2022年东北师大附属中学高三第一轮复习教案不等式选讲.docx

精品_精品资料_一、基本学问点： 阅读选讲 4-5 1. 含有参数不等式的解法例 1: 解关于 x 的不等式x24 mx4m 2m3x2 m m3 解：原不等式等价于|x2 m|m3当m30即m3时x2 mm3 或x3 m3 或xm36 当m30即m3时| x6|0x当m30即m3时x R.2例 2、解关于 x 的不等式cotx23x2,1 0解：当cot1即0,4 时x23 x20x>2 或 x<1 当cot1即 =4时x 201<x<2 当cot1,0 即4,2 时x23x2. 不等式的证明方法: 比较法（差0 法,商 1 法）2.例 3; 照实数x1,求证：3 1x2x41xx2证明：接受差值比较法： =31x2x41x2x222x2 x22x333 x23x41x.x4 =2x4x3x1 1 3 =2x1 2x2x122 x1 2x =24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 1 2 3x ,1 从而 x 1 0 , 且 x ,02 42 x 1 2 x 1 2 3 ,02 43 1 x 2x 4 1 x x 2 2 .争辩 ：如题设中去掉 x 1 这一限制条件,要求证的结论如何变换？例 4、已知 a , b R , 求证 a a b b a b b a .此题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行.证明： 1 差值比较法：留意到要证的不等式关于ba,b对称,不妨设ab.0ab00,从而原不等式得证.aabbabb aabb b aabbab2）商值比较法：设ab,01.故原不等式得证.a,1ab0 ,aabbaabbaabb注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法.用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判定符号.3不等式的证明方法：分析法、综合法例 1、a,b都是正数.求证：aB2b.2可得ba证明：由重要不等式2 Ab2 .2ABab2ababa本例的证明是综合法.例 2、设a,0 b0,求证a3b3a2bab2.b2abab 成立,证法一分析法ba2aba要证a33 ba2bab2成立 .只需证0成立,又因ab0,只需证a2abb2ab成立,又需证a22abb2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即需证ab 20成立 .而ab20明显成立 . 由此命题得证.b2abab,证法二综合法ab 20a22abb20a2abb2ab留意到a,0 b0,即ab0,由上式即得aba2ab从而a 3b3a2bab2成立.议一议： 依据上面的例证,你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例 3、已知 a,b,m 都是正数,并且aa.b求证：ama.（1）bmb证法一要证（ 1）,只需证b am bm （ 2）要证（ 2）,只需证bmam（3）要证（ 3）,只需证ba（4）已知（ 4）成立,所以（1）成立.上面的证明用的是分析法.下面的证法二接受综合法.证 法 二 因 为 b a , m 是 正 数 , 所 以 bm am 两 边 同 时 加 上 ab 得b a m a b m 两边同时除以正数 b b m 得（ 1）.读一读： 假如用 P Q 或 Q P 表示命题 P 可以推出命题 Q（命题 Q 可以由命题 P 推出）,那么接受分析法的证法一就是（1） 2 3 4 .而接受综合法的证法二就是 4 3 2 1 .如 果 命 题 P 可 以 推出命 题 Q , 命 题 Q 也 可以 推 出 命题 P, 即同 时有P Q , Q P,那么我们就说命题 P 与命题 Q 等价,并记为 P Q . 在例 2 中,由于 b , m , b m 都是正数,实际上 1 2 3 4 .（ 4） .含参数不等式的恒成立“ 含参数不等式的恒成立”的问题, 是近几年高考的热点,它往往以函数、 数列、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三角函数、解析几何为载体具有确定的综合性,解决这类问题,主要是运用等价转化 的数学思想：即一般的,如函数fx在定义域为D,就当 xD 时,有. ,等fxM恒成立fxminM.fxM恒成立fxmaxM因而 ,含参数不等式的恒成立问题常依据不等式的结构特点,恰当的构造函数价转化为含参数的函数的最值争辩. 1定义在 R 上的函数fx既是奇函数,又是减函数,且当,02时,有fcos22msinf2 m20恒成立,求实数m 的取值范畴 . 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析 : 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f,将“ 抽象函数” 问题转化为常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_见的含参的二次函数在区间0, 1上恒为正的问题.而对于fxf0 在给定区间 a,b上恒成立问题可以转化成为x中含有参数,就fx在a,b 上的最小值问题,如要求对参数进行争辩.【解析】由fcos22msinf2 m20得到：o gtt=m fcos22msinf2 m2由于fx为奇函数,故有fcos22msinf2m2恒成立,恒成立o ·t 又由于fx为 R 减函数,1 图 1 2 m2对0 ,2从而有cos 22msingt设sint,就t22mt2 m10对于t1,0恒成立,·t t=m 1 图 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在设函数 g t t 2 2 mt 2 m 1 ,对称轴为 t m . 当 t m 0 时,g 0 2 m 1 0,即 m 12,又 m 0 gt12 m 0 如图 1 t=m 当 t m 1,0,即 0 m 1 时, 4 m 24 m 2 m 1 0 ,即 m 2 2 m 1 0 , ·t o 1 1 2 m 1 2 ,又 m 1,0 , 图 3 0 m 1 如图 2 当 t m 1 时,g 1 1 2 m 2 m 1 2 0 恒成立 . m 1 如图 3 故由可知：m 1. 2变式一：条件改为：如 f k 3 xf 3 x 9 x 2 0 对任意 xR 恒成立,22已知向量 a = x ,x+1 , b = 1 - x,t.如函数 f x a b 在区间（ -1,1）上是增函数,求 t 的取值范畴. （2022 年湖北卷第 17 题）分析：利用导数将“ 函数 f x 在区间（ -1, 1）上是增函数” 的问题转化为“f x 0 在 （ -1 , 1 ） 上 恒 成 立 ”的 问 题 , 即 转 化 成 为 “二 次 函 数2f x 3 x 2 x t 0 在区间（ -1,1）上恒成立”,利用分别系数法将 t 分别出来,通过争辩最值来解出 t 的取值范畴.2 3 2【解析】依定义 f x x 1 x t x 1 x x tx t.就 f x 3 x 2 2 x t,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如fx 在（ -1, 1）上是增函数,就在（-1, 1）上可设f x 0恒成立.fx 0t3x 22x在（ -1,1）上恒成立.y 考虑函数gx3 x22x,（如图 4）g·-1xf1gx3由于g x 的图象是对称轴为x1,·o ··x 3开口向上的抛物线,故要使t3x22 x在（ -1, 1）上恒成立t图 4 1 即t5.而当t5时,fx 在（ -1,1）上中意f1 x >0,即x 在（ -1,1）上是增函数.5 、能成立问题 部分成立 （存在性问题）如在区间 D 上存在实数 x 使不等式 fx>A 成立 , 即 fx>A 在区间 D 上能成立 , fx m ax > A .如在区间 D 上存在实数 x 使不等式 fx<A 成立 , 即 fx<A 在区间 D 上能成立 , xfx min< A .例 1已知两个函数f x 8 x216xk,g x 2x352 x4x ,其中 k 为实数 . 1如对任意的x3,都有fgx 成立,求 k 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如对任意的x 1、x 23,33,都有fx 1gx2,求 k 的取值范畴 . 3如对于任意1x3,3,总存在x 0使得gx 0fx 1成立, 求 k 的取值范畴 . 【分析及解】1 令Fxgxfx2x33x212xk, 0k0即可成立,等价问题转化为F x0在x3,3上恒成立 ,即FxminF'x6x26x126x2x2 , 20, 由F' x0, 得x2或x1 . F 3k45,F3k9,F 1k7,F2Fx mink45, 由k450, 解得k45. 28 27, 2由题意可知当x3,时,都有fxmaxgxmin. 由f'x16x160得x1. f3 24k,f1 8k, f 3120k, fx maxk120. 由g'x6x210x40得x1 或x2, 3g321, g3 111, g1 1, g23gx min21. 就120k21, 解得k141 . fx 13 如对于任意1x3,3,总存在x 03,3使得gx于 fx 的值域是 g x 的值域的子集,k8,k120,由2可知,f x 8x216xk 在3,3 的值域为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于 是 ,kg x 23 x5x24x 在3,3 的值域为21,111 ,解 得8,k12021,111, 即 满 足k821,k120111.9k13.f x ax22ln1x ,且f x 在x0处取得极值.例 2设函数（1）求实数 a 的值（2）如存在x00,1使不等式fx0m0能成立,求实数m 的最小值.x,1【分析及解】 ：（1）f 2ax 12x,令f00,得a（ 2 ） 依 题 意 得fx minm, 由 （ I ） 知f x 1x 22ln1定义域为x x1f 21x12x,令f 0 得x2 舍,0当x0,1 时f 0,故f x 为增函数f x minf01m1, 即 的最小值为1. （6）、利用图形解不等式：借助图形的直观性来争辩不等式的问题,是学习不等式的一个重要方法,特别是利用确定值和确定值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式,往往能使问题变得直观明白,帮忙我们快速而精确的查找到问题的答案.关键是在遇到相关问题时,能否精确的把握不等式的图形,从而有效的解决问题.我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用.例 1解不等式x1x12x1.2的距离之和不大于到点31的距题意即是在数轴上找出到11 与2离的全部流淌点x .,22,31（如图）.第一在数轴上找到点1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 1x 1 2 x 2 x-1 0 1 2 3 从图上判定, 在 1与 2之间的一切点显示都合乎要求.事实上,这种点到 1与 2的距离和正好是 1,而到 3的距离是 2 x 1 1 x 1 x 2 .现在让流淌点 x 由点 1向左移动,这样它到点 3的距离变,而到点 1与 2的距离增大,明显,合乎要求的点只能是介于 3 1 与 1 1 之间的某一个点 1x .由 1 x 1 2 x 1 x 1 1 , 可得 x 1 2 .3再让流淌点 x 由点 2向右移动, 虽然这种点到 1与 2的距离的和及到 3的距离和都在增加,但两相比较,到 1与 2的距离的和增加的要快.所以,要使这种点合乎要求,也只能流淌到某一点 x 而止.由 x 2 1 x 2 2 x 2 1 , 可得 2x 4 . 从而不等式的解为 2 x 4 .3例 2画出不等式 x y 1 的图形,并指出其解的范畴.先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情形.在第一象限内不等式等价于：x0,y0,xy1. y1的图形是以原点其图形是由第一象限中直线y1x下方的点所组成.同样可画出二、三、四象限的情形.从而得到不等式xO 为中心,四个等点分别在坐标轴上的正方形.不等式解的范畴一目了然.（7）含有参数不等式的解法例 1、解关于 x 的不等式logxaxlogxalogax1 logax10解：原不等式等价于即：1logalogaxlogax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_logax1 或0logax1x2mx0如 a>1 0x1或 1xa,a如 0<a<1 x1或ax1.a例 2、解关于 x 的不等式23x2xm2x21 2log解：原不等式可化为24x1m 2xm0即：22x1 22xm0s 当 m>1 时122xm0x当 m=1 时22x1 20x 1log2m当 0<m<1 时m2 2x12当 m0 时x<0 （8）、反证法：但对于一些较复杂的不等式,有时很难直接入手求证,这 时可考虑接受间接证明的方法.所谓间接证明即是指不直接从 正面确定论题的真实性,而是证明它的反论题为假,或转而证 明它的等价命题为真,以间接的达到目的.其中,反证法是间 接证明的一种基本方法.反证法在于说明：如确定命题的条件而否定其结论,就会 p 就 q” ,而 导致冲突.具体的说,反证法不直接证明命题“ 如 是先确定命题的条件 p,并否定命题的结论 q,然后通过合理的规律推理,而得到矛 盾,从而确定原先的结论是正确的.利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论.于是原证不等其次步作出与所证不等式相反的假定.第三步从条件和假定动身,应用证确的推理方法,推出冲突结果.第四步确定产生冲突结果的缘由,在于开头所作的假定不正确,式成立.例 1、设二次函数fxx2pxq,求证：f,1f2 ,f 3 中至少有一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不小于1. f1 ,f2 ,f3 都小于1 ,就 2（1）2证明：假设f 12f 2 f 3 .2另一方面,由确定值不等式的性质,有f1 2f22 f3 pf1 2f2f3 2（2）1pq42q93pq（1）、（2）两式的结果冲突,所以假设不成立,原先的结论正确.留意 ：诸如本例中的问题,当要证明几个代数式中,至少有一个中意某个不等式 时,通常接受反证法进行.议一议 ：一般来说, 利用反证法证明不等式的第三步所称的冲突结果,通常是指 所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛 盾等各种情形.试依据上述两例,争辩查找冲突的手段、方法有什么特点？例 2、设 0 < a, b, c < 1,求证： 1 ab, 1 bc, 1 ca,不行能同时大于1 4证：设 1 ab >1, 1 bc >1, 1 ca >1, 444就三式相乘： ab < 1 ab.1 bc.1 ca <164又 0 < a, b, c < 1 0 1a a 1a a2124同理： 1b b1, 1c c144以上三式相乘：1 aa.1 bb.1 cc1与冲突64原式成立（9）、不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式所谓放缩法,即是把要证的不等式一边适当的放大（或缩小）,使之得出明显的 不等量关系后,再应用不等量大、小的传递性,从而使不等式得到证明的方法.这种方法是证明不等式中的常用方法,特别在今后学习高等数学时用处更为广泛.下面我们通过一些简洁例证体会这种方法的基本思想.例 1、如 n 是自然数,求证1111.22 1222 3n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：12 1 1 1 , k 2 , ,3 4 , , n .k k k 1 k 1 k1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 21 2 3 n 1 1 2 2 3 n 1 n= 1 1 1 1 1 1 1 = 2 1 2 .1 1 2 2 3 n 1 n n留意 ：实际上,我们在证明1 12 2 12 3 12 n 12 2 的过程中,已经得到一个更强的结论1 12 2 12 3 12 n 12 2 1n,这恰恰在确定程度上表达了放缩法的基本思想.例 2、求证：1 1 1 1 1 .31 1 2 1 2 3 1 2 3 n证 明 ： 由1 2 3 1k 1 2 2 12 2 1k 1 ,（ k 是 大 于 2 的 自 然 数 ） 得1 1 1 111 1 2 1 2 3 1 2 3 n11 1 12 2 122 132 1n 1 1 11 21 n32 1n 1 3 .2（ 10）柯西不等式定理 1：（柯西不等式的代数形式）设a,b ,c ,d均为实数,就a2b2c2d2acbd2,其中等号当且仅当adbc时成立.证明：几何意义：设,为平面上以原点 O 为起点的两个非零向量,它们的终点分别为 A（a, b）,B（c, d）,那么它们的数量积为 . ac bd,而 | | a 2b 2,| | c 2d 2,所以柯西不等式的几何意义就是：| | | | | . |,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立.定理 2：（柯西不等式的向量形式）设,为平面上的两个向量,就| | | | | . |,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立.定理 3：（三角形不等式）设x 1,y 1,x2,y2,x3,y3为任意实数,就：x 32y 1y 32x 1x22y 1y 22x 2x32y2y 32x 1分析：摸索：三角形不等式中等号成立的条件是什么？定理 4：（柯西不等式的推广形式）：设 n 为大于 1 的自然数,a , ib i（ i 1,2, ,n n n2 2 2n ）为任意实数,就：a i b i a i b i ,其中等号当且仅当i 1 i 1 i 1b 1 b 2 b n 时成立（当 ia 0 时,商定 ib 0, i 1,2, , n ）.a 1 a 2 a n2 2 2证明：构造二次函数：f x a 1 x b 1 a 2 x b 2 a n x b n n n n2 2 2即构造了一个二次函数：f x a i x 2 a i b i x b ii 1 i 1 i 1由于对任意实数 x ,f x 0 恒成立,就其 0,n n n即：4 a i b i 2 4 a i 2 b i 2 0,i 1 i 1 i 1n n n即： a i b i 2 a i 2 b i 2,i 1 i 1 i 1等号当且仅当 a 1 x b 1 a 2 x b 2 a n x b n 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即等号当且仅当b 1b2b n时成立（当ia0时,商定ib0, i1,a 1a2a n2, , n ）.假如ia （1in）全为 0,结论明显成立.柯西不等式有两个很好的变式：变式 1 设aiR,bi0i,12 ,n,inai2a i2i,等号成立当且仅当1b ib ib ia i 1in na ia i2,等号成变式 2 设 ai,bi 同号且不为0（i=1,2, , n）,就：1b ia ib i立当且仅当b 1b2bn.（ 11）排序不等式排序不等式的一般情形一般的,设有两组实数：a ,a ,a , ,a 与 b ,b ,b , ,b ,且它们中意：a a a a ,b b b b ,如 1c,c ,c , ,c n是 1b ,b ,b , ,b 的任意一个排列,就和数 a 1 c 1 a 2 c 2 a nc n 在 a ,a ,a , ,a 与 1b ,b ,b , ,b 同序时最大,反序时最小,即：a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n a 1 c 1 a 2 c 2 a n c n a 1 b n a 2 b n 1 a n b 1,等号当且仅当 a 1 a 2 a n 或 b 1 b 2 b n 时成立.分析：用逐步调整法2 2 2 2 2 2例 1、已知 a , b , c 为正数,求证：a b b c c a abc.a b c例 2、设 a ,a ,a , ,a 为正数,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 12a22a n12a n2a 1a2an.a2a3a na 1（12）数学归纳法数学归纳法 : 是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在 n1 或n 0 时成立,这是递推的基础.其次步是假设在 nk 时命题成立,再证明 n k1时命题也成立,这是递推的依据.实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限.证明时,关键是k1 步的推证,要有目标意识.1n2.nx.例 1、证明：3 12333n3 1231例 2、设x1,nN*,证明贝努利不等式：xn二、 方法提升：三、 反思感悟：四、 课时作业：1、利用不等式的图形解不等式：x1x11; 3x472、解以下不等式： （1）23x1（2） 1233解不等式：（1）2x1x14解不等式：（1）x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5利用确定值的几何意义,解决问题：要使不等式x4x3<a 有解, a 要满足什么条件？6.解关于 x 的不等式x24mx4 m2m32 m m3 c2解：原不等式等价于|x2 m|m3当m30即m3时x2 mm3 或x6 x3 m3 或xm3当m30即m3时| x6|0xcd当m30即m3时x R.7、如 a, b, c, dR +,求证：1aad cbba dcbcdbda证：记 m =aaba, b, c, dR+ bdbcacdbdacmabacdabbcacdcabdadbc1maababbccdddc21 < m < 2 即原式成立.8、当n > 2 时,求证：lognn1lognn1 10证： n > 2 lognn1 0,lognn1 lognn1 lognn1 nlognn1 lognn12lognn21 2229、已知n > 2 时, lognlognn221|1.211 lognn1 bya2b21,x2y21,求证：|ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10、设a ,b ,c ,dR,求证：2