中考数学规律探索性问题复习.docx

中考数学规律探索性问题复习中考数学探究性问题专题复习导学案 其次轮复习探究性问题 、综合问题精讲： 探究性问题是指命题中缺少肯定的条件或无明确的结论，须要经过推断，补充并加以证明的题型探究性问题一般有三种类型：（1）条件探究型问题；（2）结论探究型问题；（3）探究存在型问题条件探究型问题是指所给问题中结论明确，须要完备条件的题目；结论探究型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论须要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探究存在型问题是指在肯定的前提下，需探究发觉某种数学关系是否存在的题目 探究型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学学问常常用到的学问是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特别）的性质、相像三角形、解直 角三角形等其中用几何图形的某些特别性质：勾股定理、相像三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径因此复习中既要重视基础学问的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的探讨，切实提高分析问题、解决问题的实力 、典型例题剖析 【例1】如图261，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8 (1)求此抛物线的解析式； (2)如图262，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R 求证：PBPS； 推断SBR的形态； 摸索索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相像，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由 解：方法一：B点坐标为(0，2)，OB2， 矩形CDEF面积为8，CF=4. C点坐标为(一2，2)F点坐标为(2，2)。 设抛物线的解析式为 其过三点A(0，1)，C(-22)，F(2，2)。 得解得 此抛物线的解析式为 方法二：B点坐标为(0，2)，OB2， 矩形CDEF面积为8，CF=4. C点坐标为(一2，2)。 依据题意可设抛物线解析式为。 其过点A(0，1)和C(-22) 解得 此抛物线解析式为 (2)解： 过点B作BN，垂足为N P点在抛物线y=+l上可设P点坐标为PS，OBNS2，BN。PN=PSNS=在RtPNB中 PB2 PBPS 依据同理可知BQQR。 ， 又， ， 同理SBPB . SBR为直角三角形 方法一：设， 由知PSPBb，。 。假设存在点M且MS，别MR。若使PSMMRQ， 则有。即 。SR2 M为SR的中点.若使PSMQRM， 则有。 。 M点即为原点O。 综上所述，当点M为SR的中点时PSMMRQ；当点M为原点时，PSMMRQ 方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点三角形相像， ， 有PSMMRQ和PSMQRM两种状况。 当PSMMRQ时SPMRMQ，SMPRQM 由直角三角形两锐角互余性质知PMS+QMR90°。 取PQ中点为N连结MN则MNPQ= MN为直角梯形SRQP的中位线, 点M为SR的中点当PSMQRM时， 。又，即M点与O点重合。点M为原点O。 综上所述，当点M为SR的中点时，PSMMRQ；当点M为原点时，PSMQRM。 点拨：通过对图形的视察可以看出C、F是一对关于y轴的对称点，所以（1）的关键是求出其中一个点的坐标就可以应用三点式或y=ax2+c型即可而对于点P既然在抛物线上，所以就可以得到它的坐标为（a，14a2+1）这样再过点B作BNPS得出的几何图形求出PB、PS的大小最终一问的关键是要找出PSM与MRQ相像的条件 【例2】探究规律：如图264所示，已知：直线mn，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点 （1）请写出图264中，面积相等的各对三角形； （2）假如A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有_与ABC的面积相等理由是：_. 解决问题：如图265所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图266所示的形态，但承包土地与开垦荒地的分界小路（266中折线CDE）还保留着；张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多请你用有关的几何学问，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积） （1）写出设计方案并画出相应的图形； （2）说明方案设计理由 解：探究规律：（l）ABC和ABP，AOC和BOP、CPA和CPB （2）ABP；因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有ABP与ABC同底等高，因此，它们的面积总相等 解决问题：画法如图267所示 连接EC，过点D作DFEC，交CM于点F，连接EF，EF即为所求直路位置 设EF交CD于点H，由上面得到的结论可知： SECF=SECD，SHCF=SEDH，所以S五边形ABCDE=S五边形ABCFE，S五边形EDCMN=S四边形EFMN 点拨：本题是探究规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边的问题要用前边的结论去一做，所以要连接EC，过D作DFEC，再运用同底等高的三角形的面积相等 【例3】如图268所示，已知抛物线的顶点为M（2，4），且过点A(1,5)，连结AM交x轴于点B 求这条抛物线的解析式； 求点B的坐标； 设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点M左方一段上的动点，连结PO，以P为顶点、PQ为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上，过Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连结PR设面PQR的面积为S求S与x之间的函数解析式； 在上述动点P（x，y）中，是否存在使SPQR=2的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由 解：（1）因为抛物线的顶点为M（2，4） 所以可设抛物线的解析式为y=（x2）24 因为这条抛物线过点A（1，5） 所以5=a(12)24解得a=1 所以所求抛物线的解析式为y=（x2）24 （2）设直线AM的解析式为y=kx+b 因为A（1，5）,M（2，4） 所以， 解得k=3，b=2 所以直线AM的解析式为y=3x2 当y=0时，得x=23，即AM与x轴的交点B（23,0） （3）明显，抛物线y=x24x过原点(0，0 当动点P（x，y）使POQ是以P为顶点、PO为腰且另一顶点Q在x轴上的等腰三角形时，由对称性有点Q（2x，0） 因为动点P在x轴下方、顶点M左方，所以0x2 因为当点Q与B（23，0）重合时，PQR不存在，所以x13， 所以动点P（x，y）应满意条件为0x2且x13， 因为QR与x轴垂直且与直线AM交于点R， 所以R点的坐标为（2x，6x+2） 如图269所示，作PHOR于H， 则PH= 而S=PQR的面积=12QRPH=12 下面分两种情形探讨： 当点Q在点B左方时，即0x13时， 当R在x轴上方，所以6x20 所以S=12（6x2）x=3x2+x； 当点Q在点B右方时，即13x2时 点R在x轴下方，所以6x20 所以S=12x=3x2x； 即S与x之间的函数解析式可表示为 （4）当S=2时，应有3x2+x=2，即3x2x+2=0， 明显0，此方程无解或有3x2x=2，即3x2x2=0，解得x1=1，x223 当x=l时，y=x24x=3，即抛物线上的点P（1，3）可使SPQR=2； 当x=230时，不符合条件，应舍去 所以存在动点P，使SPQR=2，此时P点坐标为(1,3) 点拨：此题是一道综合性较强的探究性问题，对于第（1）问我们可以采纳顶点式求得此抛物线，而（2）中的点B是直线AM与x轴的交点，所以只要利用待定系数法就可以求出直线AM，从而得出与x轴的交点B(3)问中留意的是Q点所处位置的不同得出的S与x之间的关系也随之发生改变（4）可以先假设存在从而得出结论 、综合巩固练习：（100分90分钟） 1视察图2610中）至中小黑点的摆放规律，并根据这样的规律接着摆放记第n个图中小黑点的个数为y解答下列问题： 填下表： 当n=8时，y=_； 依据上表中的数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在图2611的平面直角坐标系中描出相应的各点（n，y），其中1n5； 请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？ 假如在某一函数的图象上，请写出该函数的解析式 2（5分）图2612是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子视察图形的改变规律，写出第n个小房子用了_块石子 3(10分)已知RtABC中，AC=5，BC=12，ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合） 如图2613所示，当PQAC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长； 当PQ与AC不平行时，CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，恳求出线段CQ的长的取值范围，若不行能，请说明理由 4如图2614所示，在直角坐标系中，以A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，l）为顶点的正方形，设正方形在直线：y=x及动直线：y=x+2a（la1）上方部分的面积为S（例如当a取某个值时，S为图中阴影部分的面积），试分别求出当a=0，a=1时，相应的S的值 5（10分）如图2615所示，DE是ABC的中位线，B90，AFBC在射线AF上是否存在点M，使MEC与ADE相像？若存在，请先确定点M，再证明这两个三角形相像；若不存在，请说明理由 6如图2616所示，在正方形ABCD中，AB=1，是以点B为圆心AB长为半径的圆的一段弧点E是边AD上的随意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F石为切点 当DEF45时，求证点G为线段EF的中点； 设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式；并写出函数的定义域； 图2617所示，将DEF沿直线EF翻折后得D1EF，当EF=56时，探讨AD1D与ED1F是否相像，假如相像，请加以证明；假如不相像，只要求写出结论，不要求写出理由。（图2618为备用图） 7（10分）取一张矩形的纸进行折叠，详细操作过程如下： 第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图2619（1）所示； 其次步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点B，得RtABE，如图2619（2）所示； 第三步：沿EB线折叠得折痕EF，如图2619所示；利用绽开图2619（4）所示探究： （l）AEF是什么三角形？证明你的结论 （2）对于任一矩形，根据上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由 8（10分）某校探讨性学习小组在探讨有关二次函数及其图象性质的问题时，发觉了两个重要结论一是发觉抛物线y=ax2+2x+3(a0)，当实数a改变时，它的顶点都在某条直线上；二是发觉当实数a改变时，若把抛物线y=ax2+2x+3(a0)的顶点的横坐标削减1a，纵坐标增加1a，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加1a，纵坐标增加1a，得到B点的坐标，则A、B两点肯定仍在抛物线y=ax2+2x+3(a0)上 请你帮助探求出实数a改变时，抛物线y=ax2+2x+3(a0)的顶点所在直线的解析式； 问题中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由； 在他们其次个发觉的启发下，运用“一般特别一般”的思想，你还能发觉什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立，请说明理由。 9已知二次函数的图象过A（3，0），B（1，0）两点 当这个二次函数的图象又过点以0，3）时，求其解析式； 设中所求M次函数图象的顶点为P，求SAPC：SABC的值； 假如二次函数图象的顶点M在对称轴上移动，并与y轴交于点D，SAMD：SABD的值确定吗？为什么？ 10（13分）如图2620所示，在RtABC中，ACB90°，BC的垂直平分线DE，交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AFCE 求证：四边形ACEF是平行四边形； 当B的大小满意什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论； 四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？ 中考数学二轮复习：探究性问题 六探究性问题 一、探究性问题是指命题中缺少肯定的题设或没有明确的结论,须要经过推断、补充、并加以证明的问题.其典型特点是不确定性.主要包括(1)条件探究型，(2)结论探究型，(3)存在性探究型等. 条件探究型是指结论已明确，须要探究发觉使结论成立的条件的题目；结论探究型是指在肯定的条件下无结论或结论不明确，须要探究发觉与之相应的结论的题目；而存在型探究题是指在肯定的前提下，需探究发觉某种数学关系是否存在的题目。 探究性问题由于它的题型新奇、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础学问，而且能考查学生的创新意识以及发觉问题、提出问题、分析问题并解决问题的实力，因而倍受关注。 探究性问题解法，依据已知条件，从基础学问和基本数学思想方法动身，结合基本图形，抓住本质联系进行探究，常用视察、试验、联想、归纳、类比等方法，进行分析、归纳、猜想、比较、推理等，直到得出答案。题目的答案也是多种多样的，有的题目有唯一解，有的题无解，也有的题要分几种状况探讨。 解结论探究型题的方法是由因导果；解条件探究型的方法是执果索因；解存在性探究题先假设要探究的问题存在，继而进行推导与计算，若得出冲突或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论。解题时应留意学问的综合运用。 二、理解驾驭 例一、已知：（如图）要使ABCAPB，须要添加的条件是_（只填一个）.(答案：ABP=C,或ABC=APC,或AB2=APAC) 说明：该图是初二几何的基本图形，是解决其他问题的基础，应牢记。 例二、如图，O与O1外切于点T，AB为其外公切线，PT为内公切线，AB与PT相交于点P,依据图中所给出的已知条件及线段,请写出一个正确结论,并加以证明.(本题将按正确答案的难易程度评分) 结论1:PA=PB=PT结论2:ATBT.(或AT2+BT2=AB2) 结论3:BAT=TBO1结论4:OTA=PTB 结论5:APT=BO1T结论6:BPT=AOT 结论7:OATPBT结论8:APTBO1T 设OT=R,O1T=r,结论9:PT2=Rr 结论10:AB=2Rr结论11:S梯形AOO1B=(R+r)Rr 结论12:以AB为直径的P必定与直线OO1相切于T点. 说明：你还能得出其它的结论吗？试试看。本题是由初三几何书上的例题改编的，对基本图形的再相识，对图形间的内在关系的深刻挖掘，有助于透彻理解学问。 例三、已知二次函数的图象经过点（，）、和轴交于点（，）和点，抛物线的顶点为. （）求这个函数的解析式； （）线段上是否存在点，使 分析：函数的解析式为 （）， 各点坐标分别为：（-3，6）、（-1，0）、（3，0）、 （-3，0）、（1，O）、（1，-2）. 设存在点（a，0），使CAB=CPD.作AEx轴于点E，则AEC和PFC都是等腰直角三角形，AC=62，PC=22，ACE=PCD=45°CAB=CPDABCPDCAC:，即:(3-a) 解之得:a=5/3.存在这样的点D(5/3,0),使CAB=CPD. 说明：本题是代数与几何结合的探究性题，涉及的学问点多，难点是寻求数与形的结合点，用到的数学思想方法多，如数形结合思想，方程思想，转化思想，待定系数法，配方法，采纳视察、试验、猜想、比较等方法，把角相等转化为三角形相像，利用对应边成比例的关系得出方程，从而解决问题。与函数有关的探究题假如所求的点在图象上，有时还要代入解析式，利用方程组来解决问题。 三、巩固训练 1、已知AC、AB是O的弦，ABAC,（如图）能否在AB上确定一点E，使AC2=AEAB 分析：作AM=AC，连结CM交AB于点E，连结CB，可证ACEABC，即可得出结论。 2、关于的方程x-（5k+1）x+k-2=0，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和为4？若存在，求出满意条件的k的值；若不存在，说明理由。 提示：设方程的两个实数根为x1、x2. 由根与系数关系，得x1+x2=5k+1，x1x2=k2-2. 由题意知得方程,化简得4k2-5k-9=0,k1=-1,k2=9/4(不合题意,舍去) 把k=-1代入根的判别式,=200. 存在满意条件的k,k=-1. 3、已知一次函数Y=-X+6和反比例函数Y=k/x（k0）.(1)k满意什么条件时,这两个函数在(2)设(1)中的两个公共点分别为A、，是锐角还是钝角？ 答案：（1）k9且k0： （2）分两种状况探讨当0k9时，是锐角；当k0时，是钝角。 四、拓展应用 1、如图,在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A起先向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D起先向点A以1厘米/秒的速度移动。假如P、Q同时动身，用t（秒）表示移动的时间（0t6）， 那么(1)当t为何值时，QAP为等腰三角形？ （2)求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论； (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相像？ 解：（1）对于任时刻的t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t。 当QA=AP时，QAP为等腰三角形，即6-t=2t，解得t=2（秒）， 当t=2秒时，QAP为等腰三角形， （2）在QAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12， SQAC=1/2QADC=1/2（6-t）12=36-6t. 在APC中,AP=2t,BC=6, SAPC=1/2APBC=1/22t6=6t. S四边形QAPC=SQAC+SAPC=(36-6t)+6t=36(厘米2) （3）略解：分两种状况探讨：当QA:AB=AP:BC时，QAPABC， 可解得t=1.2（秒） 当QA:BC=AP:AB时，PAQABC，可解得t=3（秒） 当t=1.2秒或t=3秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相像. 2、如图，已知在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC，交AB于点F，连结FC（ABAE）。 （1）AEF与ECF是否相像。若相像，证明你的结论；若不相像，说明理由。 （2）设AB/BC=k，是否存在这样的k值，使得AEF与ECF相像？ 若存在，证明你的结论； 若不存在，说明理由。 相像的探究性问题导学案 探究三角形相像的条件探究性问题班级姓名学号一、例题分析：1、如图，已知ABC=CDB=90°,AC=a，BC=b，当BD=时，ABC与CDB相像；2、如图，在ABC中，AB=24,AC=18,D是AC上一点，AD=12;在AB上取一点E，使得ADE与ABC相像，则AE的长为；3、如图，在ABC中，若点P是AB边上一点，过点P作直线不与直线AB重合，截得的三角形与原三角形相像，满意这样条件的三角形最多有条； 4、如图，在ABC中，C=90°,BC=8cm，ACAB=35,点P从点B动身，沿BC向点C以每秒2cm的速度移动；点Q从点C动身，沿CA向点A以每秒1cm的速度移动;(1)经过多少秒时，CPQCBA?(2)经过多少秒时，CPQ与CBA相像？ 5、（启东作业本68第14题）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC交AB于F，连接FC（ABAE）（1）AEF与EFC是否相像，若相像，证明你的结论；若不相像，请说明理由；（2）设，是否存在这样的值，使AEF与BFC相像？若存在，证明你的结论并求出的值；若不存在，说明理由 6、（I）如图点P在ABCD的对角线BD上，始终线过点P分别交BA、BC的延长线于点Q、S，交AD、CD于点R、T说明：PQPR=PSPT；（II）如图（1），图（2），当点P在ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQPR=PSPT是否仍旧成立？若成立，试给出说明；若不成立，试说明理由要求仅以图（1）为例进行说明； （III）如图（3），ABCD为正方形，A、E、F、G四点在同一条直线上，并且AE=6cm，EF=4cm，试以（I）所得结论为依据，求线段FG的长度 7、等腰三角形ABC中，AB=AC=8，BAC=120°，P为BC的中点小慧拿着含30°角的透亮三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转（1）如图（a），说明：当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，BPECFP；（2）将三角板绕点P旋转到图（b）的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F探究1：BPECFP还相像吗？（只需写出结论）探究2：连接EF，BPEPFE是否相像？请说明理由； 三、课后作业：1、如图，在梯形ABCD中，ABCD，A=90°，AB=3，CD=2，AD=7，在AD上是否存在点P，使PCD与PAB相像？若存在，求出DP的值；若不存在，请说明理由。 2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P从点A动身，沿AB向点B以每秒2cm的速度移动；点Q从点D动身，沿DA向点A以每秒1cm的速度移动，经过多少秒时，以Q、A、P为顶点的三角形与ABC相像？ 3、如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=3cm，BC=7cm，B=60°，P为下底BC上一点，（不与B、C重合）连结AP，过P点作PE交DC于E，使得APE=B。（1）说明：ABPPCE.（2）求等腰梯形的腰AB的长；（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DEEC=53？假如存在，求BP的长；假如不存在，请说明理由。 4、已知：如图（1），在ABCD中，O为对角线BD的中点过O的直线MN交直线AB于点M，交直线CD于点N；过O的另一条直线PQ交直线AD于点P，交直线BC于点Q，连接PN、MQ（1）试说明PON与QOM全等；（2）若点O为直线BD上随意一点，其他条件不变，则PON与QOM又有怎样的关系？试就点O在图（2）所示的位置，画出图形，说明你的猜想；（3）若点O为直线BD上随意一点（不与点B、D重合），设OD：OB，PN，MQ，则与之间的函数关系式为_ 5、已知AOB=90°，OM是AOB的平分线，按以下要求解答问题：将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D.在图甲中，说明：PC=PD；在图乙中，点G是CD与OP的交点，说明PODPDG.将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，始终角边与边OB交于点D，OD=1，另始终角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与OCD相像，在图丙中作出图形，试求OP的长. 第21页 共21页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页第 21 页 共 21 页