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抽样方法与总体分布的估计学习导引刘洪明本章“统计”部分是在初中“统计初步”和高中“概率”内容的基础上来学习的，所介绍的抽样方法比初中更系统和详细，而用样本频率分布去估计总体分布，更是初中相关内容的继续和深入。一、学习目标1.理解三种抽样方法：简单随机抽样，系统抽样，分层抽样的概念、各自的特点、相互联系、适用范围、操作方法，会根据具体问题中的条件、要求，选用恰当的抽样方法从总体中抽取样本。2.会编制样本频率分布表，画出频率分布条形图或直方图，用样本频率分布去估计总体分布。二、内容解析1.抽样方法（1）简单随机抽样：当总体中的个体较少时，可采用逐个地、不放回且等概率地抽取样本。具体操作时可用抽签法或随机数表法。（2）系统抽样：当总体中的个体较多时，可将总体编号，按需要抽取的样本数均分成若干段，再按照一定的规则在每一段中抽取一个个体。（3）分层抽样：当总体是由差异明显的几个部分组成的，可将总体按差异分成几个部分（层），再按各部分在总体中所占比例进行抽样。应该注意到，在系统抽样和分层抽样中，最后仍需用简单随机抽样来完成。因此，简单随机抽样是其它各种抽样的基础。另外，不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的。2.总体分布的估计在通常情况下，一个总体中的个体是相当多的，甚至是无穷多的。如果逐个考查每个个体，往往是困难的，甚至是办不到的。这就要求我们运用上述的抽样方法，抽取一个样本，用样本的频率分布来对总体进行估计。样本的容量越大，这种估计越精确。当总体中的个体取不同值很少时，可由不同取值及相应的频率列出分布表，并用相应的条形图来表示。当总体中的个体取值较多时，可将不同取值分别放入相应的区间内，列出不同区间内取值的频率分布表，并依此画出相应的直方图。有了样本频率分布表或直方图，就容易估计出总体的各种属性，对总体作出推断。三、典型例题例1.（见教科书P22第4行）现要用系统抽样的方法，从一个个体数为1003的总体中，抽取一个容量为50的样本，那么总体中的每个个体被抽到的概率是（）A.B.C.D.解：由于1003除以50，得余数为3，因此，在用系统抽样时，首先应从总体中剔除3个个体，可用简单随机抽样的方法（可利用随机数表）。那么对于总体中某个个体a而言，未被剔除而被留在剩余总体内的概率为。接着进行系统抽样，从1000个个体中抽取50个，则个体a被抽到的概率为。综上，个体a被抽到的概率为故应选D。说明：本题容易错误认为：删除了3个个体后，从1000个个体中用系统抽样的方法抽取50个，每个个体被抽到的概率为。实际上，后面的系统抽样，是在删除3个个体的前提下来进行的（即条件概率）。例2.（见教科书P1913页）从个体数为N的总体中，抽取一个容量为n的样本，求总体中任一指定个体a被抽到的概率。如果（1）采用逐个抽取的方法；（2）采用一次性抽取的方法。解：我们知道，从个体数为N的总体中，抽取一个个体，那么第N个个体被抽到的概率为，未被抽到的概率为。（1）在逐个抽取n个个体时，a被抽到的情况及其概率情况如下：第1次被抽到，；第2次被抽到，；第3次被抽到，；第n次被抽到由于以上几个事件彼此互斥，根据互斥事件的概率加法公式，个体a被抽到的概率为（2）在一次性抽取n个个体时，个体a被抽到时，只要再从剩余的（N1）个个体中，抽取个个体即可。因此，这时的概率为以上结果说明，“逐个抽取”与“一次性抽取”，对于总体中的每个个体而言，被抽到的概率是相同的。因此，简单随机抽样确实体现了抽样的客观公平性。而其它更复杂的抽样，又以简单随机抽样为基础，就使得这些抽样方法也具有客观公平性。例3.某生产企业共有800人，其中管理人员40人，技术人员120人，一线工人640人。现要调查了解全厂人员的（1）身高与血型情况；（2）家庭人均生活费用情况。试用恰当的抽样方法抽取一个容量为40的样本，并说明操作过程。解：（1）身高和血型，与其职务无关，全厂人员又很多，故应采用系统抽样法。将全厂人员按1至800编号，再按编号顺序分成40组，每组20人。先在第1组中用抽签法抽出k号（1k20），其余组中的（n1，2，39）号也都抽出。这样就得到了一个容量为40的样本。（2）家庭人均生活费用的差别与其职务有关，故应采用分层抽样的方法。三类人员的人数比为40：120：6401：3：16，所以各抽人，人，人。又由于管理人员、技术人员人数较少，可采用抽签法（技术人员也可用随机数表法）。而工人人数很多，应采用系统抽样法，分成32组，从每组的20人中抽出1人。具体操作可仿照（1）题。从本例可见，尽管总体不变，由于抽取的样本所涉及的内容不同，那么对总体中个体间差异的理解就不同，因而采用的抽样方法也随之改变。例4.（见教科书P26中部至P27）试说明频率分布表的制作过程。解：这类问题可按以下步骤操作：（1）求极差：查找最大值是25.56（第4行第3个数），最小值是25.24（第8行第2个数），则极差是。（2）确定组数与组距：为使组数在10个左右，由，可取组数为11，组距为0.03。（3）确定分点数：为了避免出现某些数据恰好是分点，可使分点数比各数据多一位小数，并且使第1个分点数比最小值25.24稍小一点，可取为25.235。则各组的范围依次是25.235，25.265），25.265，25.295），25.535，25.565）。（4）将总体中各个体（数据）归入到相应小组中（个数累计），数出各组中样本个数（频数），再分别计算各组中。（5）列出频率分布表（见教科书P27）。（6）画出频率分布直方图（见教科书P27）。