电磁场与波绪论电磁场与波 (12).pdf

1-4 静电场边值问题和静电场边值问题和唯一性定理唯一性定理引言经常遇到的是这样一类问题：给定空间某一区域内的电荷分布（可以是零），同时给定该区域边界上的电位或电场（即边界上的值，或称边界条件），在这种条件下求解该区域内的电位函数或电场强度分布。这类问题称为静电场的边值问题。1.4.1 静电场边值问题 1.4.2 唯一性定理1.4.1 静电场边值问题在高斯定律中，代入和关系，对于均匀电介质，可得：这就是电位 的泊松方程。在自由电荷体密度 =0 的区域内，式（1-4-2）变为（1-4-1）泊松方程和拉普拉斯方程表达了场中各点电位的空间变化与该点自由电荷体密度之间的普遍关系，是电位函数应当满足的微分方程。所有静电场问题的求解都可归结为在一定边界条件下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解，称之为静电场的边值问题。D=D=EE=/2=02这就是电位 的拉普拉斯方程。（1-4-2）1.4.1 静电场边值问题在场域的边界面S上给定边界条件的方式有以下几种类型：（1-4-3）（1）已知场域边界面S上各点的电位值，即给定=fsS1)(称为第一类边界条件。这类问题称为第一类边值问题。（1-4-4）（2）已知场域边界面S上各点的电位法向导数值，即给定称为第二类边界条件。这类问题称为第二类边值问题。=nfsS2)(（1-4-5）（3）已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组合的值，即给定称为第三类边界条件。这类问题称为第三类边值问题。+=nfsS3)(1.4.1 静电场边值问题如果场域伸展到无限远处，则必须提出所谓无限远处的边界条件。对于电荷分布在有限区域的情况，则在无限远处电位为有限值，即称为自然边界条件。（1-4-6）另外，当边值问题所定义的整个场域中电介质并不是完全均匀的，但能分成几个均匀的电介质子区域时，按各电介质子区域分别写出泊松方程或拉普拉斯方程。作为定解条件，还必须相应地引入不同媒质分界面上的衔接条件。值限有=rrlim1.4.2 唯一性定理静电场的唯一性定理表明，凡满足下述条件的电位函数，是给定静电场的唯一解：（1）在场域V中满足电位微分方程=/2对于分区均匀的场域V，应满足每个分区场域中的方程；（或）。=02（2）在不同电介质的分界面上，符合分界面上的衔接条件；（3）在场域边界面S上，满足给定的边界条件。上列各项可简述为：在静电场中凡满足电位微分方程和给定边界条件的解，是给定静电场的唯一解，称为静电场的唯一性定理。唯一性定理对求静电问题的解具有十分重要的意义。它指出了静电场具有唯一解的充要条件，且可用来判定得到的解的正确性。据此，可以尝试任何一种能找到的最方便的方法求解某一问题，只要这个解满足所有给定条件，那么这个解就是正确的，任何另一种方法求得的同一问题的解必然是与它完全相同的。1.4.1 静电场边值问题现在用“反证法”来证明唯一性定理。设有两个电位函数和在场域V中都满足泊松方程，则差值必满足拉普拉斯方程（1-4-7）=/2=u=u+0222由上式及高斯散度定理得S=+uVuuuuVuuuVddddV2SVV22)()()(或写成=nuSuVuddSV2)(1.4.1 静电场边值问题若已知第一类边界条件，则在全部边界面S上，所以；若已知第二类边界条件，则在全部边界面S上，所以。这样无论是第一类，还是第二类边界条件，都将由式（1-4-6）得到=Su=0S=nnnS=nu0S=nuVuSudd0VS2)(因不为负值，所以要使上式成立，必在V内处处有u2)(=u0)(，或（任意常数）。对于第一=C类边值问题，因在边界面上，可解得C=0；对于第二类边值问题，若与取同一参考点，则在参考点处，则常数C也为零。由以上分析可见，在场域V中各处，恒有，即。=S=0=u0=谢谢谢谢