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九年级数学竞赛动态几何问题透视辅导教案九年级数学动态几何 中考数学重难点专题讲座 第三讲动态几何问题 【前言】从历年中考来看，动态问题常常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析实力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全驾驭，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重探讨一下动态几何问题的解法， 第一部分真题精讲 【例1】（2022，密云，一模）如图，在梯形中，梯形的高为动点从点动身沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点动身沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为（秒） （1）当时，求的值；（2）摸索究：为何值时，为等腰三角形【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有肯定难度，题目中出现了两个动点，许多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是改变的。但是我们发觉，和这些动态的条件亲密相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件动身，列出方程，自然得出结果。【解析】解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图，过作交于点，则四边形是平行四边形 ，（依据第一讲我们说梯形内协助线的常用做法，胜利将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）解得【思路分析2】其次问失分也是最严峻的，许多同学看到等腰三角形，天经地义以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种状况。在中考中假如在动态问题当中碰见等腰三角形，肯定不要遗忘分类探讨的思想，两腰一底一个都不能少。详细分类以后，就成为了较为简洁的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】 九年级数学竞赛开放性问题评说辅导教案 【例题求解】【例1】如图，O与O1外切于点T，PT为其内公切线，AB为其外公切线，且A、B为切点，AB与PT相交于点P，依据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明(杭州市中考题)思路点拨为了能写出更多的正确结论，我们可以从以下几分角度作探究，线段关系，角的关系、三角形的关系及由此推出的相应结论 注：明确要求将数学开放性题作为中考试题，还是近一二年的事情开放性问题没有明确的目标和解题方向，留有极大的探究空间解开放性问题，不具有定向的解题思路，解题时总要有合情合理、实事求是的分析，要把归纳与演绎协调协作起来，把直觉发觉与逻辑推理相互结合起来，把一般实力和数学实力同时发挥出来杭州市对本例评分标准是以正确结论的难易程度为标准敏捷打分，分值干脆反映考生的实力及创新性【例2】如图，四边形ABCD是O的内接四边形，A是BD的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E(1)求证：ABDA=COBE；(2)若点E在CB延长线上运动，点A在BD上运动，使切线EA变为割线EFA，其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立?(要求画出示意图，注明条件，不要求证明)(北京市海淀区中考题)思路点拨对于(2)，能画出图形尽可能画出图形，要使结论ABDA=CDBE成立，即要证ABECDA，已有条件ABE=CDA，还需增加等角条件，这可由多种途径得到 注：很多开放性问题解题思路也是开放的(多角度、多维度思索)，探究的条件或结论并不惟一故解开放性问题，应尽可能深化探究，发散思维，提高思维的品质，切忌入宝山而空返 【例3】(1)如图1，若O1与O2外切于A，BC是O1与O2外公切线，B、C为切点，求证：ABAC(2)如图2，若O1与O2外离，BC是O1与O2的外公切线，B、C为切点，连心线O1O2分别交O1、O2于M、N，BM、CN的延长线交于P，则BP与CP是否垂直?证明你的结论(3)如图3，若O1与O2相交，BC是O1与O2的公切线，B、C为切点，连心线O1O2分别交O1、O2于M、N，Q是线段MN上一点，连结BQ、CQ，则BQ与CQ是否垂直?证明你的结论思路点拨本例是在基本条件不变的状况下，通过运动变更两圆的位置而设计的，在运动改变中，结论可能变更或不变，关键是把(1)的证法类比运用到(2)、(3)问题中 注：开放性问题还有以下呈现方式：(1)先提出特别状况进行探讨，再要求归纳揣测和确定一般结论；(2)先对某一给定条件和结论的问题进行探讨，再探讨变更条件时其结论应发生的改变，或变更结论时其条件相应发生的改变【例4】已知直线(0)与轴、轴分别交于A、C两点，开口向上的抛物线过A、C两点，且与轴交于另一点B(1)假如A、B两点到原点O的距离AO、BO满意AO3BO，点B到直线AC的距离等于，求这条直线和抛物线的解析式；(2)是否存在这样的抛物线，使得tanACB=2，且ABC外接圆截得轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由(无锡市中考题) 思路点拨(1)通过“点B到直线AC的距离等于”，利用等积变换求出A、B两点的距离；(2)先假设存在这样的抛物线，再由条件推理计算求得，最终加以验证即可 注：解存在性开放问题的基本方法是假设求解法，即假设存在演绎推理得出结论(合理或冲突)【例5】如图，这些等腰三角形与正三角形的形态有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”在探讨“正度”时，应保证相像三角形的“正度”相等 设等腰三角形的底和腰分别为、，底角和顶角分别为、要求“正度”的值是非负数同学甲认为：可用式子来表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子来表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么?(2)对你认为不够合理的方案，请加以改进(给出式子即可)；（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式(安徽省中考题)思路点拨通过阅读，正确理解“正度”这个新概念，同时也要抓住“在探讨正度时，应保证相像三角形的正度相等”这句话的实质，可先实行举实例加深对“正度”的理解，再推断方案的合理性并改进方法 注：（1）解结论开放题往往要充分利用条件进行大胆而合理的猜想，通过视察、比较、联想、揣测、推理和截推断等探究活动，发觉规律，得出结论（2）阅读是学习的重要途径，在这种阅读型探讨性问题中，涌现了很多介绍新的学问和新的探讨方法的问题，能极大地开阔我们的视野（3）探讨性学习是课程改革的一个亮点，探讨性学习是美国芝加哥高校教授施瓦布在作为探究的科学教学的演讲时提出的他主见引导学生干脆用科学探讨的方式进行教学，即设定情境、提出问题、分析问题、设计试验、验证假设、分析结果、得出结论探讨性问题是近年中考中出现的一种新题型，它要求我们适应新状况，通过实践，增加探究和创新意识，学习科学探讨方法 学力训练1如图，是四边形ABCD的对称轴，假如ADBC，有下列结论：ABCD，AB=BC；ABBC；AO=OC其中正确的是(把你认为正确的结论的序号都填上)(安徽省中考题)2如图，是一个边长为的小正方形与两个长、宽分别为、的小矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中随意三个等式：；(泉州市中考题)3有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线；乙：与轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3请你写出满意上述全部特点的一个二次函数解析式：(北京市东城区中考题)4如图，已知AB为O的直径，直线与O相切于点D，AC于C，AC交O于点E，DFAB于F(1)图中哪条线段与BF相等?试证明你的结论；(2)若AE=3，CD=2，求O的直径(威海市中考题)5在一个服装厂里有大量形态为等腰直角三角形的边角布料(如图)现找出其中的一种，测得C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形态的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在ABC的边上，且扇形的弧与ABC的其他边相切，请设计出全部可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并干脆写出扇形半径)(黄冈市中考题)6如图，抛物线与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)(x10x2)，与y轴交于点C(0，-2)，若OB=4OA，且以AB为直径的圆过C点(1)求此抛物线的解析式；(2)若点D在此抛物线上，且ADCB求D点的坐标；在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得APD的面积与四边形ACBD的面积相等?若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由(连云港市中考题)7给定四个命题：sinl5°与sin75°的平方和为1；函数的最小值为-10；，则x=10”，其中错误的命题的个数是(“我爱数学”初中生夏令营试题)8在实数范围内，一元二次方程的根为；在ABC中，若AC2+BC2AB2，则ABC是锐角三角形；在ABC和AB1C1中，、分别为ABC的三边，、分别为AB1C1的三边，若，则ABC的面积大S于AB1C1的面积S1以上三个命题中，真命题的个数是()(全国初中数学联赛试题)A0B1C2D39已知：AB是O的直径，AP、AQ是O的两条弦，如图1，经过B做O的切线，分别交直线AP、AQ于点M、N可以得出结论APAMAQAN成立(1)若将直线向上平行移动，使直线与O相交，如图2所示，其他条件不变，上述结论是否成立?若成立，写出证明，若不成立，说明理由；(2)若将直线接着向上平行移动，使直线与O相离，其他条件不变，请在图3上画出符合条件的图形，上述结论成立吗?若成立，写出证明；若不成立，说明理由10如图，已知圆心A(0，3)，A与轴相切，B的圆心在轴的正半轴上，且B与A外切于点P，两圆的公切线MP交轴于点M，交轴于点N（1）若sinOAB=，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式；(2)若A的位置大小不变，B的圆心在轴的正半轴上移动，并使B与A始终外切，过M作B的切线MC，切点为C在此改变过程中探究：四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明；经过M、N、B点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形?若存在，表示出来；若不存在，说明理由(山西省中考题)11有一张矩形纸片ABCD，E、F、分别是BC、AD上的点(但不与顶点重合)，若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=，AD=，BE=(1)求证：AF=EC；(2)用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EEBC当为何值时，直线EE经过原矩形的一个顶点?在直线EE经过原矩形的一个顶点的情形下，连结BE，直线BE与EF是否平行?你若认为平行，请赐予证明；你若认为不平行，摸索究当与有何种数量关系时，它们就垂直?(江西省中考题)12(1)证明：若取随意整数时，二次函数总取整数值，那么，、都是整数(2)写出上述命题的逆命题，且证明你的结论(全国初中数学竞赛题)13已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16(1)这样的四边形有几个?(2)求这样的四边形边长的平方和的最小值(全国初中数学联赛题) 参考答案 中考数学专题：动态几何问题 中考数学专题3动态几何问题 第一部分真题精讲 【例1】如图，在梯形中，梯形的高为动点从点动身沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点动身沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为（秒） （1）当时，求的值； （2）摸索究：为何值时，为等腰三角形 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有肯定难度，题目中出现了两个动点，许多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是改变的。但是我们发觉，和这些动态的条件亲密相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件动身，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图，过作交于点，则四边形是平行四边形 ， （依据第一讲我们说梯形内协助线的常用做法，胜利将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） 解得 【思路分析2】其次问失分也是最严峻的，许多同学看到等腰三角形，天经地义以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种状况。在中考中假如在动态问题当中碰见等腰三角形，肯定不要遗忘分类探讨的思想，两腰一底一个都不能少。详细分类以后，就成为了较为简洁的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分三种状况探讨： 当时，如图作交于，则有即（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） ， 当时，如图，过作于H 则， 当时， 则 综上所述，当、或时，为等腰三角形 【例2】在ABC中，ACB=45点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF （1）假如AB=AC如图，且点D在线段BC上运动试推断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论 （2）假如ABAC，如图，且点D在线段BC上运动（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，CD=，求线段CP的长（用含的式子表示） 【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以须要我们去分析由D运动产生的改变图形当中，什么条件是不动的。由题我们发觉，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。 【解析】： （1）结论：CF与BD位置关系是垂直； 证明如下：AB=AC，ACB=45，ABC=45 由正方形ADEF得AD=AF，DAF=BAC=90， DAB=FAC，DABFAC，ACF=ABD BCF=ACB+ACF=90即CFBD 【思路分析2】这一问是典型的从特别到一般的问法，那么思路很简洁，就是从一般中构筑一个特别的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。 （2）CFBD(1)中结论成立 理由是：过点A作AGAC交BC于点G，AC=AG 可证：GADCAFACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF=90即CFBD 【思路分析3】这一问有点麻烦，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就须要分状况去考虑究竟是4+X还是4-X。分类探讨之后利用相像三角形的比例关系即可求出CP. （3）过点A作AQBC交CB的延长线于点Q， 点D在线段BC上运动时， BCA=45，可求出AQ=CQ=4DQ=4-x， 易证AQDDCP， 点D在线段BC延长线上运动时， BCA=45，可求出AQ=CQ=4，DQ=4+x 过A作交CB延长线于点G，则CFBD， AQDDCP， 【例3】已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形 （1）求证：梯形是等腰梯形； （2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变设求与的函数关系式； （3）在（2）中，当取最小值时，推断的形态，并说明理由 【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。其次问和例1一样是双动点问题，所以就须要探讨在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相像三角形找比例关系.怎么证相像三角形呢?当然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】 （1）证明：是等边三角形 是中点 （2）解：在等边中， (这个角度传递特别重要,大家要细致揣摩) (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子) 【思路分析2】第三问的条件又回来了当动点静止时的问题。由其次问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求PQC形态”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。 （3）解：为直角三角形 当取最小值时， 是的中点，而 以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特别条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。假如没有特别条件，那么就须要探讨在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些详细的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题. 【例4】已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接 （1）干脆写出线段与的数量关系； （2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接， 你在（1）中得到的结论是否发生改变？写出你的猜想并加以证明 （3）将图1中绕点旋转随意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍旧成立？（不要求证明） 【思路分析1】这一题是一道典型的从特别到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转随意角度，要求考生探讨其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。其次问将BEF旋转45°之后，许多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发觉这是一个梯形，于是依据我们在第一讲专题中所探讨的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。 （1） （2）（1）中结论没有发生改变，即 证明：连接，过点作于，与的延长线交于点 在与中， ， 在与中， ， 在矩形中， 在与中， ， 【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎全部人都会答出仍旧成立。但是我们不应当止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此缘由，假如BEF随意旋转，哪些量在改变，哪些量不变呢？假如题目要求证明，应当如何思索。建议有余力的同学自己探讨一下，笔者在这里供应一个思路供参考：在BEF的旋转过程中，始终不变的依旧是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想方法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就须要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。 （3）（1）中的结论仍旧成立 【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将ABE沿直线AE翻折，点B落在点B处 （1）当=1时，CF=_cm， （2）当=2时，求sinDAB的值； （3）当=x时（点C与点E不重合），请写出ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程） 【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，其次问比例为2，第三问比例随意，所以也是一道很明显的从一般到特别的递进式题目。同学们须要细致把握翻折过程中哪些条件发生了改变，哪些条件没有发生改变。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相像关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其留意的是，本题中给定的比例都是有两重状况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以须要大家分类探讨，不要遗漏。 【解析】 （1）CF=6cm；（延长之后一眼看出，EAZY） （2）如图1，当点E在BC上时，延长AB交DC于点M， ABCF，ABEFCE， =2，CF=3 ABCF，BAE=F 又BAE=BAE，BAE=FMA=MF 设MA=MF=k，则MC=k-3，DM=9-k 在RtADM中，由勾股定理得： k2=(9-k)2+62，解得k=MA=DM=（设元求解是这类题型中比较重要的方法） sinDAB=； 如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交BE于点N， 同可得NA=NE 设NA=NE=m，则BN=12-m 在RtABN中，由勾股定理，得 m2=(12-m)2+62，解得m=AN=BN= sinDAB= （3）当点E在BC上时，y=； （所求ABE的面积即为ABE的面积，再由相像表示出边长） 当点E在BC延长线上时，y= 【总结】通过以上五道例题，我们探讨了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要惊慌,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在改变过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下： 第一、细致读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否须要分段考虑，分类探讨。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。 其次、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。假如没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来探讨。 第三、做题过程中时刻留意分类探讨，不同的状况下题目是否有不同的表现，许多同学丢分就丢在没有探讨，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。 其次部分发散思索 【思索1】已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持，且 （1）求证：； （2）如图（2），当点为边的中点时，求证：； （3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由 【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思索较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，假如是关于M的函数，那么就是有关，假如是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。 【思索2】ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若PBC180°， 且PBC平分线上的一点D满意DB=DA， （1）当BP与BA重合时（如图1），BPD=°； （2）当BP在ABC的内部时（如图2），求BPD的度数； （3）当BP在ABC的外部时，请你干脆写出BPD的度数，并画出相应的图形 【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条动身，可以利用角度相等来找出相像、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思索一下 【思索3】如图：已知，四边形ABCD中，AD/BC，DCBC，已知AB=5，BC=6，cosB= 点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN （1）当BO=AD时，求BP的长； （2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的状况？若存在，恳求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由； （3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作C，请干脆写出当C存在时，O与C的位置关系，以及相应的C半径CN的取值范围。 【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要遗忘的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简洁，等腰梯形中的计算问题。其次问则须要用设元的方法表示出MN和BP，从而探讨他们的数量关系。第三问的猜想肯定要记得分类分状况探讨。 【思索4】在中，过点C作CECD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1) （1）在图1中画图探究： 当P为射线CD上随意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转得到线段EC1.推断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明； 当P2为线段DC的延长线上随意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转得到线段EC2.推断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并干脆写出你的结论. （2）若AD=6,tanB=,AE=1,在的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围. 【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。其次问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中许多同学依旧遗忘分类探讨的思想，漏掉了许多种状况，失分特别惋惜。建议大家细致探讨这道中考原题，根据上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。 第三部分思索题解析 【思索1解析】 （1）证明：， 又， （2）证明：如图，过点作，交于点， 是的中点，简单证明 在中， （3）解：的周长， 设，则 ，即 由（1）知， 的周长的周长 的周长与值无关 【思索2答案】 解：（1）BPD=30°； （2）如图8，连结CD 解一：点D在PBC的平分线上， 1=2 ABC是等边三角形， BA=BC=AC，ACB=60° BP=BA， BP=BC BD=BD， PBDCBD BPD=3-3分 DB=DA，BC=AC，CD=CD， BCDACD BPD=30° 解二：ABC是等边三角形， BA=BC=AC DB=DA， CD垂直平分AB BP=BA， BP=BC 点D在PBC的平分线上， PBD与CBD关于BD所在直线对称 BPD=3 BPD=30° （3）BPD=30°或150° 图形见图9、图10 【思索3解析】 解：（1）过点A作AEBC,在RtABE中，由AB=5，cosB=得BE=3 CDBC，AD/BC，BC=6， AD=EC=BCBE=3 当BO=AD=3时，在O中，过点O作OHAB,则BH=HP ,BH= BP= （2）不存在BP=MN的状况- 假设BP=MN成立， BP和MN为O的弦，则必有BOP=DOC. 过P作PQBC，过点O作OHAB, CDBC，则有PQODOC- 设BO=x，则PO=x,由，得BH=, BP=2BH=. BQ=BP×cosB=，PQ= OQ= PQODOC，即，得 当时，BP=5=AB，与点P应在边AB上不符， 不存在BP=MN的状况. （3）状况一：O与C相外切，此时，0CN6；-7分 状况二：O与C相内切，此时，0CN.-8分 【思索4解析】 解：（1）直线与直线的位置关系为相互垂直 证明：如图1，设直线与直线的交点为 线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段， 按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为相互垂直 （2）四边形是平行四边形， 可得 由（1）可得四边形为正方形 如图2，当点在线段的延长线上时， ， 如图3，当点在线段上（不与两点重合）时， ， 当点与点重合时，即时，不存在 综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或 第27页 共27页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页第 27 页 共 27 页