中考数学专题：列方程（组）解应用题.docx

中考数学专题：列方程（组）解应用题列方程解应用问题 一元一次方程解应用题-水费和出租车计费问题教学目标：学问与技能：1能说出列一元一次方程解应用题的一般步骤；2会列一元一次方程解决水费和出租车计费问题；3进一步培育学生分析问题和解决实际问题的实力；过程与方法：1一题多解，学会从多角度分析问题的实力；2初步体会数学建模的基本方法；情感看法价值观：1增加节约用水的意识；2体会数学来源于生活、来源于实践、又服务于实践，相识到学习数学的用处，增加学习的目的性和数学意识。教学重点：构建“数学模型”，并列出一元一次方程解应用题教学难点：挖掘题目中的等量关系教学方法：探究式 教学过程：一、创设情境，导入新课问题情境：据北京日报报道：北京市人均水资源占有量只有300立方米，仅是全国人均占有量的，是世界人均占有量的.（1）问全国人均水资源占有量是多少立方米？世界人均水资源占有量是多少立方米？（2）北京市一年漏掉的水相当于新建一个自来水厂全年的产量。据不完全统计，全市至少有6×105个水龙头和2×105个抽水马桶漏水，假如一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉a立方米的水；一个漏水马桶，一个月漏掉b立方米水，那么一个月造成的水流失量至少多少立方米（用含a、b的代数式表示）；水资源透支令人担忧，节约用水燃眉之急。你家每月用水水多少呢？连续视察并记录一个星期的自来水表示数，估算本月你家共用多少立方米水？按3.7元/立方米计算应交纳多少水费？ 小红家上月5日自来水表的读数为344米3，本月5日自来水表各指针的位置如图所示，这时水表的示数是_米3，所以一个月来她家用去_米3水（读数到米3即可）,应缴纳水费元. 水费是由哪几个量确定的？（答：单价、用量）三者之间的关系：单价×用量=水费. 二、呈现问题,自主探究（一）水费问题问题：实行新的阶梯水价后你会计算自家的水费吗？资料表明：“根据北京市水价调整及阶梯式水价初步方案，对于生活用水阶梯式水价价格级差拟采纳1：3，即第一级水量价格为居民基本生活水价，其次级水量价格为居民基本生活水价的3倍，阶梯式水价的计量方法将按四口家庭核定水量基数，每人月均用水量3立方米，为了便利居民用水淡旺季自行调剂，实行阶梯式水价以后，每半年查一次水表.”若居民基本生活用水费用为每立方米3.7元。某户共4口人，上下半年各缴纳水费543.9元和259元，问上下半年各用水多少立方米？分析：阶梯式水价水费的计算，须要分别按不同的单价进行计算。单价分别为3.7元和11.1元.解：（元）设上半年用水为x立方米，依据题意列方程，得解这个方程，得下半年用水为：（立方米）答：上半年用水97立方米，下半年用水70立方米.说明：本题也可采纳计算的方法干脆得到结果. 例1：某市收水费按以下规定：若每月每户用量不超过20立方米，则按每立方米1.2元收费，若超过20立方米，则超过部分每立方米按2元收费.假如某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，那么他家这个月共用了多少立方米的水？分析：单价数量（立方米）水费（元）未超部分1.2201.2×20超过部分2（x-20）2(x-20)平均1.5x1.2×20+2(x-20) 水费应按两部分计算，即单价分别为1.2元和2元.解：设他家这个月共用x立方米的水.1.5x=1.2×20+2(x-20)x=32答：他家这个月共用32立方米的水. （二）出租车计费问题例2：乘某市的一种出租汽车起价10元（即行驶在4km以内都需付10元的车费），达到或超过4km后，每增加1km加价1.2元（不足1km的部分按1km计算）.超过15千米，加收50%的空驶费.现在小红乘这种出租汽车从甲地到乙地，支付车费34元.求甲、乙两地的路程大约是多少？分析：收空驶费了吗？即超过15千米吗？如何推断？15千米收费：10+1.2×11=23.2（元）3423.2所以，超过了15千米.总费用应分三段计费：（1）10元：4千米；（2）1.2×（15-4）=13.2元：11千米；（3）超过15千米部分的费用，单价1.8元.解：设甲、乙的路程大约是x千米，由题意得，10+1.2×(15-4)+1.2×(1+50%)(x-15)=34解这个方程得：x=25答：甲、乙两地的路程大约是25千米.巩固练习：书P119/2 三、提高拓展，发展创新：围绕出租车计费的多种状况，学生分组进行编题并解答。由学生利用投影进行展示,其他学生给与评价. 四、师生共同小结：1本节课我们共同探讨的问题是什么？共同点是：由于单价的改变，必需要分段计算.2列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？3你的收获是什么？ 五、作业：整理分组编题及解答的笔记. 中考数学复习：几何应用题 九几何应用题 几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何学问与实际问题相结合的一类题型，一般有这样几类：（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三）折线运动问题；（四）几何综合应用问题。解决这类问题时，应结合实际问题的背景，抽象出几何模型，利用几何学问加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、说明、反思，解题时应特殊留意数形结合、分类探讨等数学思想。 一、三角形在实际问题中的应用 例1某校把一块形态为直角三角形的废地开拓为生物园，如图所示，ACB=90，AC=80米，BC=60米。 （1）若入口E在边AB上，且A，B等距离，求从入口E到出口C的最短路途的长； （2）若线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，则D点在距A点多远处时，此水渠的造价最低？最低造价是多少？ 分析：本题是一道直角三角形的应用问题，解决此题首先要弄清等距离，最短路途，最低造价几个概念。 1E点在AB上且与AB等距离，说明E点是AB的中点，E点到C点的最短路途即为线段CE。 2水渠DC越短造价越低，当DC垂直于AB时最短，此时造价最低。 本题考察了中点，点与点的距离，点与直线的距离，以及解直角三角形的学问。 解：（1）由题意知，从入口E到出口C的最短路途就是RtABC斜边上的中线CE。 在RtABC中，AB=（米）。 CE=AB=×100=50（米）。 即从入口E到出口C的最短路途的长为50米。 （3）当CD是RtABC斜边上的高时，CD最短，从而水渠的造价最低。 CDAB=ACBC，CD=米）。 AD=64（米）。所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为4810=480元。 例2一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图1，图2所示，请你用学过的学问说明哪位同学的加工方法符合要求。（加工损耗忽视不计，计算结果中的分数可保留）。 分析：本题是一道利用相像三角形性质来解决的几何应用问题。可先设出正方形边长，利用对应边成比例，列方程求解边长，边长大则面积大。 解：由AB=1.5米，SABC=1.5平方米，得BC=2米.设甲加工的桌面边长为米，DE/AB，RtCDERtCBA,，即，解得。如图，过点B作RtABC斜边AC的高BH，交DE于P，并AC于H。由AB1.5米，BC2米，平方米，C2.5米，BH1.2米。设乙加工的桌面边长为y米，DE/AC，RtBDERtBAC，即，解得。因为，即，所以甲同学的加工方法符合要求。 二、几何设计问题 例3.在一服装厂里有大量形态为等腰三角形的边角布料（如图）。现找出其中的一种，测得C90°，ABBC4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形态的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在ABC的边上，且扇形与ABC的其他边相切。请设计出全部可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并干脆写出扇形半径）。 分析：本题考察分类探讨，切线的性质以及作图实力。本题的关键是找出圆心和半径，分类时应考虑到全部状况，可以先考虑圆心的位置，在各边上或在各顶点，然后解除相怜悯况。 解：可以设计如下四种方案： 例4.小明家有一块三角形菜地，要种植面积相等的四种蔬菜，请你设计四种不同的分割方案（分成三角形或四边形不限）。 分析：本题如从三角形面积方面考虑可以把其中一边四等分，再分别与对角顶点连结；也可从相像三角形性质来考虑。 解： 三、折线运动问题 例5.如图，客轮沿折线ABC从A动身经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D动身沿直线匀速航行，将一批物品送达客轮两船同时起航，并同时到达折线ABC上的某点E处已知ABBC200海里，ABC90°，客轮速度是货轮速度的2倍 (1)选择：两船相遇之处E点在() （A）线段AB上（B）线段BC上（C）可以在线段AB上，也可以在线段BC上 (2)求货轮从动身到两船相遇共航行了多少海里？(结果保留根号) 分析：本题是一道折线运动问题，考察合情推理实力和几何运算实力，首先要对两船同时到达的E点作一个合理推断，E点不行能在AB上，因为当E点在AB上时，DE的最短距离为D到AB中点的距离，而此时AB=2DE，当E不是中点时，AB2DE，所以E点不行能在AB上。然后利用代数方法列方程求解DE 解：（1）B （2）设货轮从动身到两船相遇共航行了x海里 过D作DFCB，垂足为F，连结DE则DE=x，AB+BE=2x 在等腰直角三角形ABC中，ABBC200，D是AC中点， DF100，EF3002x 在RtDEF中，DE2DF2+EF2， x21002+(3002x)2 解之，得 200， DE= 答：货轮从动身到两船相遇共航行了海里 四、综合类几何应用 例6.如图1，马路MN和马路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一所中学，AP=160米。假设拖拉机行驶时，四周100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在马路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；假如受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？ 分析：本题是一道关于解直角三角形和圆的几何综合应用问题 要推断是否受到噪声的影响，只需求出A点到直线MN 的距离AB，当此AB100米时就要受到噪声影响；其次 个问题只须要噪声影响路段的长度，就能求出受影响的时间。 解：过点A作ABMN，垂足为B 在RtABP中：APB=QPN=30° AP=160米 则AB=AP=80米，所以 学校会受到噪声影响。 以A为圆心，100米为半径作A,交MN于C、D两点，在RtABC中：AC=100米，AB=80米 则：BC=（米） CD=2BC=120（米）；18千米/小时=5米/秒 受影响时间为：120米÷5米/秒=24（秒） 例7.马戏团演出场地的外围围墙是用若干块长为5米、宽2.5米的长方形帆布缝制成的，两块帆布缝合的公共部分是0.1米，围成的围墙高2.5米（如下图） (1)若先用6块帆布缝制成宽为2.5米的条形，求其长度； (2)若用x块帆布缝制成密封的圆形围墙，求圆形场地的周长y与所用帆布的块数x之间的函数关系式； (3)要使围成的圆形场地的半径为10米，至少须要买几块这样的帆布缝制围墙? 分析：本题的关键是弄清缝制成条形和缝制成密封的圆形后有几块公共部分。 解：(1)6块帆布缝制成条形后，有5块公共部分，所以6块缝制后的总长度为6×55×0.129.5(米) (2)x块帆布缝制成密封的圆形围墙后有x块公共部分，设圆形围墙的周长为米，则y=5x-0.1x=4.9x，所以y=4.9x (3)要围成半径为10米的圆形场地，则2×104.9x (块) 要到商店买这样的帆布13块。 解几何应用问题要求我们必需具备扎实的几何基础学问，较强的阅读理解实力，以及对数学思想方法的驾驭，只要我们有针对性地复习，就肯定能驾驭好几何应用问题的解决方法。 练习： 1、在生活中需测量一些球（如足球、篮球）的直径。某校探讨性学习小组，通过试验发觉下面的测量方法：如图8，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线DA、CB分别与球相切于点E、F，则EF即为球的直径。若测得AB的长为40cm，ABC30°。请你计算出球的直径（精确到1cm）。 2、如图；某人在马路上由A到B向东行走，在A处测得马路旁的建筑物C在北偏东 60°方向。到达B处后，又测得建筑物C在北偏东45°方向。接着前进，若此人在行走过程中离建筑物C的最近距离是（25+25）米，求AB之间的距离。 3、操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。 探究：设A，P两点间的距离为x。 （1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB有怎样的大小关系？试证明你视察得到的结论； （2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？假如可能，指出全部能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；假如不行能，试说明理由。（图1，图2，图3的形态，大小相同，图1供操作试验用，图2和图3备用） ADADAD BCBCBC 中考数学方程及方程组的应用复习 章节其次章课题课型复习课教法讲练结合教学目标（学问、实力、教化）1.驾驭列方程和方程组解应用题的方法步骤，能够娴熟地列方程和方程组解行程问题和工程问题。培育学生分析、解决问题的实力。2.驾驭列方程（组）解应用题的方法和步骤，并能敏捷运用不等式（组）、函数、几何等数学学问，解决有关数字问题、增长率问题及生活中有关应用问题。教学重点驾驭工程问题、行程问题、增长率问题、盈亏问题、商品打折、商品利润（率）、储蓄问题中的一些基本数量关系。教学难点列方程解应用题中-找寻等量关系教学媒体学案教学过程一：【课前预习】（一）：【学问梳理】1.列方程解应用题常用的相等关系题型基本量、基本数量关系找寻思路方法工作（工程）问题工作量、工作效率、工作时间把全部工作量看作1工作量=工作效率×工作时间相等关系：各部分工作量之和=1常从工作量、工作时间上考虑相等关系 比例问题相等关系：各部重量之和=总量。设其中一分为，由已知各部重量在总量中所占的比例，可得各部重量的代数式年龄问题大小两个年龄差不会变抓住年龄增长，一年一岁，人人同等。利息问题本息和、本金、利息、利率、期数关系：利息=本金×利率×期数相等关系：本息和=本金+利息 行程问题追击问题路程、速度、时间的关系：路程=速度×时间1：同地不同时动身：前者走的路程=追击者走的路程2：同时不同地动身：前者走的路程+两地间的距离=追击者走的路程相遇问题同上相等关系：甲走的路程+乙走的路程=甲乙两地间的路程航行问题顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度逆水（风）速度=静水（风）速度水流（风）速度1：与追击、相遇问题的思路方法类似2：抓住两地距离不变，静水（风）速度不变的特点考虑相等关系。 数字问题多位数的表示方法：是一个多位数可以表示为（其中0a、b、c10的整数）1：抓住数字间或新数、原数间的关系找寻相等关系。2：经常设间接未知数。商品利润率问题商品利润=商品售价商品进价首先确定售价、进价，再看利润率，其次应理解打折、降价等含义。2.列方程解应用题的步骤:（1）审题：细致阅读题，弄清题意；（2）设未知数：干脆设或间接设未知数；（3）列方程：把所设未知数当作已知数，在题目中找寻等量关系，列方程；（4）解方程；（5）检验：所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意；（6）答：留意带单位（二）：【课前练习】1.某商品标价为165元，若降价以九折出售（即实惠10），仍可获利10（相对于进货价），则该商品的进货价是2.甲、乙二人投资合办一个企业，并协议根据投资额的比例安排所得利润，已知甲与乙投资额的比例为3：4，首年的利润为38500元，则甲、乙二人可获得利润分别为元和元3.某公司1996年出口创收135万美元，1997年、1998年每年都比上一年增加a，那么，1998年这个公司出口创汇万美元4.某城市现有42万人口，安排一年后城镇人口增加0.8，农村人口增加1.1，这样全市人口将增加1，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数，若设城镇现有人口数为x万，农村现有人口y万，则所列方程组为5.一个批发与零售兼营的文具店规定，凡是一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有学生小王来购买铅笔，假如给学校初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用(m21)元（m为正整数，且m21100）；假如多买60支，则可以按批发价付款，同样需用(m21)元.设这个学校初三年级共有x名学生，则x的取值范围应为铅笔的零售价每支应为元，批发价每支应为元（用含x，m的代数式表示）二：【经典考题剖析】1.A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米，假如甲乙二人分别从A、B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行路程正好相等，求甲乙二人路程时间速度甲x32乙x+432的骑车速度分析：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时行程问题即为时间、路程、速度三者之间的关系问题，在分析题意时，先画出示意图（数形结合思想），然后设未知数，再列表，第一列填含未知数的量，其次列填题目中最好找的量，第三列不再在题目中找，而是用前面两个量表示，往往等量关系就在第三列所表示的量中解完方程时要留意双重检验等量关系：t甲-t乙=40分钟小时，方程：2.某市为了进一步缓解交通拥堵现象，确定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路。为使工程能提前3个月完成，须要将原定的工作效率提高12%，问原安排完成这项工程用多少个月？工时工作量工效原安排x1实际x-31分析：工程量不明确，一般视为1，设原安排完成这项工程用x个月，实际只用了（x-3）个月.等量关系：实际工效=原安排工效×（1+12%）方程：3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快削减库存，商场确定实行适当的降价措施。经调查发觉，假如每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？分析：（1）设每件衬衫应降价元，则由盈利可解出但要留意“尽快削减库存”确定取舍。（2）当取不同的值时，盈利随改变，可配方为：求最大值。但若联系二次函数的最值求解，可设：结合图象用顶点坐标公式解，思维实力就更上档次了。所以在应用问题中要发散思维，自觉联系学过的全部数学学问，敏捷解决问题。答案：（1）每件衬衫应降价20元；（2）每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最高。4.某音乐厅5月初确定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的若提前购票，则赐予不同程度的实惠，在5月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的，零售票每张16元，共售出零售票数的一半假如在6月份内，团体票要按每张16元出售，并安排在6月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？分析：这样的题文字一大堆，看到头就发胀，同学们不要怕，要有信念，肯定要细致读题，当你读懂题后事实上这类题还是比较简洁的，学数学的目的就是解决现实生活中的实际问题因为总票数不明确，所以看为1，设6月零售票每张定价元团体票数团体票收入零售票数零售票收入5月（张）（元）（张）（元）6月（张）（元）（张）（元）等量关系：5月总收入=6月总收入方程.5.要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如图，假如篱笆的长为35m，（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？三：【课后训练】1.如图是某公司近三年的资金投放总额与利润统计示意图，依据图中的信息推断：2022年的利润率比2000年的利润率高2；2022年的利润率比2022年的利润率高8；这三年的利润率14；这三年中2022年的利润率最高。其中正确的结论共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2022年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1小时，求列车提速前的速度（只列方程）3.2022年春天，在党和政府的领导下，我国进行了一场抗击“非典”的斗争为了限制疫情的扩散，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只加浓抗病毒口罩的任务，为使抗病毒口罩早日到达防疫第一线，开工后每天比原安排多加工0.4万只，结果提前4天完成任务，该厂原安排每天加工多少万只口罩？4.一水池有甲、乙两水管，已知单独打开甲管比单独打开乙管灌满水池需多用10小时现在首先打开乙管10小时，然后再打开甲管，共同再灌6小时，可将水池注满，假如一起先就把两管一同打开，那么须要几小时就能将水池注满？5.某公司向银行贷款40万元，用来生产某种新产品，已知该贷款的年利率为15（不计复利，即还贷前每年息不重复计息），每个新产品的成本是2.3元，售价是4元，应纳税款为销售额的10。假如每年生产该种产品20万个，并把所得利润（利润销售额成本应纳税款）用来归还贷款，问需几年后能一次还清？6.某商店1995年实现利税40万元（利税销售金额成本），1996年由于在销售管理上进行了一系列改革，销售金额增加到154万元，成本却下降到90万元，（1）这个商店利税1996年比1995年增长百分之几？（2）若这个商店1996年比1995年销售金额增长的百分数和成本下降的百分数相同，求这个商店销售金额1996年比1995年增长百分之几？四：【课后小结】 布置作业地纲 第18页 共18页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页