1.12瞬时变化率—导数.docx

1.12瞬时变化率导数平均改变率 课题：平均改变率教学目标：1.通过大量实例的分析，经验由平均改变率过渡到瞬时改变率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。2.通过函数图像直观地导数的几何意义。3.体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法。教学重难点：导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵。导数的几何意义教学过程：一、问题情境1、情境：某市2022年4月20日最高气温为33.4，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4和18.6，短短两天时间，气温陡增14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！” 时间4月18日4月19日4月20日日最高气温18.624.433.4 该市2022年3月18日到4月18日的日最高气温改变曲线:问题1：你能说出A、B、C三点的坐标所表示意义吗？问题2：分别计算AB、BC段温差结论：气温差不能反映气温改变的快慢程度问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？曲线AB、BC段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度？ (1)连结BC两点的直线斜率为kBC= 二、建构数学一般地,函数f(x)在区间x1，x2上的平均改变率为： 说明：(1)平均改变率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线的陡峭程度是平均改变率的“视觉化”(2)用平均改变率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应留意当x2x1很小时，这种量化便由“粗糙”靠近“精确”。 例1、某婴儿从诞生到第12个月的体重改变如图所示，试分别计算从诞生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均改变率；由此你能得到什么结论？ (1)1kg/月(2)0.4kg/月结论：该婴儿从诞生到第3个月体重增加的速度比第6个月到第12个月体重增加的速度要快。变式：甲、乙两人跑步，路程与时间关系如图1及百米赛跑路程与时间关系分别如图2所示，试问：（1）在这一段时间内甲、乙两人哪一个跑的较快？（2）甲、乙两人百米赛跑，问快到终点时，谁跑的较快？图1图2 例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的体积（单位：）计算第一个10s内V的平均改变率。 解:在区间0,10上，体积V的平均改变率为 注：负号表示容器甲中水在削减 变式1：一底面半径为rcm，高为hcm的倒立圆锥容器，若以ncm3/s的速率向容器里注水，求注水前ts容器里水的体积的平均改变率.解：设注水ts时，容器里水的体积Vcm3由题意知V=nt，在0,t内容器里水的体积的平均改变率为: 由此可见当t越来越大时，容器里水的体积的平均改变率保持不变。 例3、已知函数，分别计算在下列区间上的平均改变率：（1）1，3；（3）1，1.1；（2）1，2；（4）1，1.001。(1)函数f(x)在1,3上的平均改变率为4(2)函数f(x)在1,2上的平均改变率为3(3)函数f(x)在1,1.1上的平均改变率为2.1(4)函数f(x)在1,1.001上的平均改变率为2.001 例3引申：已知函数问题(1)求函数在1,a(a1)上的平均改变率；(1)函数在1,a(a1)上的平均改变率为a+1 问题(2)当a趋近于1时，函数在1,a上的平均改变率有何趋势？(2)当a趋近于1时，函数在1,a上的平均改变率趋近于2 求函数y=f(x)在区间x1，x2上的平均改变率的步骤： 小结：问题1：本节课你学到了什么？函数的平均改变率的概念；利用平均改变率来分析解决实际问题问题2、解决平均改变率问题须要留意什么？分清所求平均改变率类型(即什么对象的平均改变率)两种处理手段：(1)看图(2)计算问题3、本节课体现了哪些数学思想方法？数形结合的思想方法从特别到一般、从详细到抽象的推理方法 改变率问题 3.1.1改变率问题教学目标知道平均改变率的定义。会用公式来计算函数在指定区间上的平均改变率。教学重点：平均改变率的含义教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均改变率。教学过程：情景导入：展示目标:知道平均改变率的定义。会用公式来计算函数在指定区间上的平均改变率。检查预习:见学案合作探究：探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?沟通展示：学生沟通探究结果,并完成学案。精讲精练：例1过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率. 例2已知函数，分别计算在下列区间上的平均改变率：（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001有效训练练1.某婴儿从诞生到第12个月的体重改变如图所示，试分别计算从诞生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均改变率.练2.已知函数，分别计算在区间-3，-1，0，5上及的平均改变率.反思总结1.函数的平均改变率是2.求函数的平均改变率的步骤：（1）求函数值的增量（2）计算平均改变率当堂检测1.在内的平均改变率为（）A3B2C1D02.设函数，当自变量由变更到时，函数的变更量为（）ABCD3.质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（）ABCD4.已知，从到的平均速度是_5.在旁边的平均改变率是_6、已知函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+，），求【板书设计】：略【作业布置】：略 2022届高考数学教材学问点复习改变率与导数导学案 【课本导读】1导数的概念(1)f(x)在xx0处的导数就是f(x)在xx0处的，记作：或f(x0)，即f(x0)limx0fx0xfx0x.(2)当把上式中的x0看做变量x时，f(x)即为f(x)的，简称导数，即yf(x)limx0fxxfxx.2导数的几何意义函数f(x)在xx0处的导数就是，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率kf(x0)，切线方程为3基本初等函数的导数公式(1)C(C为常数)；(2)(xn)(nQ*)；(3)(sinx)；(4)(cosx)；(5)(ax)；(6)(ex)；(7)(logax)；(8)(lnx).4两个函数的四则运算的导数若u(x)、v(x)的导数都存在，则(1)(u±v)；(2)(uv)；(3)(uv)；(4)(cu)(c为常数) 【教材回来】1(课本习题改编)某汽车的路程函数是s(t)2t312gt2(g10m/s2)，则当t2s时，汽车的加速度是()A14m/s2B4m/s2C10m/s2D4m/s22计算：(1)(x43x31)_.(2)(ln1x)_.(3)(xex)_.(4)(sinxcosx)_.3曲线yxex2x1在点(0,1)处的切线方程为_4设正弦函数ysinx在x0和x2旁边的平均改变率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为()Ak1k2Bk1k2Ck1k2D不确定5若曲线yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_. 【授人以渔】题型一利用定义求系数例1(1)用导数的定义求函数f(x)1x在x1处的导数 (2)设f(x)x38x，则limx0f2xf2x_；limx2fxf2x2_；limk0f2kf22k_. 思索题1(1)求函数yx21在x0到x0x之间的平均改变率 (2)已知f(a)3，则limh0fa3hfahh_. 题型二导数运算例2求下列函数的导数：(1)y(3x34x)(2x1)；(2)yx2sinx2cosx2；(3)y3xex2xe；(4)ylnxx21. 思索题2(1)求下列各函数的导数：yxx5sinxx2；y(1x)(11x)；ysinx2(12cos2x4)；ytanx；(2)等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)等于()A26B29C212D215 题型三导数的几何意义例3已知曲线y13x343.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满意斜率为1的曲线的切线方程 思索题3求过点(1，1)的曲线yx32x的切线方程 【本课总结】1求f(x)在xx0处的导数f(x0)，有两种方法：(1)定义法：f(x0)limx0fx0xfx0x.(2)利用导函数求值，即先求f(x)在(a，b)内的导函数f(x)，再求f(x0)2求复合函数的导数时，应选好中间变量，将复合函数分解为几个基本函数，然后从外层到内层依次求导3若f(x)在xx0处存在导数，则f(x)即为曲线f(x)在点x0处的切线斜率4求曲线的切线方程时，若不知切点，应先设切点，列等式求切点【自助餐】1有一机器人的运动方程为st23t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t2时的瞬时速度为_2若曲线yax2lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.3f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满意f(x)g(x)，则f(x)与g(x)满意()Af(x)g(x)Bf(x)g(x)0Cf(x)g(x)为常数函数Df(x)g(x)为常数函数4设函数yxsinxcosx的图像上在点(x0，y0)处的切线的斜率为k，若kg(x0)，则函数kg(x0)的图像大致为()5若函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图像过点P(0,1)，且在x1处的切线方程为yx2，求yf(x)的解析式 改变的快慢与改变率 2.1改变的快慢与改变率教学过程：一、引入：1、情境设置：（图片）雄伟的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？3、引入：让我们用函数改变的观点来研讨这个问题。二、例举分析：（一）登山问题例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的动身点,H是山顶,登山路途用y=f(x)表示 问题：当自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？分析：1、选取平直山路AB放大探讨若自变量x的变更量：函数值y的变更量：直线AB的斜率：说明：当登山者移动的水平距离改变量肯定（为定值）时，垂直距离改变量（）越大，则这段山路越陡峭；2、选取弯曲山路CD放大探讨方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD1的陡峭程度可用直线CD1的斜率表示。（图略）结论：函数值改变量（）与自变量改变量的比值反映了山坡的陡峭程度。各段的不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在这段山路上的平均改变量不同。当越大，说明山坡高度的平均改变量越大，所以山坡就越陡；当越小，说明山坡高度的平均改变量小，所以山坡就越缓。所以，高度的平均改变成为度量山的陡峭程度的量，叫做函数f(x)的平均改变率。三、函数的平均改变率与应用。（一）定义：已知函数在点及其旁边有定义，令；。则当时，比值叫做函数在到之间的平均改变率。（二）函数平均改变率的应用例2.某市2022年4月20日最高气温为33.4，而此前的两天，4月19日和4月18日最高气温分别为24.4和18.6，短短两天时间，气温“陡增”14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，假如我们将该市2022年3月18日最高气温3.5与4月18日最高气温18.6进行比较，我们发觉两者温差为15.1，甚至超过了14.8而人们却不会发出上述感叹。这是什么缘由呢？原来前者改变得“太快”，而后者改变得“缓慢”。 问题：当自变量t表示由3月18日起先计算的天数，T表示气温，记函数表示温度随时间改变的函数，那么气温改变的快慢状况应当怎样表示？分析：如图：1、选择该市2022年3月18日最高气温3.5与4月18日最高气温18.6进行比较，由此可知；2、选择该市2022年4月18日最高气温18.60C与4月20日33.40C进行比较，由此可知结论：函数值的平均改变率反映了温度改变的猛烈程度。各段的不同反映了温度改变的猛烈程度不同，也就是气温在这段时间内的平均改变量不同。当越大，说明气温的平均改变量越大，所以升温就越快；当越小，说明气温的平均改变量小，所以升温就越缓。（三）课堂练习：甲乙二人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图（1）（2）所示，试问：（1）甲乙二人哪一个跑得快？（2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快 四、瞬时改变率以及应用:例3：已知函数，分别计算函数在下列区间上的平均改变率。解：函数的平均改变率计算公式为：改变区间自变量变更量平均改变率 （1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0012.001(1,1.0001)0.00012.0001结论：当时间间隔越来越小（趋于）时，平均改变率趋于常数 例4：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？解：自由落体的运动公式是（其中g是重力加速度）.当时间增量很小时，从3秒到（3）秒这段时间内，小球下落的快慢改变不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到（3）秒这段时间内位移的增量：从而，.结论：越小，越接近29.4米/秒当无限趋近于0时，无限趋近于29.4米/秒.（一）定义：设函数在旁边有定义，当自变量在旁边变更时，函数值相应地变更假如当时，平均改变率趋近于一个常数，则数称为函数在点处的瞬时改变率。（二）函数瞬时改变率的应用：例：设一个物体的运动方程是：，其中是初速度，时间单位为，求：时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时改变率）。五、课堂小结： 六、布置作业：课本：预习： 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 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