2022年极值问题解法.docx

2022年极值问题解法 一条件分析法 valign=top align=left height=114 > width=18 height=0> a width=37 height=0> B width=16 height=0> b width=69 height=0> width=52 height=0> 图1 利用题目所给的已知条件，通过分析物理过程，找出达到极值的条件，从而利用此条件列方程求出极值。这是一种常用的基本方法。 例1：如图1所示，一个U型导体框架，宽度L=1m，其所在平面与水平面交角为=300，其电阻可以忽视不计。匀强磁场与U型框架的平面垂直，磁感强度B=0.2T。今有一条形导体ab，其质量m=0.2kg，有效电阻R=0.1，跨放在U型框架上，并能无摩擦滑动。求导体ab下滑的最大速度vm。分析：导体起先下滑时，速度为0，导体受重力沿斜面对下的分力作用而加速下滑，此时加速度最大。导体起先运动后，导体切割磁感线，产生感应电流，由右手定则可推断感应电流的方向由b到a，再由左手定则可知，导体受到沿斜面对上的安培力F作用，F是障碍导体向下运动的，F将使棒的加速度减小。但只要F小于重力沿斜面对下的分力，导体的速度就会接着增大。随着速度的增大，导体产生的感应电动势增大，感应电流增大，安培力F也增大，导体的加速度接着减小。当速度增大到使安培力F=mgsin时，导体受的合外力为0，加速度为0，速度不再增大，导体将做匀速直线运动，速度达到最大。解：分析题意可知，导体速度达到最大的条件是安培力F：F=mgsin 即： =25m/s valign=top align=left height=145 > width=146 height=0> m width=160 height=0> H width=47 height=0> width=22> width=66> width=37> width=2> width=17> height=1> colspan=2> rowspan=4 align=left valign=top> rowspan=2 align=left valign=top> height=2> rowspan=2 align=left valign=top> height=20> height=22> A width=17 height=0> width=2 height=0> 图2 例2：如图2所示，光滑水平面上有一小车B，右端固定一砂箱，砂箱左侧连接一水平轻弹簧，小车和砂箱的总质量为M。车上放有一小物块A，质量也为M。物块A随小车以速度v0向右匀速运动。物块A与其左侧的车面的动摩擦因数为，与其它车面的摩擦不计。在车匀速运动的过程中，距砂面H高处有一质量为m的泥球自由下落，恰好落在砂箱中。求：小车在前进中，弹簧弹性势能的最大值是多少？ 为使物块A不从小车上滑下，车面粗糙部分至少多长？分析： 泥球落入砂箱时，水平方向动量守恒。由于泥球水平方向的速度为0，故碰撞后小车的速度减小。而A的速度不变(A右侧无摩擦)，因此，A将与弹簧碰撞，压缩弹簧。在弹簧弹力作用下，A减速，小车加速。只要A的速度大于小车的速度，A将接着压缩弹簧，弹簧的弹性势能将接着增大。当A的速度等于小车速度时，弹簧压缩到最短，此时其弹性势能最大。此后，A接着减速，小车接着加速，A的速度小于小车的速度，弹簧的压缩量减小，弹性势能变小。 由可知，当弹簧复原原长时，A必相对于小车向左滑动。当A滑上粗糙部分后，在摩擦力作用下，最终相对于小车静止。从A滑上小车粗糙部分起先到相对小车静止的过程中，A相对于小车滑行的距离即为所要求的最小距离。解： 依题意，当A与小车的速度再次相等时，弹簧的弹性势能最大。 泥球落入砂箱过程中，车与泥球系统水平方向动量守恒。 设泥球落入砂箱后车速为v1。有： Mv0=(M+m)v1 从A起先压缩弹簧到两者速度相等的过程中，系统动量守恒。 设系统的共同速度为v2，有：Mv0+(M+m)v1=(M+M+m)v2 从A起先压缩弹簧到两者速度相等的过程中，系统损失的动能转化为弹簧的弹性势能。有： width=119 height=0> 由、得： 从弹簧压缩最短到A受摩擦力作用而再次相对小车静止的过程中，系统动量守恒。因此，A相对小车静止后，它们的共同速度必等于v2，即此过程始、末状态系统的动能未变，因此，弹簧削减的弹性势能通过摩擦力做功转化为系统的内能。 设A相对于小车滑行的距离为L。有：MgL=Ep 说明：条件法求极值，肯定要在脑海里形成清楚的物理图景，依据题目供应的条件分析物理过程，找出达到极值的条件。大部分极值问题可用此法解决。二、三角函数法 valign=top align=left height=114 >