信息论基础与编码 (19).pdf
6.3 分层空时编码的几个经典检测算法6.3 分层空时编码的几个经典检测算法 本节给出的是几个经典的检测算法，分层空时码的检测解码算法基本上是对它们做一些适合特定编码方案的修正。另一方面，这几个经典算法具有普遍适用性，几乎所有涉及信号检测与估计的问题都与这几个经典算法有关。我们知道，空时分层码发送的数据矩阵为()TN S，接收端阵列天线有RN个阵元，所以接收信号矩阵为 rHSn (6.7)RN r；矩阵RTNNH为信道传输系数，通常我们都假设其相位服从单位圆上的均匀分布，幅度服从Rayleigh分布；RN n为加性噪声，假设其相位服从白高斯分布。检测的任务是通过(6.7)估计出S的值。若在(6.7)中假设无加性噪声干扰项，就得到一个关于未知变量S的线性方程。直观地，依据代数理论S要有唯一解当且仅当矩阵H是列满秩的，即矩阵H的秩应为TN，由于H是一个随机矩阵，rank()min,RTNNH，所以矩阵H列满秩的条件转化为RTNN。虽然从原理上说星座图约束也能对未知变量S的线性方程(6.6)提供若干独立方程，但约束RTNN不失为一个保证方程(6.7)的S有确定唯一解的较保守的条件。这样在加性噪声n存在时，我们才能较精确地估计出S。6.3.1 最大似然检测器 最大似然检测器 最大似然检测器是一个经典、普遍适用的检测算法，在前面各个章节我们已经反复应用，如第四章正交空时编码的单符号检测，第五章的维特比检测算法等。我们现在针对式(6.7)来讨论之。假设其中加性噪声2(0,)RNnnI；信道矩阵H是随机的，但在考虑的传输符号区间内是不变的；所以对矩阵S的估计等价于对S的各个列矢量分别的估计，在没有增加太多繁复的情况下，下面仍然采用了对矩阵S估计的表达式。由上面的假设应有r 2(,)RNnHSI，矩阵r的概率密度函数为 221()exp()RNpnnrHSr 显然有()maxlog()NTp Sr)2(minNT SrHS 所以估计得到的S为(2)argminNT SSrHS (6.8)最大似然估计的意义在于从扩展星座空间()TN 中搜索最大可能发送的信号矩阵S，这样对S的任何一列的估计其运算量都在()TNTN。这是一个非常大的运算量。其简化的快速算法是所谓的球形解码算法8。6.3.2迫零迫零(解相关解相关)检测器检测器15 迫零(Zero-ForcingZF)检测器也被称为解相关(Decorrelator)检测器。在矩阵H是列满秩的假设下，(6.7)的最小二乘解为 1HHH HH rHSr (6.9)1()HHHH HH表示矩阵H的(Moore-Penrose)广义逆12。1()HH H存在当且仅当矩阵H是列满秩的，即要求满足条件RTNN。值得注意的是(6.9)实际上是(6.8)的解。(6.8)的右边是一个最小二乘问题。即最大似然估计算法在有限样本时蜕化为最小二乘估计问题，迫零检测器是它的解。将(6.9)代入(6.7)，得 SSn (6.10)其中nH n是原加性噪声的线性变换，所以不会根本改变其分布特性，对加性高斯白噪声只会改变其分布方差。若(6.10)中矩阵S是我们前面建立的空时分层数据，到接收端层间肯定是相互干扰的，但在(6.10)中层间相互干扰是不存在的，或者说将层间相互干扰实现迫零。在(6.10)中的加性噪声项nH n，当矩阵H条件数较差时，这个变换放大了加性噪声的功率而降低了系统的信噪比，从而影响了迫零检测系统的性能。这是迫零检测器的缺陷。由(6.10)，我们可以得到迫零检测器估计误差方差为 21tr(tr)tr()HHHEEnSSn nH HSS 其中因子1)r(tHH H就是对加性噪声功率放大的效果。6.3.3 最小均方误差（3 最小均方误差（Minimum Mean Square Error）检测器）检测器 最小均方误差（Minimum Mean Square Error）检测算法也被称为维纳(Winner)滤波器，该检测算法有几个等价的叙述，有兴趣的读者可参阅文献15，这儿给出其一种，对于(6.7)确定的测量(观察)数据r，求矩阵X，使得空时分层数据的估计值为SXr，且估计误差的均方值最小，即 2minmintr()()HEXXSSSS 将SXr代入，并令2/0X，得 21()THHNnSH HIH r (6.11)其中TNI是TN维的单位矩阵，2n是(6.7)中加性噪声的功率，这样与式(6.11)相比较式(6.11)意味着接收端不但有信道的全部信息还已知环境噪声功率2n。若接收端已知环境噪声功率2n，将(6.7)变形为 rHSn (6.12)其中 TNnHHI；rr0；nnw (6.13)加性噪声项w只是与n相互独立，或只是对原加性噪声项在维数上作独立扩张使(6.12)等式两边在维数上一致。对(6.12)实施迫零算法或最小二乘估计算法，则得(6.11)。由于在(6.11)的矩阵求逆中包含了环境噪声功率2n因子，所以最小均方误差检测算法不会放大加性噪声的功率，因而系统没有信噪比损失。这也可以认为是最小均方误差检测算法对迫零算法的缺陷补偿，其代价是要有额外信息（环境噪声功率2n）的掌握。由最小均方误差检测算法与迫零检测算法的内在关系，我们可以得到最小均方误差检测算法估计误差方差为 221tr(t)trr(THHHNEEnnSSn nH HISS 其中因子21)rt(THNnH HI是最小均方误差检测算法对加性噪声功率放大的效果。由于其中的因子2TNnI使矩阵2()THNnH HI的条件数大为改善，从而对加性噪声的功率放大效应减弱。01234567891000.511.522.533.544.5信 噪 比 dB估计方差 ZFMMSE图图 6.8 迫零算法与最小均方误差检测的估计方差理论曲线迫零算法与最小均方误差检测的估计方差理论曲线 图 6.8 是一个44系统最小均方误差检测算法与迫零检测算法的估计方差曲线随系统信噪比变化的理论曲线，即在大样本情况下它们比较的结果。我们看到相对迫零检测算法而言最小均方误差检测算法有明显的改善。由于大样本的关系，显现在小信噪比是改善特别突出。通过这样的叙述，我们对最大似然算法最大似然算法、迫零估计算法迫零估计算法、最小均方误差估计算法最小均方误差估计算法的内在机理及外在关联就有一个较全面的认识。再观察一下(6.9)和(6.11)发送信号S的估计值都是一个已知矩阵乘以观察数据r，因此，(6.9)和(6.11)表示的检测算法为线性检测。对于线性检测算法，我们可以用一个通用标准表达式 SW r；或nnsw r，1,2,TnN 称W为线性估计算子矩阵。其中ns为S的第n层，nw为W的第n个行矢量。对于(6.9)和(6.11)，相应的线性检测算子分别为WH和WH。6.3.4 基于 基于QR分解的干扰逐个剔除接收机 分解的干扰逐个剔除接收机 基于QR分解的干扰逐个剔(消)除接收机(QRDecomposition Interference Successive Cancellation Receiver-SUC)其实质是对上面所讨论的几个检测算法的一种低复杂度实现。将前面各算法中涉及的系数矩阵求逆代之以矩阵QR分解，再通过迭代实现信号的检测或估计。在求QR分解时，首先根据行矢量的范数排序(从上至下以从小到大为序)。为了简化讨论过程，下面的论述中均没有涉及这个排序问题。我们先讨论基于QR分解的迫零估计算法迫零估计算法，它实际上是解相关算法的一个快速实现。我们注意到检测算法(6.8)是一个多维搜索问题，即是一个非线性检测器。而检测算法(6.9)和(6.11)均涉及到矩阵求逆计算的线性检测器，但当TN较大时，它们的计算量都比较大。为了降低算法的运算量，人们提出了一些能快速实现的算法。我们介绍的QR分解干扰逐个剔除算法就是其中的一个。采用迭代的方法逐个、或序贯地消除掉层间的干扰是一个具有普适性思想的方法。对于(6.7)给定的测量数据r，假设接收端还已知信道信息H。对H做QR分解，得HUR，其中RRNNU是一个酉阵，而RTNNR是一个上三角阵，因为RTNN，矩阵R的1TN行到RN行是全零行，即R具有如下结构11 1,1,11,21,32,2,22,3,000000000000TTTTNNNNRRRRRRRR R 对(6.7)两端同乘以HU，得 rRSn (6.14)其中HrU r，HnU n，是相应矩阵的酉变换。显然在(6.14)中，对于()TN S，它的第TN层与其他层没有相关关系，可以独立地估计出该层。第1TN层除与第TN层有相关关系外与其他层没有相关关系，但是我们已经得到第TN层的估计，所以可以从第1TN层将第TN层的干扰剔除（减去），这样第1TN层就可以在无层间干扰的情况下实现独立估计。依此类推，获得各个层的完全独立估计。设 1,1,11,21,32,2,22,3,0000TTTTNNNNRRRRRRRRR 且删去r、n中与R全零行对应的项，仍记为r 与n。由于原假设H是列满秩矩阵，所以R是可逆的，而上面的层间干扰逐个剔除算法实际上是矩阵R的求逆过程8。注意R的逆同样具有R的上三角形式。这样，我们可以得到(准静态信道，R为常数矩阵)估计 1SR rn 对于快变信道，tR随时间参量t变化的矩阵，信号估计可以相应地写成 1tSR rn (6.15)其中1nR n是n的一个线性变换，所以n仍是n的一个线性变换。显然，QR分解干扰逐个剔除算法也是一个线性检测算法。注意到随机矩阵n任意一个分层的分布特性为2(0,)knI，所以r 的任意一个分层的分布特性为为2(,)knRSI，这样就很容易写出r 的概率密度函数。进而实现对估计信号矩阵(6.15)中S的概率特性的分析，最后就可以得到算法性能的理论分析。我们现在讨论基于基于QR分解的最小均方误差估计算法：分解的最小均方误差估计算法：即最小均方误差算法的快速实现的相应的层间干扰逐个剔除算法。对(6.13)中的矩阵H做QR分解，并依据H和TNI的维数对Q做分割，得 TNHHnnnHQQ RHQRRIQQ R (6.16)显 然 有THHHHHNHnnHnnQ HQ HQ IQ HQR以 及(6.16)的 块 关 系TNnnnIQ R。所以1nRQ。这说明nQ也是一个上三角矩阵。用HQ作用于(6.12)两端，得 HHHHHHQ rQ HSQ n 再利用HHHnnQ HRQ得估计值为()THHNnnnnHSIQ QSQ Q n (6.17)比较(6.17)与(6.15)，我们发现发送信号矩阵的估计值在(6.17)中多了一个修正项HnnnQ Q S。
