信号与系统(刘树棠译)第三章.ppt

1第第3 3章章 周期信号的周期信号的傅里叶级数表示傅里叶级数表示Signals and SystemsA.V.OPPENHEIM,et al.Fourier Series Representation of Periodic Signals2本章内容：本章内容：.周期信号的频域分析周期信号的频域分析.LTI系统的频域分析系统的频域分析.傅立叶级数的性质傅立叶级数的性质33.0 引言引言 Introduction 时域分析方法的基础时域分析方法的基础 ：1)1)信号在时域的分解。信号在时域的分解。2)LTI系统满足线性、时不变性。系统满足线性、时不变性。从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：足两个要求：1.1.本身简单，且本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。系统对它的响应能简便得到。2.2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。43.1历史的回顾历史的回顾 （A Historical Perspective）任何科学理论任何科学理论,科学方法的建立都是经过许科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而来的多人不懈的努力而来的,其中有争论其中有争论,还有人为还有人为之献出了生命。之献出了生命。历史的经验告诉我们历史的经验告诉我们,要想在要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。517681768年生于法国年生于法国18071807年提出年提出“任何周任何周期信号都可以用正弦期信号都可以用正弦函数的级数来表示函数的级数来表示”拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表18221822年首次发表年首次发表“热热的分析理论的分析理论”18291829年狄里赫利第一年狄里赫利第一个给出收敛条件个给出收敛条件傅里叶生平傅里叶生平176818306傅里叶的两个最重要的贡献傅里叶的两个最重要的贡献“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和号的加权和”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点7复指数函数复指数函数 、是一切是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。、分别是分别是LTI系统与复指数信号相对应的特系统与复指数信号相对应的特征值。征值。结论：结论：v只有复指数函数才能成为一切只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。对时域的任何一个信号对时域的任何一个信号 或者或者 ,若能将其若能将其表示为下列形式：表示为下列形式：8利用系统的齐次性与叠加性利用系统的齐次性与叠加性所以有所以有即：即：同理同理同理同理：*问题：问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示？线性组合来表示？由于由于Page130：例：例3.19Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals一一.连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数 成谐波关系的复指数信号集成谐波关系的复指数信号集:其中每个信号都是以其中每个信号都是以 为周期的，它们的公为周期的，它们的公共周期为共周期为 ，且该集合中所有的信号都是彼，且该集合中所有的信号都是彼此独立的。此独立的。3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，有如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，有 10 显然显然 也是以也是以 为周期的。该级数就是为周期的。该级数就是傅里傅里叶级数叶级数，为傅立叶级数的系数。为傅立叶级数的系数。这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，即即:连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量谐波分量。例例例例1 1 1 1：11例例例例2 2 2 2：在该信号中，有四个谐波分量，即在该信号中，有四个谐波分量，即 显然该信号中，有两个谐波分量，显然该信号中，有两个谐波分量，为相应为相应分量的加权因子分量的加权因子。时对应的谐波分量。时对应的谐波分量。傅里叶级数表明：傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶级连续时间周期信号可以按傅立叶级数被分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。数被分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。12二二.频谱频谱（Spectral）的概念的概念 信号集信号集 中的每一个信号，除了成谐波关系中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间外，每个信号随时间 的变化规律都是一样的，的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。差别仅仅是频率不同。在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率。度，用线段的位置表示相应的频率。13分量分量 可表示可表示为为 因此，当把周期信号因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数表示为傅里叶级数 时时，就可以将就可以将 表示为表示为这样绘出的图这样绘出的图称为称为频谱图频谱图14 频谱图其实就是将频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，随频率的分布表示出来，即即 关系。由于关系。由于信号的频谱完全代表了信号信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为示信号的方法称为频域表示法频域表示法。三.傅里叶级数的其它形式傅里叶级数的其它形式 或或 若若 是实信号是实信号,则有则有，于是，于是15若令若令则则 为实数为实数即即：表明表明 的的模关于模关于 偶对称偶对称，幅角关于幅角关于 奇对称奇对称。16 傅里叶级数的三角函数表示式傅里叶级数的三角函数表示式 若令若令则则17因此因此即即 的的实部关于实部关于 偶对称偶对称，虚部关于虚部关于 奇对称奇对称。傅里叶级数的另一种三角函数形式傅里叶级数的另一种三角函数形式将此关系代入，可得到将此关系代入，可得到18四四.连续时间傅里叶级数的系数确定连续时间傅里叶级数的系数确定如果周期信号如果周期信号 可以表示为傅里叶级数可以表示为傅里叶级数则有则有对两边同时在一个周期内积分，有对两边同时在一个周期内积分，有综合公式综合公式19即即 在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。分析公式分析公式20五五.周期性矩形脉冲信号的频谱周期性矩形脉冲信号的频谱其中其中Page135Page135：例：例3.33.3、3.43.421 根据根据 可绘出可绘出 的频谱图。的频谱图。称为占空比称为占空比22不变不变 时时23不变不变 时时24周期性矩形脉冲信号的频谱特征：周期性矩形脉冲信号的频谱特征：1.1.离散性离散性 2.2.谐波性谐波性 3.3.收敛性收敛性 考查周期考查周期 和脉冲宽度和脉冲宽度 改变时频谱的变化：改变时频谱的变化：1.1.当当 不变，改变不变，改变 时，随时，随 使占空比减小，使占空比减小，谱谱线间隔变小，幅度下降线间隔变小，幅度下降。但。但频谱包络的形状不变频谱包络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。包络主瓣内包含的谐波分量数增加。2.2.当当 改变，改变，不变时，随不变时，随 使占空比减小，使占空比减小，谱谱线间隔不变，幅度下降线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变频谱的包络改变，包络，包络主瓣变宽主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。主瓣内包含的谐波数量也增加。25表明：表明：奇信号的奇信号的 是关于是关于 的奇函数、虚函数。的奇函数、虚函数。当当 时，有时，有表明：表明：偶信号的偶信号的 是关于是关于 的偶函数、实函数。的偶函数、实函数。当当 时，有时，有信号对称性与频谱的关系：信号对称性与频谱的关系：26若若 以以 为周期为周期3.4 连续时间傅里叶级数的收敛连续时间傅里叶级数的收敛 这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。叶级数。一一.傅里叶级数是对信号的最佳近似傅里叶级数是对信号的最佳近似用有限个谐波分量近似用有限个谐波分量近似 时，有时，有Convergence of the Fourier series27误差为误差为 以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为于是：于是：28 在均方误差最小的准则下，可以证明，此时在均方误差最小的准则下，可以证明，此时应满足：应满足：其中其中这就是傅氏级数的系数这就是傅氏级数的系数结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对是对周期信号的最佳近似。周期信号的最佳近似。29傅里叶级数收敛的两层含义傅里叶级数收敛的两层含义：是否存在是否存在?级数是否收敛于级数是否收敛于?二二.傅里叶级数的收敛傅里叶级数的收敛 两组条件：两组条件：1.平方可积条件：平方可积条件：如果如果 则则 必存在。必存在。能量有限能量有限 一定存在。一定存在。30 2.Dirichlet条件：条件：，在任何周期内信号绝对可积。，在任何周期内信号绝对可积。在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值。为有限值。在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。因此，信号绝对可积就保证了因此，信号绝对可积就保证了 的存在。的存在。若x0是函数f(x)的间断点，但左、右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。31这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的收敛的充分条件充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性有相当的普遍适用性。几个不满足几个不满足Dirichlet条件的信号条件的信号32三三.Gibbs现象现象 满足满足 Dirichlet 条件条件的信号，其傅里叶级数是如的信号，其傅里叶级数是如何收敛于何收敛于 的。特别当的。特别当 具有间断点时，在间具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于断点附近，如何收敛于?333435 用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近会不可避免的出现振荡和超量。超量在间断点附近会不可避免的出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少而使它所占有的能量减少。Gibbs现象表明：现象表明：36Properties of Continuous-Time Fourier Series3.5 连续时间傅里叶级数的性质连续时间傅里叶级数的性质学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进行级数展开。进行级数展开。一一.线性：线性：若若 和和 都是以都是以 为周期的信号，且为周期的信号，且则则37二二.时移时移:三三.反转反转:若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且则则若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且则则四四.尺度变换尺度变换:若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且则则 以以 为周期，于是为周期，于是38令令 ，当，当 在在 变化时，变化时，从从 变化，变化，于是有：于是有：五五.相乘相乘:若若 和和 都是以都是以 为周期的信号，且为周期的信号，且则则也即也即39六六.共轭对称性共轭对称性:若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且则则由此可推得，由此可推得，对实信号有对实信号有：或或时有：时有：40七七.Parseval 定理：定理：表明：表明：一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和分量的平均功率之和.*掌握表掌握表3.1时有：时有：对实信号，对实信号，当当 时，时，（实偶函数）（实偶函数）当当 时，时，（虚奇函数）（虚奇函数）41例例1：-T1T010-TT例例2：周期性矩形脉冲：周期性矩形脉冲将其微分后可利用例将其微分后可利用例1表示为表示为Page147：例：例3.6、3.7、3.8、3.94210设设由时域微分性质有由时域微分性质有由例由例1知知根据时移特性，有根据时移特性，有43称称 、为系统的为系统的系统函数系统函数。Fourier Series and LTI Systems LTI系统对复指数信号所起的作用只是给输入信号系统对复指数信号所起的作用只是给输入信号加权了一个相应的特征值。加权了一个相应的特征值。对连续时间系统对连续时间系统对离散时间系统对离散时间系统3.8 傅里叶级数与傅里叶级数与LTI系统系统44如果如果有有被称为连续时间被称为连续时间LTI系统的系统的频率响应频率响应如果如果则则称为离散时间称为离散时间LTI系统的系统的频率响应频率响应对对 而言，以而言，以 为周期为周期如果一个如果一个LTI系统系统输入周期性信号输入周期性信号 或或 45则则*可见，可见，LTI系统对周期信号的响应仍一个周期系统对周期信号的响应仍一个周期信号，信号，LTI系统的作用是对各个谐波频率的信号系统的作用是对各个谐波频率的信号分量进行不同的加权处理。分量进行不同的加权处理。Page163：例：例3.16463.9 滤波滤波 Filtering滤波的概念、低通、高通、带通滤波器，滤波的概念、低通、高通、带通滤波器，其余内容移至第其余内容移至第6章讲授。章讲授。3.10 用微分方程描述的连续时间滤波器举例用微分方程描述的连续时间滤波器举例本节移至第本节移至第6章讲授。章讲授。473.12 小结小结 Summary 本章主要讨论了：本章主要讨论了：v 复指数函数是一切复指数函数是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。v 建立了用傅里叶级数表示周期信号的方法，建立了用傅里叶级数表示周期信号的方法，实现了对周期信号的频域分解。实现了对周期信号的频域分解。v 以周期性矩形脉冲信号为典型例子，研究了以周期性矩形脉冲信号为典型例子，研究了连续时间周期信号的频谱特点及信号参量改变连续时间周期信号的频谱特点及信号参量改变对频谱的影响。对频谱的影响。48v在对信号分析的基础上，研究了在对信号分析的基础上，研究了LTI系统的频系统的频率响应及率响应及LTI系统对周期信号的响应。系统对周期信号的响应。