上海市2018届高三数学一轮复习专题突破训练：专题：圆锥曲线(共41页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上高 中 数 学上海历年高考经典真题专题汇编专 题： 圆锥曲线姓 名 ： 学 号 ： 年 级 ： 专题7：圆锥曲线一、填空、选择题1、（2016年上海高考）已知平行直线，则的距离_1、【答案】【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得2、（2015年上海高考）抛物线y2=2px（p0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2、解：因为抛物线y2=2px（p0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2故答案为：23、（2014年上海高考）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .3、【解析】：椭圆右焦点为，即抛物线焦点，所以准线方程4、（虹口区2016届高三三模）若双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的焦距等于 4、答案65、（浦东新区2016届高三三模）抛物线的准线方程是 5、【答案】【解析】，则其准线方程为 6、（杨浦区2016届高三三模）已知双曲线的两个焦点为、，为该双曲线上一点，满足，到坐标原点的距离为，且，则 6、答案4或97、（虹口区2016届高三三模）过抛物线的焦点F的直线与其相交于A，B两点，O为坐标原点若则的面积为 7、答案28、（浦东新区2016届高三三模）直线与抛物线至多有一个公共点，则的取值范围是 8、【答案】【解析】由题意知：直线与抛物线的交点个数为0或1个。由，显然满足；当时，由，由图像知：所以，综上所述，的取值范围是。9、（浦东新区2016届高三三模）设为双曲线上的一点，是左右焦点，则的面积等于（ ）A. B. C. D.9、【答案】C【解析】利用“焦点三角形的面积公式”。，求得面积10、（崇明县2016届高三二模）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的标准方程为11、（奉贤区2016届高三二模）双曲线的一条渐近线与直线垂直，则_12、（虹口区2016届高三二模）如图, 的两个顶点，过椭圆的右焦点作轴的垂线，与其交于点C. 若(为坐标原点)，则直线AB的斜率为_. 13、（黄浦区2016届高三二模）若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为 14、（静安区2016届高三二模）已知双曲线的渐近线与圆没有公共点， 则该双曲线的焦距的取值范围为 .15、（静安区2016届高三上学期期末）已知抛物线的准线方程是，则 .16、（普陀区2016届高三上学期期末）设是双曲线上的动点，若到两条渐近线的距离分别为，则_.17、（杨浦区2016届高三上学期期末）抛物线的顶点为原点，焦点在轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于点，若AB中点的横坐标为3，则抛物线的方程为_.18、（宝山区2016届高三上学期期末）抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 19、（松江区2016届高三上学期期末）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为 ( ) 10、11、12、13、14、 15、116、 17、 18、 19、A二、解答题1、（2016年上海高考） 有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图（1） 求菜地内的分界线的方程（2） 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值1、【答案】（1）（）（2）五边形面积更接近于面积的“经验值”【解析】试题分析：（1）由上的点到直线与到点的距离相等，知是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分（2）计算矩形面积，五边形面积进一步计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可试题解析：（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（）（2）依题意，点的坐标为 所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积.2、（2016年上海高考）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率. 2、【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（1）设根据是等边三角形，得到，解得（2）（2）设，直线与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据与双曲线交于两点，可得，且设的中点为由，计算，从而得出的方程求解试题解析：（1）设由题意，因为是等边三角形，所以，即，解得故双曲线的渐近线方程为（2）由已知，设，直线显然由，得因为与双曲线交于两点，所以，且设的中点为由即，知，故而，所以，得，故的斜率为3、（2015年上海高考）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为，求面积S的值4、（2014年上海高考）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记. 若，则称点被直线分割. 若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分割，则称直线为曲线的一条分割线.(1) 求证：点被直线分割；(2) 若直线是曲线的分割线，求实数的取值范围；(3) 动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线. 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线.4、【解析】：（1）将分别代入，得 点被直线分割 （2）联立，得，依题意，方程无解， ，或 （3）设，则，曲线的方程为 当斜率不存在时，直线，显然与方程联立无解，又为上两点，且代入，有，是一条分割线；当斜率存在时，设直线为，代入方程得：，令，则，当时，即在之间存在实根，与曲线有公共点当时，即在之间存在实根，与曲线有公共点直线与曲线始终有公共点，不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线5、（虹口区2016届高三三模）设椭圆，定义椭圆的“相关圆”为:.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，且椭圆的短轴长与焦距相等.（1）求椭圆及其“相关圆”的方程；（2）过“相关圆”上任意一点作其切线 ，若 与椭圆交于两点，求证:为定值（为坐标原点）；(3) 在（2）的条件下，求面积的取值范围.5、解：（1）因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以，又因为椭圆的短轴长与焦距相等，所以. 2分故椭圆的方程为：，其“相关圆”的方程为：. 4分 证：（2）（i）当直线的斜率不存在时，不妨设其方程为，则，所以. 6分（ii）当直线的斜率存在时，设其方程为，并设，则由得,即,8分故=,即 且 由直线与 “相关圆”E相切，得, 即8分 从而 综合上述，得 10分解：（3）由于所以求的取值范围，只需求出弦长的取值范围. 当直线的斜率不存在时，由（2）的（i），知； 12分当直线的斜率存在时， （i）当时,； 14分（ii）当时, 因为，所以故，当且仅当时， 于是的取值范围为 因此的取值范围为 16分6、（浦东新区2016届高三三模）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，椭圆的长半轴长为，短半轴长为，若，则称椭圆与椭圆是相似椭圆。已知椭圆，其左顶点为，右顶点为。（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点作斜率为的直线与椭圆只有一个公共点，当为何值时，取得最小值，并求出最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆，椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上。6、【解析】（1）由题意得或，分别解得或（2）由题意知：，直线，直线由得：，因为直线与椭圆仅有一个公共点，则由得：，因为直线与椭圆仅有一个公共点，则由解得：代入得：，所以此时，即（3）由题意知：，所以。且，。设垂心，则，即。又点在上，有。则，所以的垂心在椭圆上。7、（奉贤区2016届高三二模）已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为（1）求椭圆的标准方程；（2）不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、的斜率依次成等比数列，问：直线是否定向的，请说明理由7、解：（1）由已知得 3分解得 5分椭圆的标准方程为 6分（2）(理)由题意可设直线的方程为：，联立，消去并整理，得： 7分计算 8分此时设，则， 9分于是 10分又直线的斜率依次成等比数列， 11分 12分 所以是不定向的， 13分方向向量 13分(2)文可得 8分设，则 9分 11分 13分8、（虹口区2016届高三二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，都在双曲线上，直线与轴相交于点，设坐标原点为 (1) 求双曲线的方程，并求出点的坐标（用、表示）；(2) 设点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点问：在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由(3) 若过点的直线与双曲线交于两点，且，试求直线 的方程8、解：（1）由已知，得故双曲线的方程为 3分为直线AM的一个方向向量，直线AM的方程为它与轴的交点为 5分（2）由条件，得且为直线AN的一个方向向量，故直线AN的方程为它与轴的交点为 7分 假设在轴上存在定点，使得,则由及得 故即存在定点，其坐标为或满足题设条件. 10分 (3) 由知，以为邻边的平行四边形的对角线的长相等，故此四边形为矩形，从而 12分 由已知，可设直线的方程为并设则由 得 由及得 （*）由 14分得故符合约束条件（*）. 因此，所求直线的方程为 16分9、（黄浦区2016届高三二模）对于双曲线，若点满足，则称在的外部；若点满足，则称在的内部；（1）若直线上的点都在的外部，求的取值范围；（2）若过点，圆在内部及上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求、满足的关系式及的取值范围；（3）若曲线上的点都在的外部，求的取值范围；9、解（1）由题意，直线上点满足，即求不等式的解为一切实数时的取值范围（1分）对于不等式，当时，不等式的解集不为一切实数，（2分）于是有解得故的取值范围为（4分）（2）因为圆和双曲线均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及、轴正半轴的情况由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为 将，代入双曲线方程，得（*），（6分）又因为过点，所以，（7分）将代入（*）式，得（9分）由，解得因此，的取值范围为（10分）（3）由，得将代入，由题设，不等式对任意非零实数均成立（12分）其中令，设，（）当时，函数在上单调递增，不恒成立；（14分）当时，函数的最大值为， 因为，所以；（16分）当时，（17分）综上，解得因此，的取值范围为（18分）10、（静安区2016届高三二模）已知分别是椭圆（其中）的左、右焦点，椭圆过点且与抛物线有一个公共的焦点（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，求线段的长度10、（1）抛物线的焦点为 1分所以椭圆的左焦点为， ，2分又，得，解得（舍去）4分故椭圆的方程为。6分（2）直线的方程为 7分联立方程组消去并整理得 9分设，故， 10分则12分11、（嘉定区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系内，动点到定点的距离与到定直线的距离之比为（1）求动点的轨迹的方程；（2）若轨迹上的动点到定点（）的距离的最小值为，求的值（3）设点、是轨迹上两个动点，直线、与轨迹的另一交点分别为、，且直线、的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由11、（1）设，由题意， （2分）化简得， （3分）所以，动点的轨迹的方程为 （4分）（2）设，则， （2分）当，即时，当时，取最小值，解得，此时，故舍去 （4分）当，即时，当时，取最小值，解得，或（舍） （6分）综上，（3）解法一：设，则由，得，（1分），因为点、在椭圆上，所以，所以，化简得 （2分）当时，则四边形为矩形，则，由，得，解得， （3分）当时，直线的方向向量为，直线的方程为，原点到直线的距离为所以，的面积， 根据椭圆的对称性，四边形的面积，（4分）所以，所以所以，四边形的面积为定值 （6分）解法二：设，则，由，得， （1分）因为点、在椭圆上，所以，所以，化简得 （2分）直线的方程为，点到直线的距离，的面积， （3分）根据椭圆的对称性，四边形的面积，（4分）所以， ，所以所以，四边形的面积为定值 （6分）解法三：设，则，由，得， （1分）因为点、在椭圆上，所以，所以，化简得 （2分）的面积， （3分）根据椭圆的对称性，四边形的面积，（4分）所以，所以，所以所以，四边形的面积为定值 （6分）12、（金山区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆，设点 是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为(1) 若直线互相垂直，且点在第一象限内，求点的坐标；(2) 若直线的斜率都存在，并记为，求证：12、解：(1)由题意得：圆的半径为，因为直线互相垂直，且与圆相切，所以四边形OPRQ为正方形，故，即 3分又在椭圆C上，所以5分由及在第一象限，解得,7分(2)证明：因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x均与圆R相切，8分所以，化简得同理有10分所以k1、k2是方程的两个不相等的实数根，所以，11分又因为在椭圆C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=014分13、（静安区2016届高三上学期期末）设P1和P2是双曲线上的两点，线段P1P2的中点为M，直线P1P2不经过坐标原点O. (1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2，求证:k1k2=；(2)若双曲线的焦点分别为、，点P1的坐标为(2，1) ，直线OM的斜率为，求由四点P1、 F1、P2、F2所围成四边形P1 F1P2F2的面积. 13、(1)解法1：设不经过点O的直线P1P2方程为，代入双曲线方程得：. 设 P1坐标为，P2坐标为，中点坐标为M (x,y),则， ，所以，k1k2=。另解：设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，中点M (x,y),则 且（1）-（2）得：。因为,直线P1P2和直线OM的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)¹0，等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2)，得：即k1k2=。6分（2）由已知得,求得双曲线方程为， 直线P1 P2斜率为， 直线P1 P2方程为, 代入双曲线方程可解得 (中点M坐标为. 面积. 另解: 线段P1 P2中点M在直线上.所以由中点M(x,y),可得点P2的坐标为,代入双曲线方程可得,即，解得（），所以。面积.14、（闵行区2016届高三上学期期末） 已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线的焦点重合（1）求椭圆的方程；（2）斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，设点，的面积为，求的值； （3）若直线过点（），且与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，直线的纵截距为，证明：为定值.14、解（1）设椭圆的方程为，由题设得，2分，椭圆的方程是 4分（2）设直线，由得 与抛物线有两个交点，则 6分到的距离，又, ，故 10分（3），点关于轴的对称点为，则直线，设得直线，设得14分，又，16分15、（青浦区2016届高三上学期期末）已知椭圆的对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，以为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于两点，且椭圆上存在点满足，求的值15、解：（1）因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，即 又椭圆的对称轴为坐标轴，所以设椭圆方程为,且 又以为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切即,所以椭圆的方程是（2）设， 又， 即在椭圆上,即 参考答案一、填空、选择题1、【答案】【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得2、解：因为抛物线y2=2px（p0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2故答案为：23、【解析】：椭圆右焦点为，即抛物线焦点，所以准线方程4、65、【答案】【解析】，则其准线方程为 6、4或97、28、【答案】【解析】由题意知：直线与抛物线的交点个数为0或1个。由，显然满足；当时，由，由图像知：所以，综上所述，的取值范围是。9、【答案】C【解析】利用“焦点三角形的面积公式”。，求得面积10、11、12、13、14、15、116、17、18、19、A二、解答题1、【答案】（1）（）（2）五边形面积更接近于面积的“经验值”【解析】试题分析：（1）由上的点到直线与到点的距离相等，知是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分（2）计算矩形面积，五边形面积进一步计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可试题解析：（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（）（2）依题意，点的坐标为 所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积.2、【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（1）设根据是等边三角形，得到，解得（2）（2）设，直线与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据与双曲线交于两点，可得，且设的中点为由，计算，从而得出的方程求解试题解析：（1）设由题意，因为是等边三角形，所以，即，解得故双曲线的渐近线方程为（2）由已知，设，直线显然由，得因为与双曲线交于两点，所以，且设的中点为由即，知，故而，所以，得，故的斜率为3、4、【解析】：（1）将分别代入，得 点被直线分割 （2）联立，得，依题意，方程无解， ，或 （3）设，则，曲线的方程为 当斜率不存在时，直线，显然与方程联立无解，又为上两点，且代入，有，是一条分割线；当斜率存在时，设直线为，代入方程得：，令，则，当时，即在之间存在实根，与曲线有公共点当时，即在之间存在实根，与曲线有公共点直线与曲线始终有公共点，不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线5、解：（1）因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以，又因为椭圆的短轴长与焦距相等，所以. 2分故椭圆的方程为：，其“相关圆”的方程为：. 4分 证：（2）（i）当直线的斜率不存在时，不妨设其方程为，则，所以. 6分（ii）当直线的斜率存在时，设其方程为，并设，则由得,即,8分故=,即 且 由直线与 “相关圆”E相切，得, 即8分 从而 综合上述，得 10分解：（3）由于所以求的取值范围，只需求出弦长的取值范围. 当直线的斜率不存在时，由（2）的（i），知； 12分当直线的斜率存在时， （i）当时,； 14分（ii）当时, 因为，所以故，当且仅当时， 于是的取值范围为 因此的取值范围为 16分6、【解析】（1）由题意得或，分别解得或（2）由题意知：，直线，直线由得：，因为直线与椭圆仅有一个公共点，则由得：，因为直线与椭圆仅有一个公共点，则由解得：代入得：，所以此时，即（3）由题意知：，所以。且，。设垂心，则，即。又点在上，有。则，所以的垂心在椭圆上。7、解：（1）由已知得 3分解得 5分椭圆的标准方程为 6分（2）(理)由题意可设直线的方程为：，联立，消去并整理，得： 7分计算 8分此时设，则， 9分于是 10分又直线的斜率依次成等比数列， 11分 12分 所以是不定向的， 13分方向向量 13分(2)文可得 8分设，则 9分 11分 13分8、解：（1）由已知，得故双曲线的方程为 3分为直线AM的一个方向向量，直线AM的方程为它与轴的交点为 5分（2）由条件，得且为直线AN的一个方向向量，故直线AN的方程为它与轴的交点为 7分 假设在轴上存在定点，使得,则由及得 故即存在定点，其坐标为或满足题设条件. 10分 (3) 由知，以为邻边的平行四边形的对角线的长相等，故此四边形为矩形，从而 12分 由已知，可设直线的方程为并设则由 得 由及得 （*）由 14分得故符合约束条件（*）. 因此，所求直线的方程为 16分9、解（1）由题意，直线上点满足，即求不等式的解为一切实数时的取值范围（1分）对于不等式，当时，不等式的解集不为一切实数，（2分）于是有解得故的取值范围为（4分）（2）因为圆和双曲线均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及、轴正半轴的情况由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为 将，代入双曲线方程，得（*），（6分）又因为过点，所以，（7分）将代入（*）式，得（9分）由，解得因此，的取值范围为（10分）（3）由，得将代入，由题设，不等式对任意非零实数均成立（12分）其中令，设，（）当时，函数在上单调递增，不恒成立；（14分）当时，函数的最大值为， 因为，所以；（16分）当时，（17分）综上，解得因此，的取值范围为（18分）10、（1）抛物线的焦点为 1分所以椭圆的左焦点为， ，2分又，得，解得（舍去）4分故椭圆的方程为。6分（2）直线的方程为 7分联立方程组消去并整理得 9分设，故， 10分则12分11、（1）设，由题意， （2分）化简得， （3分）所以，动点的轨迹的方程为 （4分）（2）设，则， （2分）当，即时，当时，取最小值，解得，此时，故舍去 （4分）当，即时，当时，取最小值，解得，或（舍） （6分）综上，（3）解法一：设，则由，得，（1分），因为点、在椭圆上，所以，所以，化简得 （2分）当时，则四边形为矩形，则，由，得，解得， （3分）当时，直线的方向向量为，直线的方程为，原点到直线的距离为所以，的面积， 根据椭圆的对称性，四边形的面积，（4分）所以，所以所以，四边形的面积为定值 （6分）解法二：设，则，由，得， （1分）因为点、在椭圆上，所以，所以，化简得 （2分）直线的方程为，点到直线的距离，的面积， （3分）根据椭圆的对称性，四边形的面积，（4分）所以， ，所以所以，四边形的面积为定值 （6分）解法三：设，则，由，得， （1分）因为点、在椭圆上，所以，所以，化简得 （2分）的面积， （3分）根据椭圆的对称性，四边形的面积，（4分）所以，所以，所以所以，四边形的面积为定值 （6分）12、解：(1)由题意得：圆的半径为，因为直线互相垂直，且与圆相切，所以四边形OPRQ为正方形，故，即 3分又在椭圆C上，所以5分由及在第一象限，解得,7分(2)证明：因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x均与圆R相切，8分所以，化简得同理有10分所以k1、k2是方程的两个不相等的实数根，所以，11分又因为在椭圆C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=014分13、(1)解法1：设不经过点O的直线P1P2方程为，代入双曲线方程得：. 设 P1坐标为，P2坐