泄露天机——高考押题 精粹 数理（教师用卷）.docx

泄露天机高考押题精粹数学理科本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。选择题30小题，填空题4小题, 解答题14小题。1 ,集合4 = 4|1。82%1,8 = 4|12一元_60,那么(4人)3等于()A. x-2<x< B. x-2<x<2 C. %|2<x<3 D. xx<2【答案】B 【解析】A = x | x 2 2, 8 = x | -2 < x < 3,得 dRA = x | x < 2,QA) B = x-2<x<0.2.(A.复数z = 'm（b£R）的实部为-1 ,那么复数，b在复平面上对应的点位于）第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(4 +历)(1 +。 4-/7 4 + b .乙= +1,那么由【答案】c-2 = 一1,得 b = 6,所以2-2 = 一1,得 b = 6,所以2【解析】z = 4+次I- i (1-0(1+0Z = l + 5i,所以z = 7 5，其在复平面上对应点为（7,5）,位于第三象限.3,假设复数z满足z(l i) = |li+ i,那么z的实部为（）A.U B. V2-12C. 1D.V2+12【答案】A【解析】由 z(li) = |li| + i=g + i【解析】由 z(li) = |li| + i=g + i二邑二(也+i)(l+i)JI匚+&1-i(l-i)(l + i) 22所以z的实部为 1应选A.2（。与4 .以下函数中，既是奇函数又在区间 2上是减函数的是（）A y = %3 b y sin j;q y = 2x-i-1 q y COS X【答案】B【解析】选项C、D不是奇函数，y = /在火上都是增函数，只有选项B符合.5 .假设5（c,d）是/（x） = Inx图象上不同两点，那么以下各点一定在/ 图象上的 是（）C.C.【答案】D 【解析】当0cxe1时，lnx<0,所以y<0,排除B、C；当xl时，由于函数y = 2x比2 Yy = lnx随x的增长速度快，所以随x的增大，> =的变化也逐渐增大，排除A,应选InxD.TT27.定义在(0二)上的函数/(幻，/。)为其导数，且"x)</'(x)tanx恒成立，那么()C. 6心 <心D. /(l)<2/A.sinlo 56【答案】CJT【解析】因为冗£(0,),所以sinx>0,cosx>0 ,那么由/(x) </'(x)tanx得qin ysin X/(x) < /'(%)-,cos xfx - sin xfr(x) < 0 .令 F(x)=,那么cosx/(x)L"、,sinx、， cos f (x)-sin xfr(x) 八 % t尸(x)=(二K)=一 二/ a J <0,所以b(x)在(0,工)上递减，所以/"(x)r2.71. 71sin sin F(-) > F(-),即一色一工，即 G/(工)</(工)，应选 C.63 一兀、门兀、63J) J)63.假设过点与曲线= xlnx相切的直线有两条,那么实数a的取值范围是()A. (-oo, e) B. (e,+8) C. 0,- D. (1,+oc) e7【答案】B【解析】设切点为Q&Hn。，那么切线斜率左二,r(%)=1 + ln/,所以切线方程为j-Hnr = (1 + Inr)(x-?),把尸(。,。)代入得。一八11，= (1+1110(。一。，整理得aln/ = /, 显然awO,所以，设g«) = ?，那么问题转化为直线y =，与函数g(。图象有两个不同交点，由g'=-以,可得g在（0,e）递增，（e,+oo）递减，在x = e处取得极 t大值1，结合图象，可得0!，=Qe，应选B. ea e.四边形A3C。的对角线相交于一点，AC = （1,J5）, 80 =（一石/），那么43.。的最小值是（）A. 2 B. 4 C. -2 D. -4【答案】C【解析】取40,0）,那么C（l,0）；设以玉，y）,。（2，%），那么|“一% 二 一近'%_乂=1所以246 = （%,%）=（工2+6，_1），CD = x2-,y2 -V3）,求得AB CD = （x2 +且=+（必一走里了一23-2 ,V3+1X 二125/3 19且/3 +1x?-,' 时，ABCZ）取到最小值2,此时四边形A5CD的对角V3 + 1必二丁线恰好相交于一点，应选c.那么当ls44时,上空的取值范围是（） s + tA.一33 ，2）B.C.-5，2）D.一5，一530.定义在R上的函数/（力对任意,W（%力2）都有/（“）/（二）°，且函数 %【答案】D【解析】不妨设% %，那么不一工2。.由"） 0 ,知/（西）一/（工2）0，即 x - x2/（%） /（工2），所以函数/（x）为减函数.因为函数y = 的图象关于（1,。）成中心对称，所以y = /（x）为奇函数，所以/（Y-2s）工一/一/）= /（/2。，所以 sy = /（x 1）的图象关于（1,0）成中心对称，假设s/满足不等式/（s-2st2-2t ,即"一%）"+2）2 C.因为-=1 - = 1 -,而在条件S + tS + t 1 , t（s ，）（s +，- 2）之 0/t 133下，易求得一£,1,所以1 + £,2,所以£匚,6,所1 < 5 < 4s 252 +_£2S以 1 e-5,-i,即5,3，应选 D.1, t 2 s+t 21 HS.边长为3的正AABC的三个顶点都在球。的外表上，且QA与平面ABC所成的角为30 ,那么球。的外表积为.【答案】16万【解析】设正AABC的外接圆圆心为O, 易知AQ二百，在放AOO|A中,OA= <4 =2,故球。的外表积为47rx二16万.cos 30y> x31 .设m>1,当实数满足不等式组 y（2x时，目标函数z = x + /改的最大值等于2,x+ y<2I z【解析】根据不等式组画出可行域为图中阴影局部，目标函数可写为=X + ,因为 m m1 2m > 1,所以一1< 一- < 0 ,将函数y 二mm > 1,所以一1< 一- < 0 ,将函数y 二mx的图象平移经过可行域时，在G点（一,一）处I 2m5y取最大值，此时z = 2,所以有2 = I,解得机=.=t。为常数），那么称该32 .数列中，对任意的几gN'，假设满足% +。"1 +。+2 +4+3 =s （s为常数），那么称该数列为4阶等和数列,其中s为4阶公和；假设满足4 % 。+2数列为3阶等积数列,其中，为3阶公积,数列凡是首项为1的4阶等和数列,且满足 包=上=上=2 ；数列%是公积为1的3阶等积数列,且1 = % = -1,设为数列P3 Pi Pi，-%的前项和，贝”2016 = -【答案】-2520【解析】由题意可知，Pl =1, “2=2, P3=4, p4 = 8, “5=1，6 = 2, P7 = 4, 8 = 8 ,= 1, 10 = 2 ,pH =4, P12=8, P13=1，又pr是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环 下去，同理，1%-1, % = 1, %-1, %-1, % = 1，% = -1，% = -1，% = 1，00 =1,孙=一1, 02 =1，功3 =一1，又%是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列p屋%，每12项的和循环一次，易求出P1 +，2 % +.+ P12q2 =-15,因此S2016中有168组循环结构,故52016 =-15xl68 = -2520.33 .用g表示自然数几的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3, 9, 且(9)= 9,10的因数有1,2,5,10, g(10)= 5,那么g+ g(2)+ g(3)+ g(22S5_i) =.42015 _答案3 n【解析】由g()的定义易知当为偶数时，g()= g(一),且当为奇数时，g()= .令f(n) +g(2) + g(3)+ +g(2"-l),那么/( +1) = g + g(2) + g(3) + + g(2"+】- 1) = 1 + 3 + + (2用 -1) +g(2) + g(4)+ +g(22) =+ g(l) + g(2) + g(4) + g(2向2) = 4+ /()，即仆 + 1) 一f(n) = 4，分别取为L 2, 1并累加得94f(H + l)-f(l) = 4 + 42+ +4=(41).又，(l) = g(l)=l,所以4f(n +1) = q (4 1) +1 ,所以 /() = g(l) + g(2) + g(3) + + g(2 - 1)=4a2015 -1-(4-1) + 1.令 =2015,得g(l) + g(2) + g(3)+ +g(22015 -l) = 34 .(本小题总分值12分)在AABC中，角4氏C所对的边分别为2cos伊C)= l + 4sinBsinC 求A；假设，=25，AABC的面积26，求b + c.27r【答案】：(1) , (2) b+c = 6.3【解析】：(1)由 2cos(BC)= l+4sinBsinC,得 2 (cos B cos C+sin B sin C) - 4 sin B sin C = 1,即 2(cosBcosC-sin3sinC)= 1,亦即 2cos(5 + C) = 1, 二 cos(B + C)=.ri27r0 < B + C < 7r,. B + C = ，: A + B + C = 7r y /. A =.33r1c(2)由(1)得A .由S = 26,得一Asin= 2G,.Z?c = 8.3232rYl由余弦定理2 =b2 +c2 - 2/?ccos A ,得(2近)=b2 +c2 -2Z?ccos ,即从+ / += 28. .侬+ c)2 尻=28 .，将代入，得(Z? + c)28 = 28, b + c = 6.35 .(本小题总分值12分)如图，在 AABC中，点。在边3。上，ZCAD = -, AC = -, cosZADB=- 4210(1)求sin/C的值；(2)假设AABD的面积为7,求A3的长.4,_【答案】(1)(2)屈.【解析】(1)因为cos/AO8=立，所以sin/AD3=£2 .又因为/。4。二工 所以 10104y7V7V7V7ZC = /ADB一 一，所以 sin NC = sin(ZAZ)B) = sin ZAD Be os cosZADBsin - 44447V2 V2 V2 V2 4 + .=10 210 25(2)在AAOC中，由正弦定理得(2)在AAOC中，由正弦定理得ADACsinZC sin ZADC4 4c AC-sinZC ACsinZC AC-sinZC 古攵 2 sin ZADC sin(7r - ZADB) sin ZADB 7210l 2210在中，由余弦定理得AB2 =AD2 + BD2-2AZ)BDcosZADB =8 + 25-2x272x5x(-) = V37.10.(本小题总分值12分)公差不为。的等差数列2中，4=2,且。2+1，% + 1，。8 + 1成等比数歹人求数列%通项公式；345设数列bn满足b=二,求适合方程地2 +她+ bnbn+=的正整数h的值.an32【答案】(1) an=3n-l ； (2) 10.【解析】：设等差数列的公差为由。2+1，4+1，。8+1，得(3 + 3d)2 =(3 + d)(3 + 7d),解得d = 3或d = 0 (舍)， 故 an =4 +(n-l)d = 2 + 3( -1) = 3n -1.=3()(3/1-1)(3/?+ 2)3/1-1 3/7 + 2占 一* = 3(；-/)=9n6+ 4hh + hh +. + b b、= 3(- +1 22 由知“小T3向 "12 5 5 8945依题有=一，解得 =10.6孔 + 4 32.(本小题总分值12分)设ncN ,数列4的前项和为S，S角=S+q+2, 4，电,5成等比数列.(1)求数列凡的通项公式；(2)假设数列也满足%=(、历严"，求数列也的前项和乙【答案】(1) an = 2n-l； (2) 7；=(2n-3)2w+,+6.【解析】由"=5+%+2得：6用4=2(eN*),工数列%是以%为首项，2为公差的等差数列，由。I，4，生成等比数列得( +2)2=0 (%+8),解得q=1,/. an = 2n-l(n e AT).由(1)可得仇=(2- 1)(V5)2 =(2- 1)2，e +b2 +b3+. + bn_1 +blt,即 7； =1.2】 +3-22 +5-23+. + (2n-l)-2n(1),27； =l22+323+ + (2 3).2 + (2 l)2+l,-可得一骞=2 + 2(22 + 23 + + 2) (2 - 1)2 向,.7；=(2- 3)2向+6.38 .(本小题总分值12分)近年来我国电子商务行业迎来开展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达 918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价 系统中选出200次成功交易 并对其评价进行统计,对商品的好评率为0. 6,对服务的好评率 为0. 75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.能否在犯错误的概率不超过0. 001的前提下,认为商品好评与服务好评有关？假设将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次 数为随机变量X：求对商品和服务全好评的次数X的分布列(概率用组合数算式表示)；求X的数学期望和方差.P(K? 2 k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828,“2nad-bcY7 了 、(K =,其中 = + Z? + c+d )(a + Z?)(c + d)(a + c)(b + d)【答案】(1)能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关; (2)X012345P6呜审C冲冲3C痣)吗2砥I%守 E(X) = 2, D(X) = -.【解析】：(1)由题意可得关于商品和服务评价的2义2列联表如下:对服务好评对服务不满意对商品好评 80对商品不满意 7015040W50合计 720 80 200-/ _ 200x(80x10-40x70)2 "150x50x120x80故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关.2 每次购物时，对商品和服务都好评的概率为一，且X的取值可以是0,1,2, 3, 4, 5.77P(X=2) = C；(k)2()3；32 3其中 p（x=o）=（?5； p（x=i）= c（?q）4；72P(X=3) = C；(?3( y239尸(X=4) = C；(?4(y； P(X=5) = (?5.X的分布列为:X012345P6呜吗2C；弓）色守_22226由于 X 3(5,)，那么 E(X) = 5x= 2, O(X) = 5x x(l)=.（本小题总分值12分）某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了 4 8两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：成绩（分）12345678910人数（个）000912219630B校样本数据统计表（D计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比拟；（2）记事件。为“ A校学生计算机优秀成绩高于8校学生计算机优秀成绩” .假设7分或 7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立.根据所给样本数据，以事件发生的频 率作为相应事件发生的概率，求事件。的概率.【答案】(1)弓=弓=6, S；=1.5, S；=L8; (2) P(C) = 0.02.【解析】：（1）从A校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9 分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人.a J- t ia3.'-4x6 + 5x15 + 6x21 + 7x12 + 8x3 + 9x3 工 ,八、A校样本的平均成绩为4=-二6 （分），1 LA 校样本的方差为 S；= 6x（4-6）2+ +3x（9-6）60匚从B校样本数据统计表可知：B校样本的平均成绩为亏= 1.5.4x9+5x12+6x21+7x9+8x6+9x3601厂1B 校样本的方差为 S，= 9x(4 6月+ +3x(9 6/=1.8. 60L因为弓二弓，所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为所以A校的学生的计算机成绩比拟稳定，总体得分情况比B校好.（2）记。川表示事件“A校学生计算机成绩为8分或9分”,CA2表示事件“A校学生计算机成绩为9分”,表示事件“B校学生计算机成绩为7分”，表示事件“B校学生计算机成绩为8分”,那么0A1与独立，°A2与0B2独立，°加与082互斥，0 = GnCn 052cA2 ,p（c）= p（OC* c82G2）= p（C8Ca1）+p（Cb2G2）= p（Cm）p（Ji）+ p（G2）p（G2）由所给数据得。川，CA2, CBi,发生的概率分别为P（JJ=2 PG）、小,尸（，）=4, P（O）=/， 60606060故 P（C）=2x9 + 9x= 0.02.60 60 60 6041.（本小题总分值12分）如图，矩形A4CD所在平面垂直于直角梯形AB/石所在平面，平面A3CDA平面ABPE二 AB ,且= = AE = 1, AE J_ A氏且 AE 族.E（1）设点M为棱PD中点，求证：EM 平面ABCD;（2）线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PC。所成角的正弦值等于2?假设存在，试确定点N的位置；假设不存在，请说明理由.【答案】：(1)证明见解析；(2)当点N与点。重合时，直线BN与平面PCQ所成角的正 2弦值为一，理由见解析.【解析】：(1)证明：(方法一)由，平面ABCDJ_平面ABP石，且，那么BC_L平面所以3ABp,8C两两垂直，故以B为原点，84,BP,BC分别为x轴，y轴,y那么 P(0,2,0), 0(2,0,1), M(l,l,-),E(2J,0),C(0,0J),所以 EM =( - 1Q-).22易知平面ABC。的一个法向量等于 = (0J0),因为EM=(1,0-)(°, 1,0) = 0，所以EM工孔,又£二平面A5CD,所以石M 平面ABCD.(方法二)由，平面ABCDJ_平面A3P石，且BC_LAB,那么BC_L平面石, 所以区两两垂直.连结AC,BO,其交点记为O,连结MO, EM .因为四边形ABCO为矩形，所以。为式)中点.因为为PO中点，所以 OM PB, LOM =-PB .2又因为A£ 夕5,且2所以A£OM,且A石二QM.所以四边形4加O是平行四边形，所以上加 AO因为EM 2平面ABCD, AOu平面ABCD 所以EM 平面ABCD.2(2)当点N与点。重合时，直线BN与平面PC。所成角的正弦值为一.理由如下： 因为PD = (2,2,l),CO = (2,0,0),设平面尸CD的一个法向量为力=(%,y,Z),j = 0彳于勺 CD = 0j = 0彳于勺 CD = 02xl - 2yl +zl = 0, 2% = 0.A. ( + c,6 + d)B. 4 + C,C. (ac,b+d) D. (ac,bd)【答案】c【解析】因为A（,b）,5（c,d）在） = lnx图象上，所以L = ln” ,d = lnc,所以b+d = In6/ + Inc = In6zc,因此（ac/ + d）在 /（x） = lnx 图象上，应选 C.6 .双曲线。：尤2-二1的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（）A.1 B.交22A.1 B.交22C旦D.32【答案】A【解析】a = l,c = 2,.双曲线C的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为L2.在区间1,1内随机取两个实数"y ,那么满足1的概率是（）2715A. WB. C. D.9966【答案】Df1 V X V 1、2【解析】由题意知表示的区域为边长为2的正方形，面积为4,满足>）工1 < y w 1的区域即为图中阴影局部,的区域即为图中阴影局部,面积为2xl + J：（l 工2世=2 + * ,所以所求1010概率为p=a=3,应选d.46y18.执行如下图的程序框图，输出的结果s的值是（）取y = 1 ,得平面PCD的一个法向量viy = (0,1,2).2 假设线段PD上存在一点、N,使得直线BN与平面PCD所成角a的正弦值等于一.设 PN = /l 尸。(0W/IW1),BN-nx |BN-niBN-nx |BN-ni那么 PN = 2(2,-2,1) = (22,-22, A), BN = BP+PN = (2A,2-2/t,A).所以 sin a =| cos < BN, nx|=_22_2V5 '(22)2+(2 24)2+(" 石的力84 + 45所以942一8几一1 = 0 解得4 = 1或力=一2. (舍去).9因此，线段PO上存在一点N,当N点与。点重合时，直线5N与平面PCD所成角的正2 弦值等于一.542.(本小题总分值12分)正方形AOE尸与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD ± CD, AB 11 CD.A5 = AO =CO = 2,点M在线段石。上且不与乙。重合.2(1)当点“是石。中点时，求证：BM/ADEF；(2)当平面5。河与平面A5厂所成锐二面角的余弦值为逅时，求三棱锥"3。£的6体积.4 【答案】：(1)证明见解析；(2)-.3【解析】：(1)由题意：以点。为坐标原点，D4方向为x轴，OC为y轴，。石为z轴建 立空间直角坐标系，那么 A（2,0,0）,3（2,2,0）,。（0,4,0）,E（0,0,2）,M（0,2,l）,=（-2,0,1）,平面 ADEF 的一个法向量 QC =（0,4,0）,v BM DC = Q, ：.BM1DC9 即平面ADEF.（2）设£M=/EC =O,4,2）= （O,4/,2。，故点 A/（0,4，,2 2。（0</<1）, 设平面3DV7的一个法向量4 二（x,y,z）,那么DB r =2x+2y = 0,DM - =4（y +（2-2z）z = 0.（2/ 令y = -l,那么勺=1,-1, ,易知平面AB/7的一个法向量% =（1,0,0）,1 N几i .几2COS <, 2=1 n2瓜1-T ,解得彳=7, 62.M（0,2）为m的中点，S/SB到面DEM的距离h = 2, _ 1_ 4 Vm-BDE = 3 . SDEM . % = 3.43.（本小题总分值12分）2点年椭圆上+/=13>°）的右焦点，点M、N（。,”）分别是，轴、y轴 上的动点，且满足丽标=0.假设点P满足而 =2苏+丽.（1）求点P的轨迹。的方程；（2）设过点/任作一直线与点P的轨迹交于A、B两点，直线OA、03与直线工=-。分别交于点5、T （。为坐标原点），试判断尸SfT是否为定值？假设是，求出这个 定值；假设不是，请说明理由.【答案】（1） y2 = 4ax ； （2） bSET的值是定值，且定值为0.【解析】（1）.椭圆 + 丁=1（。>0）右焦点尸的坐标为（凡0）, 1 + . NF = （。，一 ri）. MN = （m, n）, 由 MN - NF = 0 ,得？ + am o.设点 P 的坐标为（x, y）,由.OA/ = 2ON + PO ,有（"z, 0） = 2（0, ） + （-x, -y）,m - -%,y 代入 2 + am = 0,得 y 2 = 4qx . n-.2m - -%,y 代入 2 + am = 0,得 y 2 = 4qx . n-.22（2）（法一）设直线AB的方程为x = + a, A（T,y）、 4a 4a 14那么/3：丁 =, i()B ： y = x-M%4。y = x,4%,得5(-6/,x =-a"2一），4q2 同理得T(见).%4a24/0.ES = (2a,), FT = (-26/,),那么 ES尸7 = 4? +16/x = ty +a, 799,得 y 4-city - 4" = 0 ,% % = 4。.y =4ax那么 'FS FT = 4/+ Ka = 4a2-4a2 = 0 .(4昌因此，FSfT的值是定值，且定值为0.（法二）当时， A（a, 2a）、B（a,-2a）,那么/以： =2,: = -2x .y = 2x, x-a y = -2%, x = -a得点S的坐标为5(a, 2a),那么/S = (2a, 2a).得点 T 的坐标为 T(-a, 2a),那么 FT = (-2a, 2a)./. FS - FT = (-2(7)x (-2a) + (-2a) x 2a = 0 .2当不垂直x轴时，设直线的方程为y = Z（x 。）（左wO） , A（2J，m）、 4。28（含，出），同解法一，得RSt b7 = 4" +y = k(x-a),999<,ky -4ay-4ka - 0 , yy2 = -4cr .I y - = 4 办那么丽k=4。2 + 叫=4c/一4。2 = o . (4/)因此，尸SFT的值是定值，且定值为0.44 (本小题总分值12分)椭圆c：W+ = im>Q°)的离心率为逅，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于 a32G(1)求椭圆C的标准方程；(2)过原点且斜率不为。的直线/与椭圆。交于P,Q两点，A是椭圆C的右顶点，直线AP. AQ分别与y轴交于点M、N ,问：以为直径的圆是否恒过x轴上的定点？假设恒过X轴上的定点，请求出该定点的坐标；假设不恒过X轴上的定点，请说明理由.2【答案】(1) + /=1； (2)以MN为直径的圆恒过x轴上的定点(1,0), (1,0).【解析】(1)依题意，得一二,ab =又片=I + c?,a 3解得!。=6故椭圆。的标准方程为土+V=1.b = 1,3、(2) A(6,0),设 M(0,m)，N(0, n), P(x0,y0),那么由题意，可得也-+为2=1 ，且。(一后,-%)，"=(七一6,%), AM =(-区m).因为ARM三点共线，所以A尸 AM ,故有(x超)m = -6 y。故有(x超)m = -6 y。解得m= ；同理，可得)= -5%假设存在满足题意的x轴上的定点H(1,0),那么有RM LRN ,即RMRN = 0.因为 RM = (T, m), RN = (T, ri),=0,整理得/=-学% 3=0,整理得/=-学% 3所以产+ 7WI = 0 , 即产+ 6% xx() 3 X。+ a/3又由，得3y(； = 3-x02,所以=1,解得，=1或，=1.故以MN为直径的圆恒过x轴上的定点(1,0), (1,0).方法二:(1)同方法一;(2)当直线/的斜率不存在时，有尸(0/)，2(0,-1), M(0J), N(0,1),此时以MN为直径的圆经过九轴上的点(一 1,0)和(1,0)；当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为丁 二",2联立方程组<了 + '2'1'，解得P(7，7), Q(£， *).、，hJ3K+1，3K+113k2 +1 VsF+lm飞'y = kx.又直线AP的斜率匕=,直线AM的斜率上i-VsFTT一6 k因为ARM三点共线，所以仁=匕，解得根=_一, 一43一+11同理，可得=-/辰, J3 产+1+1假设存在满足题意的x轴上的定点R«,0),那么有RMLRN,直线的斜率女3直线RN的斜率 =,3尸+1-J J3F+1 + 1，所以k3k4 = -1,故有/ = -mn,即产=整理，得/二1,解得看=1或/ = 1, 综合，可知以MN为直径的圆恒过x轴上的定点(1,0), (1,0).45.(本小题总分值12分)函数/(x) = lnxd%3 (w0).(1)讨论了(另的单调性;(2)假设/(x)+( + l)x+4e<0对任意工£6/_|恒成立，求实数的取值范围(e为 自然常数)；Hbln(2 +i)<i + 21n！ (z?>2 ,(3)求证:ln(22 +l) + ln(32 +l)+ln(42 +1)【答案】：(1)当Q>0时，增区间为(0,1,减区间为1,+00)；当4<0时，增区间为L+00),e 1 gi减区间为(0,1； (2) a<； (3)见解析.【解析】：(1)八%)="(I) (X>0),当 >0时，/(X)的单调增区间为(0，单调减区间为1,+8)；当<0时，/(X)的单调增区间为1,+8),单调减区间为(0,1.尤+ Q(2) 令/(x) = ilnx办一3 + 6L¥ + x + 4-e = alnx + x + l-e, Ff(x) = 0.x假设一< e, a>-e F(x)在e,/正是增函数，9e 1 g2F(x) = F(e2) = 2a + e2 -e + l<09a<无解.、z 111 dA、/'2假设e-e2 < a <-e, jF(x)在e,-。上是减函数；在一。,/上是增函数，2F(e) =(2 + 1<0,6/<-1. F(e2 ) = 2a + e2-e + <0,a< -!,2/e-e22假设- a > / , a < -e2 尸(x)在e,/上是减函数，F(x)max = F(e) = a + <0,a<- :.a<-e2.2e _ _ e-综上所述QW一(3)令 二一1 (或 =1),此时/(x) = -lnx + x3 ,所以/(1) = 一2,由(1)知/(x) = -lnx+x-3 在(l,+oo)上单调递增，当 x£ (1,+oc)时，/(x) > /(I),即一lnx+x1 >0,. lnx< x1 对一切 x e (l,+oo)成立，: 2 2, £ N* ,那么有 ln(+ 1) < 7 < !=-,n2 " 2 (_1) n-l n要证ln(22 +1) + ln(32 +1) + ln(42 + 1)+ +ln(n2+1) <l + 21nn!(M> 2,ne A*)只需证 ln( +1) + ln(+1) + ln( +1) + + ln( +1) < 1( 2 2, m £ N*), 2-3-4nln( +1) + ln(r- +1) + ln( +1) + + ln( +1) < (1 ) + () + () + () = 1 < 1.223242n222 33 4n-1 n n所以原不等式成立46 .(本小题总分值12分)函数/Q) = (x DC。).(常数且WO) .(1)证明：当。0时，函数/(x)有且只有一个极值点；(2)假设函数/(x)存在两个极值点%, 9,证明：0</(凡)<?且0</()<之 e【解答】：依题意，f(x) = a(x - Y)ex - a) + (x- l)(ex - a = ax 令 h(x) = a(x ex - a),那么 hf(x) = a(x +1) ex.(1)当 x<0时，x-eA <0 , 6/>0,故/z(x) =7'(x)<0 ,所以/'(x)在(一叫。)上不存在零点，那么函数/(x)在(-oo,0)上不存在极值点；当x20时，由/z'(x) = a(x + l)-eA > 0 ,故h(x)在0,+oc)上单调递增.又Zz(O) = -a2 < 0 , h(a) = aa ea -a) = a2 (ea -1) > 0 ,所以/z(x) = fx)在0, +8)上有且只有一个零点.又注意到在/'(X)的零点左侧，/'(X)<0,在fr(x)的零点右侧,/'(>)>0,所以函数/(x)在0,+00)有且只