(15.1.1)--第一部分第15讲边界层理论及其近似解（第5章）.pdf
动力学基础(Fundamentals of Aerodynamics)空气边界层理论及其近似解第15讲1边界层概念2边界层特征3平面不可压缩流体层流边界层方程4平板层流边界层的相似解一边界层概念业已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系的。一边界层概念根据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为:惯性力：dttFmLLUdVUJ=00322粘性力：dyFAU LdV=0惯性力/粘性力：FU LFLULUJ=Re00022一边界层概念因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。一边界层概念这也是早期发展理想流体力学的重要依据，而且确实较成功地解决了与粘性关系不大的一系列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的DAlembert疑题就是一个典型的例子。（DAlembert，法国力学家，1717-1783）一边界层概念那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决绕流物体的阻力问题，这在当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题；一边界层概念直到1904年国际流体力学大师德国学者L.Prandtl通过大量实验发现，虽然整体流动的Re数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略。Prandtl把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为边界层（Boundary layer）。一边界层概念路德维希 普朗特（Ludwig Prandtl，18751953）世界流体力学大师，德国物理学家，近代空气动力学之父。一边界层概念路德维希 普朗特教授普朗特重视观察和分析力学现象，养成了非凡的直观洞察能力，善于抓住物理本质，概括出数学方程。他曾说：我只是在相信自己对物理本质已经有深入了解以后，才想到数学方程。方程的用处是说出量的大小，这是直观得不到的，同时它也证明结论是否正确。一边界层概念普朗特指导过81名博士生，著名学者Blasius、Von Karman是其学生之一。我国著名的空气动力学专家、北航流体力学教授陆士嘉先生（女，19111986）是普朗特正式接受的唯一中国学生，唯一的女学生。路德维希 普朗特教授一边界层概念Prandtl的边界层概念，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途径，因此称其为世界流体力学大师。一边界层概念对整个流场提出的基本分区是：1整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。2在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按势流理论处理。3粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。既然是粘流区，粘性力的作用不能忽略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运动。严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主流区速度的0.99U作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度。粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源。以二维流动为例说明之。二边界层特征1.边界层定义2.边界层的有涡性二边界层特征此时，物面上的涡源强度为 xyyuuuzxxoy=对于不可压缩流体，二维流动的涡量输运方程为dtxydzzzz=+=+2222二边界层特征上式表明，由于粘性的影响，物面上的涡量一方面沿垂直流线方向扩散，另一方面，涡量沿主流方向迁移，并随之而逐渐衰减。涡量的扩散速度与粘性有关，涡量的迁移速度取决于流动速度。二边界层特征3.边界层厚度的量级估计根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的 厚度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在x方向的长度为L，边界层厚度为。惯性力：dttFmLL UdVUJ=22粘性力：dyFALdVU=2由惯性力与粘性力同量级得到 LFFLUJRe L U 122二边界层特征4.边界层各种厚度在边界层内，理想流体的质量流量为 mu dyiee=0由此可见，在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度。a)边界层排移厚度其中，ue为边界层外缘速度。二边界层特征由于粘性的存在，实际流体通过的质量流量为 mudye=0 mu dyiee=0上述两项之差表示粘性存在而损失的流量，这部分流量被排挤到主流场中，相当于主流区增加了一层流体。二边界层特征主流区所增加的厚度为 uuu dyeeee=01)(udyuee=101这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成的。因此，称其为排移厚度。二边界层特征 Kuudyie=0b)边界层动量损失厚度在边界层内，在质量流量不变的条件下，理想流体通过的动量为由于粘性的存在，实际流体通过的动量为 Ku dye=02二边界层特征 uu uuu dyeee=022)(上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失用外流流速ue（理想流体）折算的动量损失厚度为 uudyuueee=102二边界层特征 Euudyie=2102c)边界层能量损失厚度在边界层内，在质量流量不变的条件下，以外流速度（理想流体）通过的动能为由于粘性的存在，实际流体通过的动能为 Euudye=2102二边界层特征 uuu uudyeeee=221103223)(上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失用主流流速ue（理想流体）折算的动能损失厚度为:uudyuueee=10232 udyue=101上述各种厚度的计算公式，对于不可压缩流体而言，变为:uudyuuee=102 uudyuuee=10232二边界层特征5.几点说明实际流动中，边界层流动与理想流动是渐近过渡的，边界层的外边界线实际上是不存在的，因此边界层的外边界线不是流线，而是被流体所通过的，允许流体穿过边界线流动。在边界层内流线是向外偏的。二边界层特征边界层各种厚度的大小与边界层内流速分布有关。但各厚度的大小依次是:边界层厚度边界层排移厚度边界层动量损失厚度边界层各种厚度的定义式，即适用于层流，也适用于湍流。三平面不可压缩流体层流边界层方程1.平壁面上边界层方程根据Prandtl边界层概念，通过量级比较，可对N-S方程组进行简化，得到边界层近似方程。+=+=xyuv0对于二维不可压缩流动，N-S方程为+=+=+txyxxyuvfuuupuux12222+=+=+txyyxyuvfvvvpvvy12222选取长度特征L，速度尺度ue，时间尺度t=L/ue，边界层近似假定：三平面不可压缩流体层流边界层方程 根据边界层定义，纵向偏导数远远小于横向偏导数。LxLyxyLRe,111 法向速度远远小于纵向速度。=tL uLutvuuu vuvLeeeeRe/,1 边界层内的压强与外流速度的平方成正比。pue2将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到三平面不可压缩流体层流边界层方程=+=+=LLLuuxyuveeReRe 1Reuu0ee=+=+=+LLLLLuuuutxyxxyuvfuuupuueeeexRe/ReLLRe uuuuu122eeeee222222222=+=+=+LLLuuutxyyxyuvfvvvpvveeeyReReReLReL ReLReL Reuuuu123/22eeee222222222N-S方程组与各项量级比较：三平面不可压缩流体层流边界层方程在高Re数情况下，忽略小量得到+=+=xyuv0+=+=+txyxyuvfuuupux122=yp01=yfpy01忽略质量力，由第三个方程得到这说明，在高Re数情况下，在边界层内压力沿法向是不变的。三平面不可压缩流体层流边界层方程边界层内的压力分布与边界层外边界线上的压力分布相等。也就是，p与y无关，仅是x和t的函数。即=ppx te(,)忽略质量力，Prandtl边界层方程变为+=+=xyuv0+=+=+txyxyuvuuupu122=yp01边界条件：=yy uu0 u0 v0e三平面不可压缩流体层流边界层方程在边界层外边界线上，可按照理想流体势流方程确定压强。即+=+=txxuuupeeee1+=+=xyuv0+=+=+txytxyuvuuuuuuueee22在定常流动情况下，有+=+=xyuv0+=+=+xyxyuvuuuuuee22三平面不可压缩流体层流边界层方程=yx tpxyL0,pp(,),vuReuv1Re1ee综上所述，边界层基本特性可归纳为三平面不可压缩流体层流边界层方程2.曲壁面上的边界层方程在实际流动中所遇到的物面常是弯曲的，因此推导曲壁面上的边界层方程具有重要意义。在推导中，使用曲壁面上的边界层坐标系。其中，x轴贴着壁面，y轴垂直于壁面。=+=+dsMMMM()()22在边界层内任取一点M，其坐标x=ON，y=NM，M为M的邻点，MM的弧长为ds三平面不可压缩流体层流边界层方程在x处，设曲壁的曲率半径为R(x)，有=+=+=+RMMRy ddxM NMNdyRy(),MM=+=+=+=+=+=+=+HHdxdyH dxH dydsMMMMR,1RyR ()()Ry()()121222222222仍以u和v分别表示边界层坐标系中的x和y方向的速度分量，则由正交曲线坐标系方程，得到连续方程+=+=+RxyRyRyuvv0则三平面不可压缩流体层流边界层方程+=+=+RyxRydxRydxxRvRvdRRydR uRyxRyxyRyyRyRpRuuuutRyxyRyuvuRuuuv()()()2()11233222222+=+=+RyxRydxRydxxRuRudRRydRvyRyxyRyyRypRvvvvtRyxyRyuvvRvvu()()()2()112332222222运动方程为：三平面不可压缩流体层流边界层方程假定物面的曲率半径R(x)与x向的特征长度L同量级，y的量级与边界层厚度同量级，故有=+=+xLyxy RydxdxRLRHRyRdRdyRe,111,1,1,11,1=tL uLutvuuu vuvLeeeeRe/,1三平面不可压缩流体层流边界层方程量级比较，简化的边界层方程为+=+=xyuv0+=+=+txyxyuvuuupu122=Ryup2三平面不可压缩流体层流边界层方程这就是曲壁面上的边界层方程，与平壁面的方程相比，只是y方向的方程有所不同。为了和流动弯曲所产生的离心力相平衡，必须有y方向的压力梯度。三平面不可压缩流体层流边界层方程以下估计这个压力梯度的量级大小。初步假定边界层内速度分布为线性分布。=yRRuuuyypyueee,2222从y=0到y=s积分，有=RRppue3u3()(0),1p1e22三平面不可压缩流体层流边界层方程在Rs的情况下，此压差是个小量，可忽略不计。由此仍得出在曲壁面的边界层内，法向压力不变是个常数。这说明，在曲率半径不太小且变化不太大的情况下，曲壁面上的边界层方程与平壁面上的边界层方程完全相同。三平面不可压缩流体层流边界层方程1908年，Prandtl的学生Blasius利用边界层速度分布的相似性求解了平板层流边界层方程。对于零压梯度、定常、不可压缩流体平板层流绕流，边界层方程为+=+=xyuv0+=+=xyyuvuuu22相应的边界条件为=yue0 u0 v0 ;y uBlasius假设，在平板上边界层内的速度分布具有相似性特征。即=ufuye()三平面不可压缩流体层流边界层方程根据量级比较，边界层厚度的量级为:=u xuxxxxeeRe引入流函数，可消掉一个连续方程。=xyyue=uudyu fdxu Fxeee()()=yyuu Fe()=+=+xxxxvxu FxuFxuFeee()()三平面不可压缩流体层流边界层方程由此得到=xxuF Fuue22代入方程中，得到=xx2+=+=xxxF FFF FFuuueee2211222 =yxvFF Fuue212 =yxxFFuuuee2222三平面不可压缩流体层流边界层方程化简后变为+=+=FFF20边界条件为=FF0,0,0;,F1.0Blasius用无穷级数进行了求解。假设：=+=+nFAAAAAnn2!3!()012323其中，为待定系数。A A AAn,012+=+=+=+nAACCCCFAAAAAAnnnn(32)!75.(1)(),1 C1 11 32!5!8!11!14!()()()()()().11113752789712201231/31/3(32)2222221/31/321/351/381/3111/314三平面不可压缩流体层流边界层方程由边界条件，可得=l im F()1 F(0)A0.33212=u ue/0.9916,5.0 边界层厚度=xxRe5 边界层位移厚度=udyuxxeRe11.720801 边界层动量损失厚度=uudyuuxxeeRe10.664023812三平面不可压缩流体层流边界层方程=yuuxyeRe0.3321002 壁面切应力 壁面摩擦阻力系数=uCxefRe0.50.664120 平均壁面摩擦总阻力系数=LCC dxCLLDfffLRe2()1.328110郭永怀（1953年）对平板前缘点的修正，得到=+=+CLLDfReRe1.3284.10适用范围：LRe3 103 1056
