专插本高等数学例题和习题ch5常微分方程(共16页).doc
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专插本高等数学例题和习题ch5常微分方程(共16页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上第五章 常微分方程(简记ODE)本章主要知识点l 可分离变量的ODEl 一阶线性非齐次常微分方程及推广l 二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程l 一些特殊类方程 一、可分离变量的ODE1基本型的解法基本型:基本解法: 例5.1 解:通解为: 将得: 得 例5.2 解:,得:例5.3解:,得:例5.4已知满足,求。解:由知。方程两边对求导得,分离变量求得,将代入得,。2可转化的可分离变量的齐次方程方法:令。例5.5解:令 ,将代入即可。例5.6解: ,令 即,将代入即可。二、一阶线性齐次方程(ODE)1基本型公式公式:注:应用此公式要注意:不定积分不带C;基本型又称标准型。例5.7解:,其中。,由公式得,。例5.8解:,将代入得,。2Bernoulli方程方法:令 ,方程可简化为 例5.9解:令 ,则,得 , 故,例5.10解:令,代入即得: 即三、二阶常系数线性ODE1齐次方程,其中为常数。求解步骤:1)特征方程 ,求根。 2) 互异实根, ,; ,。其中为任意实数。例5.11解:得=4,-1,(其中为任意实数)例5.12解:,例5.13解:,。例5.14解:, 。2非齐次方程其中,表示次多项式。解结构:齐次方程通解特解。特解形式设定如下: (1)识别;(2)计算,和特征根相等个数,。(3)特解可设为,其中为次多项式。注:这一公式是将通常教科书上若干公式统一而成。例5.15解:(),齐次通解(),又设,代入原方程得,。例5.16解:(),(),可设计算得: 代入原方程得,。例5.17解:(),()的特解,。又设代入原方程得解得;(3)的特解 可设,代入得,D,。 综合得。例5.18设其中为连续函数,求的具体表达式。解:原式两边求导得:再求导得:,即且(1) (2)设特解为代入原方程得 。由条件得,四、特殊类方程(1),等 方法:直接积分例5.19解: 积分, 再积分,(2) 不显含 方法:令,则,则得到,降为一阶方程例5.20解:令 , ,如果,则, 或分离积分法 如果,那么 (其包含在上述解之中)方程通解 (其中,为任意实数)。单元练习题51下列微分方程哪一个是线性的()(A) (B) (C) (D) 2方程,它是 阶微分方程。3方程的通解是 。4方程的特解可设为 。5求解下列常微分方程:6求一曲线方程,此曲线在任一点处的切线斜率等于,并且曲线通过原点。7设曲线上任一点处切线与直线垂直,求这个曲线的方程8一链条挂在一个无摩擦的钉上,假定运动开始时,链条一边垂下8m,另一边垂下10m,试问整个链条滑过钉子需要多少时间?9设,为连续函数。求。10设处处可导,且并对任意实数x和y有 求.11有连结A(0,1),B(1,0)两点的一条凸曲线,它位于AB弦的上方。P(x,y)为该曲线上的任一点。已知该曲线弧与AP之间的面积为。求该曲线方程。历年真考题1(2001)微分方程的通解为: 。2(2001)求微分方程,满足初始条件的特解。3(2002)微分方程的通解是( )A. B. C. D. 4(2002)设满足微分方程,且,则 。5(2002)求,满足的解。6(2003)满足的解是( )A. B. C. D. 7(2003)解微分方程的通解。8(2004)微分方程的特解的形式应为 A. B. C. D. 9(2004)设函数可导,且满足方程,求。10(2005)求微分方程满足初始条件的特解。本章测试题1微分方程的阶数 。2的通解是 。3 的特解 形如 。4微分方程的通解是( ) 5 6 7(1)(2)8设为连续函数且满足。求。9已知是的解。 (1)求p,q (2)写出该方程的通解;并求满足条件的特解。单元练习题5答案1 C 2二阶 3 45. (1)解:。 (2) 。 (3)令,即。 (4) 。 (5) , 将代入, (6) 令 , , 。即 ,为任意常数(7)令 若,即 (不合定解条件) 若, ,将,代入,代入,得,即(8)解:(1)齐次方程通解 ,又设 代入原方程得 得到:。(9)解:(1)齐次方程通解。(2) ,可设,得到,6解: 且,即, , ,由 得所以 7设原曲线的方程为 则 即 8设左边绳x处在t时刻滑过钉子,此时, 且满足定解条件 ,解得:令得到 解得:。910令得f(0)=0 即,解得。11设曲线方程为,则梯形OAPQ的面积,依题意得:,两边对x求导得,解得。本章测试答案1. 一阶 2. 3. 4.A5.,设,原方程解为6(1)(2)设,代入得,7 (1)令则,(2)令,。积分得,积分,或,其中为任何实数。8求导得:,解得。9特征根,则特征方程为,方程为 故有。 通解; 特解。专心-专注-专业