备用，符符合开放放式基金金客户投投资、撤撤资自由由的特点点，而模模型5的的方案中中未留下下任何备备用资金金，一旦旦客户要要求撤资资，开放放式基金金就有失失信的风风险，不不利于其其长久发发展。三、灵敏度度分析决策变量xxi相应的的影子价价格称为为缩减成成本RCCi，i=1，22，8，RRCi的值表表示当xxi增加一一个单位位（其他他变量保保持不变变）时，目目标函数数增加的的量，如如表9所所示。表9股 份x1x2x3x4x5x6x7x8模型1RCi11391056727.551265116071418401575模型2RCi100510561018.50127671418401575模型3RCi1930224.44400246.5540391.11334.77模型4RCi1930000246.554151.77391.11334.77从表9可以以发现，x1的变化对各目标函数最优值的影响最大，x7次之。四、模型的的进一步步分析实际上，投投资的收收益和风风险都是是随机的的，考虑虑如下问问题。某投资公司司经理欲欲将500万元基基金用于于股票投投资，股股票的收收益是随随机的。经经过慎重重考虑，他他从所有有上市交交易的股股票中选选择了33种股票票作为候候选的投投资对象象，从统统计数据据的分析析得到：股票AA每股的的年期望望收益为为5元，标标准差（均均方差）为为2元；股票BB每股的的年期望望收益为为8元，标标准差为为6元；股票CC每股的的年期望望收益为为10元元，标准准差也为为10元元；股票票A，B收益的的相关系系数为55/244，股票票A，C收益的的相关系系数为-0.55，股票票B，C收益的的相关系系数为-0.225。目目前股票票A，B，C的市价价分别为为20元元，255元，330元。（1）如果果该投资资人期望望今年得得到至少少20%的投资资回报，应应如何投投资可使使风险最最小（这这里用收收益的方方差或标标准差衡衡量风险险）？（2）投资资回报率率与风险险的关系系如何？1建模设x1，xx2，x3分别表表示投资资股票AA，B，C的数量量。国内内股票通通常以“一手”（1000股）为为最小单单位出售售，故此此处设股股票数量量以1000股为为单位。相相应地，期期望收益益和标准准差以百百元为单单位。记股票A，B，C每手的的收益分分别为ss1，s2，s3（百元元），根根据题意意，si（i=1，22，3）是是随机变变量，投投资的总总收益也也是随机机变量。用用E和D分别表表示随机机变量的的数学期期望和方方差（标标准差的的平方），r和cov表示两个随机变量的相关系数和协方差，则=5，=88，=110，=4，=36，=100，=5/24，=-0.5，=-0.25，。故投资的总总期望收收益为 ，投资资总收益益的方差差为 实际上投资资者可能能面临许许多约束束条件，如如是否需需要将资资金全部部用来购购买股票票，没有有购买股股票的资资金是否否可以存存入银行行或做其其他投资资。此处处假设不不一定需需要将资资金全部部用来购购买股票票，没有有购买股股票的资资金也闲闲置不用用，而只只考虑可可用于投投资的资资金总额额的限制制，即。问题（1）的的模型为为二次规规划： minn z2s.tt. 问题（2）的的模型为为：mins.tt. 其中为风险险偏好系系数，。当当=0时时，表明明投资者者是完全全的冒险险型，不不考虑风风险；当当充分大大时，表表明投资资者是保保守型的的，希望望规避风风险。取取不同的的求解，即即可大致致看出投投资回报报率与风风险的关关系。2求解利用Linngo软软件包，编编程求得得问题（11）的结结果：股股票A，B，C各购买买1322，155，222（手），投投资额为为36775（百百元），总总期望收收益为110000（百元元），风风险（方方差）为为681116，标标准差为为2611（百元元）。对问题（22），通通过试探探发现从从0.0000110.1以00.00001的的步长变变化可以以得到很很好的近近似结果果，图44给出了了对应的的总期望望收益与与风险（标标准差）之之间的关关系。图4 （单单位：百百元）由于每1元元投资于于股票CC的预期期收益最最大，因因此500万元可可能的最最大预期期收益为为16.66667万元元。从图图4可以以看出，当当预期收收益在00144万元左左右增加加时，风风险基本本上线性性增加；若预期期收益超超过144万元，则则风险迅迅速增加加。因此此可见，对对于那些些对收益益和风险险没有特特殊偏好好的投资资者来说说，转折折点处的的投资组组合方案案比较理理想，经经过对计计算结果果（数据据输出）的的检查可可得，这这个方案案大致是是股票AA，B，C各购买买1533，355，355（手）。五、模型的的评价1模型的的优点（1）采用用较为成成熟的数数学理论论建立模模型，可可信度比比较高。（2）模型型的计算算采用专专业数学学软件，可可信度较较高，便便于推广广。（3）模型型经多次次修正，综综合考虑虑到了风风险偏好好等方面面，给出出的最优优决策对对于有关关部门有有较大的的参考价价值。2模型的的缺点（1）模型型虽然综综合考虑虑了很多多因素，但但为了建建立模型型，理想想化了许许多影响响因素，具具有一定定的局限限性，得得到的最最优方案案可能与与实际有有一定的的出入。（2）模型型5只考考虑了利利润最大大，没有有考虑风风险最小小，模型型结果与与实际有有一定差差距。六、模型的的推广1模型建建立思想想还可以以进一步步解决彩彩票投注注、企业业投资、车车辆调度度、运输输费用等等方面的的规划问问题。2问题（33）的模模型还可可以考虑虑用“理想点点法”、“法”、“极大极极小法”等求解解多目标标规划问问题，然然后对各各种方法法得到的的投资方方案进行行比较，优优选出更更合理的的方案。3模型应应该进一一步考虑虑随便投投资（利利润按利利润率求求解）的的问题，求求解该情情况下的的最优解解，以及及考虑多多阶段投投资等问问题。19