圆、扇形、弓形的面积(一).docx

圆、扇形、弓形的面积(一)圆、扇形、弓形的面积(二) 教学目标： 1、使学生在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积； 2、会计算一些简洁的组合图形的面积 3、通过弓形面积的计算培育学生视察、理解实力，综合运用学问分析问题和解决问题的实力； 4、通过运用弓形面积的计算解决实际问题，培育学生把实际问题抽象成数学问题的实力； 5、通过学生对弓形及简洁组合图形面积的计算，培育学生正确快速的运算实力 教学重点： 弓形面积的计算 教学难点： (1)简洁组合图形的分解 (2)从实际问题中抽象出数学模型 教学过程： 一、新课引入： 上一节我们复习了圆的面积，在它的基础上我们学习了扇形的面积，本节课就要在前一课的基础上学习弓形面积的计算 弓形是一个最简洁的组合图形之一，由于有圆的面积、扇形面积、三角形面积做基础，很简单计算弓形的面积 由于计算弓形的面积不像圆面积和扇形面积那样有公式，当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半也就是说要计算弓形的面积首先要视察这个弓形是怎么组合而成的，从而得到启发；一些组合图形的面积总要分解为几个规则图形的和与差来解决的方法所谓规则图形指的是有计算公式的图形因此弓形面积的计算以及受它启发的分解组合图形求面积的方法就是本节课的重点本节拟就三部分组成：1师生共同视察分解弓形，然后作有关的练习2运用弓形面积的计算解决实际问题3受分解弓形的启发分解一些简洁的图形 二、新课讲解： (复习提问)：1请回答圆的面积公式2请回答扇形的面积公 (以上三问应支配中下生回答)4请同学看图7-163，弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形，哪位同学记得弓形的定义？(支配中下生回答：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形) 所组的弓形它的面积能不能跟扇形面积联系上呢？(支配中上生回答：能，连结OA、OB)大家再视察图形，这个弓形的面积如何通过扇形 也就是说组成弓形的弧假如是劣弧，那么它的面积应当等于以此劣弧与半径组成的扇形面积减去这两半径与弦组成的三角形的面积 和半径OA、OB组成的图形是扇形吗？为什么？(支配中上生回答：是，因为它符合扇形的定义) 假如弦AB是O的直径，那么以AB为弦，半圆为弧的弓形的面积又是多少？(支配中下生回答：圆面积的一半) 于是我们得出结论：假如组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；假如组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；假如组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积也就是说：要计算弓形的面积，首先视察它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确 哪位同学知道要对这种题进行计算，首先要作什么工作？(支配中下 三角形AOB的面积怎么求？(支配中上生回答：过O作ODAB，垂 以只要解此AOD即可求出OD、AD的长，则SAOB可求) 请同学们把这题计算出来(支配一学生上黑板做，其余在练习本上 请同学们探讨探讨第2题，并计算出它的结果(支配中上生上黑板 (幻灯供应例题：)水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m求截面上有水的弓形的面积(精确到0.01m2) “水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你供应了什么数学信息？(支配中上生回答：O的半径是0.6m)“其中水面高是0.3m”又为你供应了什么信息？(支配中上生回答：弓形高CD是0.3m)“求截面上有水的弓形的面积为你供应什么信息？(支配中等生回答： 长，看看已知条件，你准备怎么办？(支配中上学生回答：因弓形高CD已知，半径已知，所以弦心距OD可求，依据垂径定理，RtAOD可解，即AOD的度数可求，所以AOB的度数可求n既然可求当然 请问AOB的面积又该如何求？(支配中等学生回答：通过解此AOD可求出AD的长，再据垂径定理可求AB的长，OD已求，所以SAOB可求) 请同学们完成这道应用题(支配一位中上学生到黑板做，其余学生在练习本上完成) 弓形面积虽然没有计算公式，但可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决，那么其它一些组合图形，不也可以用图形分解法来求其面积吗？ 幻灯示题：如图7-166，已知正ABC的边长为a，分别以A、B、 图形面积S 明显图形中阴影部分的面积无计算公式，因此必需将它转化为有公式图形的和或差来解决想想看，你准备如何求S阴？(支配中等生回答：S阴=S正ABC-3S扇) 正三角形的边长为a，明显S正ABC可求由于正ABC，所以 请同学们完成此题(支配一中上学生上黑板，其余在练习本上完成) 幻灯示题：已知：O的半径为R，直径ABCD，以B为圆心， 大家视察，图(7-167)中的阴影部分面积应当如何求？(支配中下生回 我的看法对还是不对？为什么？(支配举手的学生回答：图形BCAD不是扇形，因为扇形的定义是在同一个圆中，一条弧和过弧端点的两条半径 的半径因此将阴影面积看成两扇形的差是错误的) 请同学们根据正确思路完成此题(支配一中等学生上黑板，其余学生在练习本上做) 三、课堂小结： 哪位同学能为本节课作总结？(支配中上学生回答：1弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案2应用弓形面积解决实际问题3分解简洁组合图形为规则圆形的和与差) 四、布置作业 教材P183练习1、2；P188中12 圆、扇形、弓形学案 圆、扇形、弓形学案 教学目标： 1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积； 2、培育学生视察、理解实力，综合运用学问分析问题和解决问题的实力； 3、通过面积问题实际应用题的解决，向学生渗透理论联系实际的观点 教学重点：扇形面积公式的导出及应用 教学难点：对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立 教学活动设计： （一）概念与相识 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形弓形是一个最简洁的组合图形之一 （二）弓形的面积 提出问题：怎样求弓形的面积呢？ 学生以小组的形式探讨，沟通归纳出结论： （1）当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差； （2）当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和； （3）当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半 理解：假如组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；假如组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；假如组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积也就是说：要计算弓形的面积，首先视察它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确 （三）应用与反思 练习： (1)假如弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_； (2)假如弓形的弧所对的圆心角为300°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_ （学生独立完成，巩固新学问） 例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m求截面上有水的弓形的面积(精确到0.01m2) 老师引导学生并渗透数学建模思想，分析： （1）“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你供应了什么数学信息？ （2）求截面上有水的弓形的面积为你供应什么信息？ （3）扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？ 学生完成解题过程，并归纳三角形OAB的面积的求解方法 反思：要注意题目的信息，处理信息；归纳三角形OAB的面积的求解方法，依据条件特征，敏捷应用公式；弓形的面积可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决 例4、已知：O的半径为R，直径ABCD，以B为圆心，以BC为半径作求与围成的新月牙形ACED的面积S 解：， 有， ， 组织学生反思解题方法：图形的分解与组合；公式的敏捷应用 （四）总结 1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案； 2、应用弓形面积解决实际问题； 3、分解简洁组合图形为规则圆形的和与差 （五）作业教材P183练习2；P188中12 弧长和扇形的面积 弧长及扇形的面积 教学目标 (一)教学学问点 1经验探究弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题 (二)实力训练要求 1经验探究弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培育学生的探究实力 2了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用实力 (三)情感与价值观要求 1经验探究弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充溢着探究与创建，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性 2通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的亲密联系，激发学生学习数学的爱好，提高他们的学习主动性，同时提高大家的运用实力 教学重点 1经验探究弧长及扇形面积计算公式的过程 2了解弧长及扇形面积计算公式 3会用公式解决问题 教学难点 1探究弧长及扇形面积计算公式 2用公式解决实际问题 教学方法 学生相互沟通探究法 教具打算 2投影片四张 第一张：(记作§37A) 其次张：(记作§37B) 第三张：(记作§37C) 第四张：(记作§37D) 教学过程 创设问题情境，引入新课 师在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探究 新课讲解 一、复习 1圆的周长如何计算？ 2圆的面积如何计算？ 3圆的圆心角是多少度？ 生若圆的半径为r，则周长l2r，面积Sr2，圆的圆心角是360° 二、探究弧长的计算公式 投影片(§37A) 如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm (1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ 师分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的；转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转1°时传送距离的n倍 生解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2×1020cm； (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送cm； (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送n×cm 师依据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗？请大家相互沟通 生依据刚才的探讨可知，360°的圆心角对应圆周长2R，那么1°的圆心角对应的弧长为，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n× 师表述得特别棒 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为： l 下面我们看弧长公式的运用 三、例题讲解 投影片(§37B) 制作弯形管道时，须要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm) 分析：要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公式l可求得的长，其中n为圆心角，R为半径 解：R40mm，n110 的长R×4076.8mm 因此，管道的展直长度约为76.8mm 四、想一想 投影片(§37C) 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗 (1)这只狗的最大活动区域有多大？ (2)假如这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？ 师请大家相互沟通 生(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9； (2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积，1°的圆心角对应圆面积的，即×9，n°的圆心角对应的圆面积为n× 师请大家依据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式 生假如圆的半径为R，则圆的面积为R2，1°的圆心角对应的扇形面积为，n°的圆心角对应的扇形面积为n因此扇形面积的计算公式为S扇形R2，其中R为扇形的半径，n为圆心角 五、弧长与扇形面积的关系 师我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为lR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形R2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n半径R有关系，因此l和S之间也有肯定的关系，你能猜得出吗？请大家相互沟通 生lR，S扇形R2， R2RRS扇形lR 六、扇形面积的应用 投影片(§37D) 扇形AOB的半径为12cm，AOB120°，求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2) 分析：要求弧长和扇形面积，依据公式须要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告知了，因此这个问题就解决了 解：的长×1225.1cm S扇形×122150.7cm2 因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2 课堂练习 随堂练习 课时小结 本节课学习了如下内容： 1探究弧长的计算公式lR，并运用公式进行计算； 2探究扇形的面积公式SR2，并运用公式进行计算； 3探究弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方 课后作业 习题310 活动与探究 如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6cm，的长为10cm，又AC12cm，求阴影部分ABDC的面积 分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差依据扇形面积SlR，l已知，则须要求两个半径OC与OA，因为OCOAAC，AC已知，所以只要能求出OA即可 解：设OAR，OCR12，On°，依据已知条件有： 得 3(R12)5R，R18 OC181230 SS扇形CODS扇形AOB×10×30×6×1896cm2 所以阴影部分的面积为96cm2 板书设计 §37弧长及扇形的面积 一、1复习圆的周长和面积计算公式； 2探究弧长的计算公式； 3例题讲解； 4想一想； 5弧长及扇形面积的关系； 6扇形面积的应用 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 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