不等式的实际应用教案.docx

不等式的实际应用教案不等式教案1、(、)。2、(、,)(当且仅当时取等号)。3、若、且,则(真分数的分子分母加上同一个正数,值变大)。4、若、且,则。5、。6、一个重要的均值不等式链:设,则有(当且仅当时取等号)。7、若已知条件中含有或隐含着或这一信息,经常可以设用这种和式增量法来证明不等式、求值、或比较大小。8、不等式证明常用的放缩方法:(1);(2)。七、解析几何:1、两条平行直线和之间的距离为。2、直线过定点,且点在圆内,则与圆必相交。过圆内一点的弦长,以直径为最大,垂直于(为圆心)的弦为最小。3、直线在轴、轴上的截距相等包含有直线过原点这一特别状况。4、直线过定点时,依据状况有时可设其方程为(时直线)应用点斜式解题,应检验直线斜率不存在的状况。5、已知圆的方程是和点,若点是圆上的点,则方程表示过点的圆的切线方程;若点在圆外,则方程表示过点向圆所作的两条切线的切点所在的直线方程(又称切点弦方程)。6、过圆上一点的圆的切线方程是:。7、圆和相交于、两点,则直线为这两圆的根轴,其方程为(即为公共弦所在的直线方程。利用此法,可以推导圆的切点弦方程)。8、已知一个圆的直径端点是、,则圆的方程是:。9、给肯定点和椭圆:,、分别为左右焦点,有如下性质:(1)若点在椭圆上,则,(由椭圆其次定义推出);(2)若点在椭圆上,过这一点的椭圆的切线方程则可表示为:;(3)若点在椭圆外,则这一点对应的椭圆的切点弦可表示为:;(4)若点在椭圆内,则这一点对应的椭圆的极线可表示为:;补充:直线与椭圆相切的充要条件是:。10、三种圆锥曲线的通径(通径是最短的焦点弦):(1)椭圆的通径长为;(2)双曲线的通径长为;(3)抛物线的通径长为。11、双曲线的焦半径公式:点为双曲线上随意一点,、分别为左右焦点(1)若在右支上,则,;(2)若在左支上,则,。12、双曲线标准方程(焦点在轴或轴上)的统一形式为(),双曲线的渐近线方程为,也可记作。13、过抛物线的焦点且倾斜角为的弦,时,最短弦长为,即为抛物线的通径。14、圆锥曲线中几条特别的垂直弦和定点弦:(1)过抛物线的顶点作两条相互垂直的弦,则弦过定点;(2)过抛物线的顶点作两条相互垂直的弦,点分别为的中点,则直线过定点;(3)过抛物线上一点作两条相互垂直的弦,则弦过定点;(4)过椭圆的中心作两条相互垂直的弦,则原点到弦AB的距离为定值:,且(此时弦AB最短),(此时弦AB最长);(5)过椭圆的右顶点作两条相互垂直的弦,则弦MN过定点:;(6)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的弦,点分别为的中点,则直线MN过定点:;(7)过双曲线的中心作两条相互垂直的弦,则原点到弦AB的距离为定值:;15、过抛物线上一点的焦半径;若、是过焦点弦的端点,则:(1),;(2);(3)(为直线与轴的夹角);(4)若、在准线上的射影分别为、,则;(5)以焦点弦为直径的圆与准线相切,切点为的中点;(6)以焦半径为直径的圆与轴相切;(7)以为直径的圆与焦点弦相切,切点为焦点F;16、过抛物线的准线与对称轴的交点作抛物线的两条切线,则切点弦长等于该抛物线的通径。过抛物线的对称轴上随意一点作抛物线的切线,切点分别为、,则直线过定点。17、由抛物线焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行抛物线的轴。18、若双曲线的两条渐近线方程分别为,则对应双曲线方程可设为为为参数)。19、等轴双曲线的离心率;双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长。20、若始终线被双曲线及两条渐近线所截,则夹在双曲线与渐近线间的线段长相等。21、点与圆锥曲线的位置关系:(1)若点在抛物线内部,则。若点在抛物线外部,则;(2)若点在内部,则。若点在外部,则;(3)双曲线内的点(指引在双曲线弧内),满意;双曲线外的点(指引在双曲线弧外),满意。22、若直线与二次曲线交于、两点,则由:,知直线与二次曲线相交所截得的弦长:其中(涉及直线与二次曲线相交的位置关系应留意,还须要留意圆锥曲线本身的范围。若求弦所在直线的斜率常用点差法)。23、中心在原点的椭圆、双曲线方程(焦点位置不定)可设为(其中且时为椭圆,时为双曲线)。24、圆锥曲线的参数方程:(1)椭圆的参数方程为(为参数);(2)双曲线的参数方程为(为参数);(3)抛物线的参数方程为(为参数)。25、若为椭圆上任一点,、为焦点,为短轴的一个端点,则(证明用到椭圆定义、余弦定理)。26、与直线平行的直线系方程为(参数);与直线垂直的直线系方程为(为参数)。27、共离心率的椭圆系方程为(为参数)。椭圆的离心率越接近1,椭圆越扁;椭圆的离心率越接近于0,椭圆就接近于圆。可以概括为:椭圆的离心率越大,椭圆越扁。28、共渐近线的双曲线系方程为(为参数)。29、设是椭圆上的随意一点(不在长轴上),、为左右焦点,则称为焦点三角形,该三角形有如下性质:(1)离心率:;(2)面积:;(3)旁切球:左右两个旁切球的球心都在直线上;(4)设其内心为,连接PI并延长交长轴于点M,则有:;(5)当且仅当点P在短轴端点时,最大,也最大。30、设是双曲线上的随意一点(不在实轴上),、为左右焦点,则的面积为。31、椭圆内接三角形,四边形的面积最大问题(1)椭圆内接三角形面积的最大值为:(当且仅当三角形的重心为椭圆的中心);(2)椭圆内接四边形面积的最大值为:(当且仅当四边形的对角线为椭圆的一对共轭直径)32、设M,N为椭圆上关于原点中心对称的两点,P为椭圆上异于M,N的随意一点,则。(双曲线中为:)33、已知两点、及直线(1)若点、在直线的同侧,则。(2)若点、在直线的异侧,则。34、已知点、及直线,点关于直线的对称点为,则有其中35、在线性规划中,(1)对形如型的目标函数,可变形为,看做直线在轴上的截距,问题转化为求纵截距范围或 (2)对形如型的目标函数,变形为的形式,将问题转化为求可行域内的点与点连线斜率的倍的范围;(3)对形如型的目标函数,可化为的形式,将问题化归为求可行域内的点到直线距离的倍的最值。36、在圆锥曲线中,求形如(是圆锥曲线内的一点,是圆锥曲线的一个焦点)的最值问题时,可利用圆锥曲线的其次定义将转化为圆锥曲线上的点到准线的距离。有关线段和差关系的计算,可优先考虑圆锥曲线的第肯定义。37、凡是动点到圆上动点之间距离的最值,必过圆心时才能取得,应先求动点到圆心的最值,再加上或减去半径不等式的性质不等式的性质教学目标1.理解不等式的性质,把握不等式各特性质的条件和结论之间的逻辑关系,并把握它们的证明方法以及功能、运用;2.把握两个实数比较大小的一般方法;3.通过不等式性质证明的学习,提高学生逻辑推论的实力;4.提高本节内容的学习,;培育学生条理思维的习惯和仔细严谨的学习看法;教学建议1.教材分析(1)学问结构本节首先通过数形结合,给出了比较实数大小的方法,在这个基础上,给出了不等式的性质,一共讲了五个定理和三个推论,并给出了严格的证明。学问结构图(2)重点、难点分析在“不等式的性质”一节中,联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法,复习了初中学过的不等式的基本性质。不等式的性质是穿越本章内容的一条主线,无论是算术平均数与几何平均数的定理的证明及其应用,不等式的证明和解一些简洁的不等式,无不以不等式的性质作为基础。本节的重点是比较两个实数的大小,不等式的五个定理和三个推论;难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。比较实数的大小教材运用数形结合的观点,从实数与数轴上的点一一对应动身,与初中学过的学问“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。指出比较两实数大小的方法是求差比较法:比较两个实数a与b的大小,归结为判定它们的差a-b的符号,而这又必定归结到实数运算的符号法则.比较两个代数式的大小,事实上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.理清不等式的几特性质的关系教材中的不等式共5个定理3个推论,是从证明过程支配依次的.从这几特性质的分类来说,可以分为三类:()不等式的理论性质:(对称性)(传递性)()一个不等式的性质:(nN,n1)(nN,n1)()两个不等式的性质:2.教法建议本节课的核心是培育学生的变形技能,练习学生的推理实力.为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础.授课方法可以实行讲授与问答相结合的方式.通过问答形式不断地给学生设置疑问(即:设疑);对教学难点,再由讲授形式解决疑问.(即:解疑).主要思路是:老师设疑学生探讨老师启发解疑.教学过程可分为:发觉定理、定理证明、定理应用,采纳由形象思维到抽象思维的过渡,发觉定理、证明定理.采纳类比联想,变形转化,应用定理或应用定理的证明思路;解决一些较简洁的证明题.第一课时教学目标1.把握实数的运算性质与大小依次间关系;2.把握求差法比较两实数或代数式大小;3.强调数形结合思想.教学重点比较两实数大小教学难点理解实数运算的符号法则教学方法启发式教学过程一、复习回顾我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如,在右图中,点A表示实数,点B表示实数,点A在点B右边,那么.我们再看右图,表示减去所得的差是一个大于0的数即正数.一般地:若,则是正数;逆命题也正确.类似地,若,则是负数;若,则.它们的逆命题都正确.这就是说:(打出幻灯片1)由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了,这也是我们这节课将要学习的主要内容.二、讲授新课1.比较两实数大小的方法求差比较法比较两个实数与的大小,归结为判定它们的差的符号,而这又必定归结到实数运算的符号法则.比较两个代数式的大小,事实上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.接下来,我们通过详细的例题来熟识求差比较法.2.例题讲解例1比较与的大小.分析:此题属于两代数式比较大小,事实上是比较它们的值的大小,可以作差,然后绽开,合并同类项之后,判定差值正负,并依据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.解:例2已知,比较(与的大小.分析:此题与例1基本类似,也属于两个代数式比较大小,但是其中的x有肯定的限制,应当在对差值正负判定时引起注意,对于限制条件的应用常常被学生所忽视.由得,从而请同学们想一想,在例2中,假如没有这个条件,那么比较的结果如何?(学生回答:若没有这一条件,则,从而大于或等于)为了使大家进一步把握求差比较法,我们来进行下面的练习.三、课堂练习1.比较的大小.2.假如,比较的大小.3.已知,比较与的大小.要求:学生板演练习,老师讲评,并强调学生注意加限制条件的题目.课堂小结通过本节学习,大家要明的确数运算的符号法则,把握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.课后作业习题6.11,2,3.板书设计§6.1.1不等式的性质1.求差比较法例1学生例2板演不等式证明 题目第六章不等式不等式的证明高考要求1通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较敏捷的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；2驾驭用“分析法”证明不等式；理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围3搞清分析法证题的理论依据，驾驭分析法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和详细证明方法和步骤4通过证明不等式的过程，培育自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的实力；能较敏捷的应用不等式的基本学问、基本方法，解决有关不等式的问题学问点归纳不等式的证明方法（1）比较法：作差比较：作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和推断差的符号：结合变形的结果及题设条件推断差的符号留意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小（2）综合法：由因导果（3）分析法：执果索因基本步骤：要证只需证，只需证“分析法”证题的理论依据：找寻结论成立的充分条件或者是充要条件“分析法”证题是一个特别好的方法，但是书写不是太便利，所以我们可以利用分析法找寻证题的途径，然后用“综合法”进行表达（4）反证法：正难则反（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：；将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式，如：；利用常用结论：、；、；（程度大）、；（程度小）（6）换元法：换元的目的就是削减不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：已知，可设；已知，可设()；已知，可设；已知，可设；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法敏捷多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟识各种证法中的推理思维，并驾驭相应的步骤，技巧和语言特点数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中特地探讨题型讲解例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事好用数学关系式反映出来，并证明之分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知解：由题意得证法一：（比较法），证法二：（放缩法），证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，AB=a，AC=b，BD=m，作CEBD，例2已知a，bR，且a+b=1求证：证法一：（比较法）即（当且仅当时，取等号）证法二：（分析法）因为明显成立，所以原不等式成立点评：分析法是基本的数学方法，运用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）证法四：（反证法）假设，则由a+b=1，得，于是有所以，这与冲突所以证法五：（放缩法）左边右边点评：依据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式证法六：（均值换元法），所以可设，左边右边当且仅当t=0时，等号成立点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采纳均值换元证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即故例3设实数x，y满意y+x2=0，0a1求证：证明：（分析法）要证，只要证：，又，只需证：只需证，即证，此式明显成立原不等式成立例4设m等于，和1中最大的一个，当时，求证：分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于，和1中最大的一个”翻译为符号语言“，”，从而知证明：（综合法），例5已知的单调区间；(2)求证：（3）若求证：解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,（2）而点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考学问又考实力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值小结：1驾驭好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要留意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的相互联系、相互渗透和相互制约，这些也是近年命题的重点2在不等式证明中还要留意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要留意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类探讨等3比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法，即欲证4基本思想、基本方法：用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法用分析法探究证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式动身，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到明显成立的不等式，书写方法习惯上用“”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的详细运用，两个重要策略原则是：正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探究解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯简洁化原则：寻求解题思路与途径，常把较困难的问题转化为较简洁的问题，在证明较困难的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题相宜用反证法换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将困难的代数问题转化成简洁的三角问题含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并留意根的取值范围和题目的限制条件有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，留意放缩适度学生练习1设，求证：证明：=，则故原不等式成立点评：（1）三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：（2）用比较法证不等式，关键在于作差（或商）后结式了进行变形，常见的变形是通分、因式分解或配方2己知都是正数，且成等比数列，求证：证明：成等比数列，都是正数，点评：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分是运用比较法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部运用基本不等式，也是用比较法证不等式时的一种常用手段3己知函数，当满意时，证明：对于随意实数都成立的充要条件是证明：（1）若，则(2)当时，故原命题成立4比较的大小（其中0x1）解：-=0(比差)56证明：7若，求证ab与不能都大于证明：假设ab,(1a)(1b)都大于8已知：a3+b3=2,求证：a+b证明：假设a+b2则b2-aa3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2与已知相冲突，所以,a+b9101113设都正数，求证：证明：，14设且，求证：证法1若，这与冲突，同理可证证法2由知15有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食，他们共购粮三次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮10000元三次后统计，谁购的粮食平均价低？为什么？解：设第一、二、三次的粮食价格分别为元/千克、元/千克、元/千克，则甲三次购粮的平均价格为，乙三次购粮的平均价格为，因为所以乙购的粮食价格低说明“各次的粮食价格不同”，必需用字母表示，这样就能把粮食平均价格用式子表示出来我们应当从式的特征联想到用基本不等式进行变换 课前后备注 超越不等式 超越不等式一,理论学问汇总（一），分式不等式1，留意通分合并2，留意等价转化f(x)g(x)0f(x)g(x)0 f(x)g(x)0f(x)g(x)0 f(x)g(x)0f(x)g(x)0且g(x)0 f(x)g(x)0f(x)g(x)0且g(x)0 例:解关于x的不等式ax-1x+10.解原不等式等价于(ax-1)(x+1)0（1）当a=0时,原不等式为-(x+1)0解得x-1;（2）当a0时,得1a0解得x-1或x1a（3）当a0时,原不等式可化为(x-1a)(x+1)0若a=-1时,不等式无解;若a-1时,1a-1,解得-1x1a;若-1a0时,1a-1解得1ax-1综上所述：当a=0时,解集为(-,-1);当a0时,解集为(-,-1)(1a,+);当a=-1时,解集为;当a-1时,解集为(-1,1a);当-1a0时,解集为(1a,-1).（二），高次不等式方法:先因式分解,再运用穿线法.留意:(1)因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.(2)恒正因式,可干脆去掉.(3)穿线法的运用对象及运用方法运用对象:二次不等式、分式不等式及高次不等式.运用方法:在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇透偶不透).数轴上方曲线对应区域使“”成立,下方曲线对应区域使“”成立.例:解不等式x2-4x+13x2-7x+21解:变形为(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)0依据穿线法如图 不等式解集为:xx13或12x1或x2.（三）指数不等式?通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.?a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x).（四）对数不等式?通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.a1时,logaf(x)logag(xf(x)g(x)0;0a1时,logaf(x)logag(x)0f(x)g(x).（五）三角不等式?形如:sinxa,sinxb及asinxb的不等式,除了运用单位圆求解之外，还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于操作，操作程序如下：?在同一坐标系中同时作出两个函数y1=sinx(0x2)及y2=a(或b)(0x2)图，得出满意x0,2的不等式的解，然后利用函数的周期性，得出原不等式的解.?形如:cosxa,cosxb及acosxb的不等式，除了运用单位圆求解之外，还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于驾驭，求解程序如下：?在同一坐标系中同时作出两个函y1=cosx及y2=a(或y3=b),的图像，先得出满意条件x的不等式的解，然后利用函数的周期性得出原不等式的解.?形如:tanxa,tanxb及atanxb的不等式,有干脆的结论可用:?tanxa的解集是:.tanxb的解集是:.atanxb的解集是:k+arctana,k+arctanb,kZ.练习：1.不等式的解集是()?A.(,1)(1,10)B.(,1)(2,10)C.(,10)D.(1,+)2.已知不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是?A.aB.a?C.0aD.a1?3.不等式解集是()?A.(2,4)B.(-2,4)C.(-4,2)D.(-4,-2)?4.不等式lg(x2+2x+2)1的解集是()?A.(2,4)B.(-2,4)?C.(-4,2)?D.(-4,-2)?5.若(0,),则不等式的解集是()?A.(-1,)B.(,)?C.(-1,)D.(,1)6.设A=x|lg(x-1),B=x|lg(x-1),则AB等于()?A.R?B.(1,+)?C.(1,)?D.(1,)7.不等式1的解集为()?A.(0,)B.(,+)?C.(,1)?D.(0,)(1,+)8.不等式的解集为()?A.(3,+)?B.(1,5)?C.(1,4)(4,5)?D.(3,4)(4,5)9.若不等式x2-logmx0在(0,)范围内恒成立，则实数m的取值范围是()A.?B.?C.?D.10.不等式5x-3的解集是.11.当0a1时,不等式:的解集为.12.不等式sinx-的解集为.13.不等式tan(x-)的解集为.14，解不等式（1）(x+4)(x+5)2(2-x)30（2）x2-4x+13x2-7x+2115.解下列指数不等式:?(1);(2)|2x-3|+4x-30. 16.解对数不等式:logx5-2logx3.? 17.解关于x的不等式: 18.解不等式: 第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页