2022年高考数学导数题型归纳 3.docx

精品_精品资料_文科导数题型归纳 请同学们高度重视：第一,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分别变量. 2 变更主元. 3 根分布. 4 判别式法5、二次函数区间最值求法： （ 1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（ 2）端点处和顶点是最值所在其次,分析每种题型的本质, 你会发觉大部分都在解决 不等式恒成立问题以及充分应用数形结合思想,创建不等关系求出取值范畴.最终,同学们在看例题时,请留意查找关键的等价变形和回来的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值.不等式恒成立.1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令 fx0 得到两个根. 其次步：画两图或列表.第三步：由图表可知.其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,2、常见处理方法有三种：第一种： 分 离变 量求最值 - 用分 离变 量时要特殊留意是否需 分类 争论（>0,=0,<0 ） 其次种：变更主元（即关于某字母的一次函数）（已知谁的范畴就把谁作为主元） . （请同学们参看 2022 省统测 2）例 1：设函数 yfx 在区间 D 上的导数为 fx ,fx 在区间 D 上的导数为 gx,如在区间 D 上, gx0 恒成立,就称函数 yfx 在区间 D 上为凸函数, 已知实数 m 是常数, x4mx33x2fx1262（ 1）如 yfx 在区间0,3上为凸函数,求 m 的取值范畴.（ 2）如对满意 m2 的任何一个实数 m,函数 fx 在区间a,b上都为凸函数,求 ba 的最大值 .x4mx33x2x3mx23x解:由函数fx得 fx126232gxx2mx3（ 1）yfx 在区间0,3上为 凸函数, 就gxxmx30 在区间0,3 上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmaxx02030g0m209m330g3解法二：分别变量法： 当 x0 时,gxxmx330 恒成立,当 0x3 时, gxxmx30 恒成立 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x233 等价于 mx的最大值（ 0x3）恒成立, xx 3 而 hxx（ 0x3）是增函数,就 hmaxxh32 xm22当 m2gxxmx时3fx 在区间0 恒成立a,b上都为 凸函数2 就等价于当m2 时变更主元法2 再等价于Fmmxx30 在m2 恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）20F2x2x301x12F202xx30ba2请同学们参看 2022 第三次周考：例 2：设函数 fx13x2ax23a2xb0a1,bR 3（）求函数 f（x）的单调区间和极值.（）如对任意的 xa1,a2, 不等式 fxa恒成立,求 a 的取值范畴 .（二次函数区间最值的例子）解：（） fxx4ax3ax3axa22 0a1令 fx0,得 fx 令 fx0,得 fx 的单调递减区间为 （ ,a）和（ 3a,+）当 x=a 时, fx 微小值=233ab;当 x=3a 时, fx 极大值=b.42（）由 |fx|,a得：对任意的 xa1,a2,ax4ax3aa 恒成立gmaxxx2aa22 就等价于gminxagx这个二次函数gxx4ax3a 的对称轴a1aa2a（放缩法）0a1,即定义域在对称轴的右边, gx这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题.gxx24ax3a2 在a1,a2 上是增函数 . gxmaxga22a1.gxminga14a4.1,ga24a4a,4 解得a1.5ga12a1a又 0a1,4a1. 5x2aa2于 是 , 对 任 意 xa1,a2 , 不 等 式 恒 成 立 , 等 价 于点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特点： fxgx恒成立hxfxgx0 恒成立.从而转化为第一、二种题型例 3.已知函数 fxx3ax2 图象上一点 P1,b处的切线斜率为3, t62xt1x3t0 2（）求 a,b 的值.（）当 x1,4时,求 fx 的值域.（）当 x1,4 时,不等式 fxgx恒成立,求实数 t 的取值范畴. gxx3 f/13a3解 ：（ ） fx3x2ax ,解 得b2b1a（）由（）知, fx 在1,0上单调递增,在 0,2 上单调递减,在 2,4 上单调递减又 f14,f00,f24,f416fx 的值域是 4,16 t2（）令 hxfxgxxt1x3x1,4 2 2 思路 1：要使 fxgx恒成立, 只需 hx0,即 tx2x2x6 分别变量 /2 思路 2：二次函数区间最值二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范畴解法 1：转化为 f x 0 或 f x 0 在给定区间上恒成立, 回来基础题型解法 2：利用子区间（即子集思想） .第一求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集.做题时肯定要看清晰 在（m,n）上是减函数与 函数的单调减区间是（a,b）,要弄清晰两句话的区分：前者是后者的子集例 4：已知 aR,函数 fx13a12xx4a1x 122（）假如函数 gxfx 是偶函数,求 fx 的极大值和微小值.（）假如函数 fx 是解：上的单调函数,求,a 的取值范畴fx（）令 12xa1x4a1.411fx 是偶函数, a1.此时 fxx33x,fxx23, 124fx0,解得： x23.列表如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可知： fx 的极大值为 f243,fx 的微小值为 f243.fx 是,上的单调函数,（）函数fx12xa1x4a10,在给定区间R 上恒成立判别式法4122就a144a1a2a0 ,解 得 ：0a2.4综上, a 的取值范畴是 a0a2.例 5、已知函数 fx131x2ax21axa0. 32（I） ）求 fx 的单调区间.（II） ）如 fx 在0,1上单调递增,求 a 的取值范畴.子集思想（ I）fxx2ax1ax1x1a.21、当 a0 时,fxx10 恒成立, 2当且仅当 x1 时取=号, fx 在,单调递增.2、当 a0 时,由 fx0,得 x11,x2a1,且 x1x2,单调增区间： ,1a ,1,单调增区间： 1, a1（ II）当 fx 在0,1 上单调递增 ,就 0,1是上述增区间的子集：1、a0 时, fx 在,单调递增 符合题意2、 0,1a1, a10a1综上, a 的取值范畴是 0,1.三、题型二：根的个数问题题 1 函数 fx 与 gx（或与 x 轴）的交点 =即方程根的个数问题解题步骤第一步： 画出两个图像即 穿线图 （即解导数不等式） 和趋势图即三次函数的大致趋势 是先增后减再增仍是 先减后增再减.其次步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）.主要看极大值和微小值与 0 的关系.第三步：解不等式（组）即可.例 6、已知函数 fx13k121xx,gxkx ,且 fx 在区间 2,上为增函数 323（1） ） 求实数 k 的取值范畴.（2） ） 如函数 fx 与 gx的图象有三个不同的交点,求实数k 的取值范畴解：（ 1）由题意 fxxk1x fx 在区间 2,上为增函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fxxk1x0 在区间 2,上恒成立（分别变量法）即 k1x 恒成立,又 x2, k12,故 k1k 的取值范畴为 k122 x3k121xkx, （ 2）设 hxfxgx323hxx2k1xkxkx1令 hx0 得 xk 或 x1 由（ 1）知 k1,2当 k1 时, hxx10,hx在 R 上递增,明显不合题意 当 k1 时, hx,hx 随 x 的变化情形如下表：k1 由于 0,欲使 fx 与 gx 的图象有三个不同的交点, 即方程 hx0 有三个不同的实根, 2k1k3k2120 ,即 k1k2k20 2 故需,解得 k1 623k2k20综上,所求 k 的取值范畴为 k1根的个数知道,部分根可求或已知.例 7、已知函数 fxax312x2xc 2（1） ）如 x1 是 fx 的极值点且 fx 的图像过原点,求 fx 的极值.12bxxd,在（ 1）的条件下,是否存在实数b,使得函数 gx的图像与函数fx 的 2图像恒有含 x1 的三个不同交点？如存在,求出实数b 的取值范畴.否就说x,2又x1是fx的极值点,就120a1明理由.（ 2 ）如 gx解：（ 1 ） fx 的图像过原点,就f00c0 fx3a2xf13afx3x2x23x2x10 f 极大值 xf13222f 微小值xf237（2） ）设函数 gx 的图像与函数 fx 的图像恒存在含 x1 的三个不同交点, 等价于 fxgx有含 x1 的三个根,即： f1g1d1b1 2x31211x2xbx2xb1整理得： 2221132 即： xb1xxb10 恒有含 x1 的三个不等实根2211（运算难点来了：） hxx3b1x2xb10 有含 x1 的根, 22b10 22xb10就 hx必可分解为 x1二次式 0,故用添项配凑法因式分解, 11x3x2x2b1x2x11x2x1b1x22212x2x1b1x2xb1021十字相乘法分解： x2x1b1xb1x1211x1x2b1xb10 22011x3b1x2xb10 恒有含 x1 的三个不等实根 22112 等价于 xb1xb10 有两个不等于 -1 的不等实根. 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112b14b1042b,11,33,121b11b1022题 2：切线的条数问题 =以切点 x0 为未知数的方程的根的个数例 7、已知函数 fxaxbxcx 在点 x0 处取得微小值 4,使其导数 f x 0 的 x 的取值范畴为 1,3,求：（1）fx 的解析式.（ 2）如过点 P1,m可作曲线yfx 的三条切线,求实数 m 的取值范畴（ 1）由题意得： f x 3ax2bxc3ax1x3,a0在,1上 f x 0.在1,3上 f x 0.在3,上 f x 0因此 fx 在 x01 处取得微小值4abc4, f 1 3a2bc0, f 3 27a6bc0 232a132 由联立得：b6,fxx6x9xc9,（2）设切点 Qt,ft , yftftxt y3t212t9xtt36t29t3t212t9xt3t212t9tt26t9 3t212t9xt2t26t过1,mm3t212t912t36t2gt2t32t212t9m0令 gt 6t6t126tt20,求得： t1,t2,方程 gt0 有三个根.需：22g1023129m0m16g201612249m0m11故： 11m16.因此所求实数 m 的范畴为： 11,16题 3：已知 fx 在给定区间上的极值点个数就有导函数 =0 的根的个数 解法：根分布或判别式法例 8、17 解：函数的定义域为 R（）当 m4 时, f x x3x210x, 32 fx x2 7x10,令 fx0 , 解得 x5,或 x2.令 fx0 , 解得 2x5可知函数 fx 的单调递增区间为 ,2和（ 5, ）,单调递减区间为2,5（） fx x2m3xm 6,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要使函数 yf x 在（ 1, ）有两个极值点 ,fxx2m 3xm6=0 的根在（ 1, ）根分布问题：m324m60;就f11m3m60;, 解得 m3m31.2例 9、已知函数 fxa3121（ 2）令 gxx4 fxx,aR,a0（1）求 fx的单调区间. 432（ x）（xR）有且仅有 3 个极值点,求 a 的取值范畴解：（ 1） fxaxxxax1211 或 x0,令 f x 0 解得11 所以 fx 的递增区间为 ,x0, aa 0,递减区间为 ,0. aa11当 a0 时,同理可得 fx 的递增区间为 0,递减区间为 ,0,. aa14a312（2）gxxxx 有且仅有 3 个极值点432 当 a0 时,令fx0 解得xgxx3ax2xxx2ax1=0 有 3 个根,就 x0 或 x2ax10,a2方程xax10 有两个非零实根,所以a40, 22a2 或 a2而当a2 或a2 时可证函数 ygx有且仅有3 个极值点其它例题：1、（最值问题与主元变更法的例子） .已知定义在 R 上的函数 fxax2axb在（ a0） 32区间2,1上的最大值是 5,最小值是 11.（）求函数 fx 的解析式.（）如 t1,1时, fx ） tx0 恒成立,求实数 x 的取值范畴.解：（）fxax2axb,fx3ax4axax3x4令 fx=0, 得 x10,x232242,13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f（0）5因 此b5,f2,fx ） x2x5.0 等价于 3x4xtx0,因 此f0必 为 最 大 值 ,f216a5,f1a5,f1即 f216a511, a1,（） fx3x4x, fx ） tx令 gtxt3x4x,就问题就是 gt0 在 t1,1上恒成立时,求实数 x 的取值范畴, 223223x25x0g10 为此只需,即 2,g（10xx0解得 0x1,所以所求实数 x 的取值范畴是 0, 1. 2、（根分布与线性规划例子）（ 1）已知函数 fxx3ax2bxc 如函数 fx 在 x 1 时有极值且在函数图象上的点 0,1 处的切线与直线3x y 0 平行, 求 23fx 的解析式. 当 fx 在x 0,1取得极大值且在 x 1,2取得微小值时 , 设点 Mb 2,a 1 所在平面区域为 S, 经过原点的直线 L 将S 分为面积比为 1:3 的两部分 , 求直线 L 的方程.2 解： . 由 fx2x2axb, 函数 fx 在 x1 时有极值 , 2ab20 f01 c1又 fx 在0,1处的切线与直线 3xy0 平行,b3故ax3x1 f0fx122312x. 7分 322 解法一: 由 fx2x2axb 及 fx 在x0,1取得极大值且在 x1,2取得微小值 ,f00f1f20b00即2ab20令Mx,4ab80xb2,就yya12yx20故点 M所在平面区域S 为24yx60x 20ay1如图 ABC,bx易得 A2,30, B2,1,C2,2,D0,1,E0,SABC2 21SS 四边形 ABED同时 DE 为ABC 的中位线 ,DEC3 所求一条直线 L 的方程为 : x0另一种情形设不垂直于x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分 , 设直线L 方程为 ykx,它与 AC,BC 分别交于 F、G,就 k0, S 四边形 DEGF1由ykx2得点 F 的横坐标为 : xF2yx202k1y kx6得点 G 的横坐标为 : xG4k14yx60 由S 四边形 DEGFSOGESOFD解 得 :k1361211即16k22k50224k122k1151或k舍去故这时直线方程为 : yx2821综上,所求直线方程为:x0或yx. . .1分22 解法二:由 fx2x2axb 及 fx 在x0,1取得极大值且在 x1,22取得微小值 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f00f10即f20b02ab20令Mx,4ab80xb2,就yya1x20ay12yx20故点 M 所在平面区域 S 为如图 ABC,bx24yx60易得 A2,30, B2,1,C2,2,D0,1,E0,SABC2 21SS 四边形 ABED所求一条直线 L 的方程为 : x0同时 DE 为 ABC 的中位线 ,DEC3另一种情形由于直线 BO 方程为: y1x, 设直线 BO 与 AC 交于 H ,21yx1由得直线 L 与 AC 交点为 : H1, 222yx20SABC2,SDEC11111112,SABHSABOSAOH2121x2222222232 所 求 直 线方 程 为 :x0或 y3 、（ 根的 个 数 问题 ） 已 知 函 数fxaxbxc3a2bxda0的图象如下列图.（）求 c、d 的值.（）如函数 fx 的图象在点 2,f2 处的切线方程为 3xy110, 求函数 f x 的解析式.（）如 x05,方程 fx8a 有三个不同的根,求实数 a 的取值范畴.解：由题知： fx3ax2bx+c-3a-2b（）由图可知 函数 f x 的图像过点 0 , 3 ,且 f1= 0 2得d3d33a2bc3a2b0c0（）依题意f2= 3 且 f 2 = 512a4b3a2b3 解得 a = 1 , b = 68a4b6a4b35所以 f x = x3 6x2 + 9x + 3（）依题意f x = ax3 + bx2 3a + 2b x + 3 a0 fx= 3ax2 + 2bx 3a 2b由 f5= 0b = 9a 如方程 f x = 8a 有三个不同的根,当且仅当满意 f 5 8af 1 由得 25a+ 38a7a + 3所以 当 1 a3111a3 时,方程 f x = 8a 有三个不同的根. 12 分 1114、（根的个数问题）已知函数 fxx3ax2x1aR 3（1） ）如函数 fx 在 xx1,xx2 处取得极值,且 x1x22,求 a 的值及 fx 的单调区间.（2） ）如 a1125,争论曲线 fx 与 gxx2a1x2x1的交点个数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_226解：（ 1） f x x2ax1 2 x1x22a,x1x21x1x22a02分fxx22ax1x21令 fx0 得 x1,或 x1令 fx0 得 1x1fx 的单调递增区间为 ,1,1,单调递减区间为 1,1 5 分（ 2）由题 fxgx得 1315xax2x1x22a1x326 13121 即 xax2ax0 32613121 令 xxax2ax2x1 6 分 326 xx22a1x2ax2ax1令x0 得 x2a 或 x17 分1 2当即时a90,a0,有一个交点. 9 分 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 当 2a2 即 1a时, 此时,8a21a232a0, 3699当99 当198a 8a当 00 即 10,且 a a时,a 0 即8a时,有一个交点. 216a0 时,有两个交点. 216 0,有一个交点 13分 2291 综上可知,当 a 或 0 a 时,有一个交点. 1629当 a 0 时,有两个交点 14分 16 x325、（简洁切线问题）已知函数 fx 2 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为, 函数 5a3bxgx fx 2 3 a（） 如函数 gx在 x 1 处有极值,求 gx的解析式.2（） 如函数 gx在区间 1,1上为增函数,且 bmb4gx在区间 1,1上都成立,求实数 m的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载