平面向量教案2.docx

平面向量教案2平面对量教案二、复习要求1、向量的概念;2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;3、向量运算的运用三、学习指导1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法-有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观说明,有时甚至更简捷。向量运算中的基本图形:向量加减法则:三角形或平行四边形;实数与向量乘积的几何意义-共线;定比分点基本图形-起点相同的三个向量终点共线等。2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下:运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法=-=记=(x1,y1),=(x1,y2)则=(x1x2,y1y2)-=(x2-x1,y2-y1)=实数与向量的乘积=R记=(x,y)则=(x,y)两个向量的数量积·=|cos,记=(x1,y1),=(x2,y2)则·=x1x2y1y23、运算律加法:=,()=()实数与向量的乘积:()=;()=,()=()两个向量的数量积:·=·()·=·()=(·),()·=··说明:依据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满意实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如(±)2=4、重要定理、公式(1)平面对量基本定理;假如是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数1,2,满意=12,称12为,的线性组合。依据平面对量基本定理,任一向量与有序数对(1,2)一一对应,称(1,2)为在基底,下的坐标,当取,为单位正交基底,时定义(1,2)为向量的平面直角坐标。向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则=(x,y);当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)(2)两个向量平行的充要条件符号语言:若,则=坐标语言为:设=(x1,y1),=(x2,y2),则(x1,y1)=(x2,y2),即,或x1y2-x2y1=0在这里,实数是唯一存在的,当与同向时,0;当与异向时,0。|=,的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中的几何意义。(3)两个向量垂直的充要条件符号语言:·=0坐标语言:设=(x1,y1),=(x2,y2),则x1x2y1y2=0(4)线段定比分点公式如图,设则定比分点向量式:定比分点坐标式:设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)则特例:当=1时,就得到中点公式:,事实上,对于起点相同,终点共线三个向量,(O与P1P2不共线),总有=uv,uv=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。(5)平移公式:点平移公式,假如点P(x,y)按=(h,k)平移至P(x,y),则分别称(x,y),(x,y)为旧、新坐标,为平移法则在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,肯定可以求第三组坐标图形平移:设曲线C:y=f(x)按=(h,k)平移,则平移后曲线C对应的解析式为y-k=f(x-h)当h,k中有一个为零时,就是前面已经探讨过的左右及上下移利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于探讨曲线的几何性质(6)正弦定理,余弦定理正弦定理:余弦定理:a2=b2c2-2cbcosAb2=c2a2-2cacosBc2=a2b2-2abcosc定理变形:cosA=,cosB=,cosC=正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特殊是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的程序性特点。四、典型例题例1、如图,为单位向量,与夹角为1200,与的夹角为450,|=5,用,表示。分析:以,为邻边,为对角线构造平行四边形把向量在,方向上进行分解,如图,设=,=,0,0则=|=|=1=|,=|OEC中,E=600,OCE=750,由得:说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理例2、已知ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点D和向量坐标。分析:用解方程组思想设D(x,y),则=(x-2,y1)=(-6,-3),·=0-6(x-2)-3(y1)=0,即2xy-3=0=(x-3,y-2),-6(y-2)=-3(x-3),即x-2y1=0由得:D(1,1),=(-1,2)例3、求与向量=,-1)和=(1,)夹角相等,且模为的向量的坐标。分析:用解方程组思想法一:设=(x,y),则·=x-y,·=xy,=,(2)若PED=450,求证:P、D、C、E四点共圆。分析:利用坐标系可以确定点P位置如图,建立平面直角坐标系则C(2,0),D(2,3),E(1,0)设P(0,y)=(1,3),=(-1,y)·=3y-1代入cos450=解之得(舍),或y=2点P为靠近点A的AB三等分处(3)当PED=450时,由(1)知P(0,2)=(2,1),=(-1,2)·=0DPE=900又DCE=900D、P、E、C四点共圆说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:建立平面直角坐标系;设点的坐标;求出有关向量的坐标;利用向量的运算计算结果;得到结论。同步练习(一)选择题1、平面内三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),若,则x的值为:A、-5B、-1C、1D、52、平面上A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C点满意,连DC并延长至E,使|=|,则点E坐标为:A、(-8,)B、()C、(0,1)D、(0,1)或(2,)2、点(2,-1)沿向量平移到(-2,1),则点(-2,1)沿平移到:3、A、(2,-1)B、(-2,1)C、(6,-3)D、(-6,3)4、ABC中,2cosB·sinC=sinA,则此三角形是:A、直角三角形B、等腰三角形C、等边三角形D、以上均有可能5、设,是随意的非零平面对量,且相互不共线,则:(·)-(·)=0|-|-|(·)-(·)不与垂直(32)·(3-2)=9|2-4|2中,真命题是:A、B、C、D、6、ABC中,若a4b4c4=2c2(a2b2),则C度数是:A、600B、450或1350C、1200D、3007、OAB中,=,=,=,若=,tR,则点P在A、AOB平分线所在直线上B、线段AB中垂线上C、AB边所在直线上D、AB边的中线上8、正方形PQRS对角线交点为M,坐标原点O不在正方形内部,且=(0,3),=(4,0),则=A、()B、()C、(7,4)D、()(二)填空题9、已知,|是平面上一个基底,若=,=-2-,若,共线,则=_。10、已知|=,|=1,·=-9,则与的夹角是_。11、设,是两个单位向量,它们夹角为600,则(2-)·(-32)=_。12、把函数y=cosx图象沿平移,得到函数_的图象。(三)解答题13、设=(3,1),=(-1,2),试求满意=的的坐14、若=(2,-8),-=(-8,16),求、及与夹角的余弦值。15、已知|=,|=3,和夹角为450,求当向量与夹角为锐角时,的取值范围。参考答案(一)1、C2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、A(二)9、10、11、12、y=sinx1(三)13、(11,6)14、=(-3,4),=(5,-12),15、,或且 平面对量的应用 课时12平面对量的应用一、学习目标：1经验用向量的方法解决某些简洁的几何问题、力学问题的过程，体会向量是某一种数学工具。2发展学生的运算实力和解决实际问题的实力二、重点与难点：1利用向量数量积的相关学问解决平面几何、物理学中的垂直、夹角、模长和质点运动等相关问题。2用向量的共线定理解决三点共线、动点的轨迹问题。3提高学生对所学学问和方法的迁移（转化）实力。三、基础训练：1、已知向量，若点C在函数的图象上，实数的值为2、平面对量=（x，y），=（x2，y2），=（1，1），=（2，2），若=1，则这样的向量有3、假如向量与的夹角为，那么我们称为向量与的“向量积”，是一个向量，它的长度为，假如，则的值为4在平行四边形ABCD中，,则=_5设中，且，推断的形态。6、=(cos，sin)，=（2sin，2+cos），其中0，2，则|的最大值为7、有两个向量，今有动点，从起先沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从起先沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为设、在时刻秒时分别在、处，则当时，秒四、例题探讨例1已知向量满意条件，且，求证是正三角形。 例2、已知，.求证： 思索：能否画一个几何图形来说明例2 变题：用向量方法证明梯形中位线定理。 例3、已知在ABC中BC，CA，AB的长分别为a，b，c，试用向量方法证明：（1）（2） 五、课后作业：1设=（1，3），A、B两点的坐标分别为（1，3）、（2，0），则与的大小关系为2当|a|b|0且a、b不共线时，ab与ab的关系是3下面有五个命题，单位向量都相等；长度不等且方向相反的两个向量不肯定是共线向量；若a，b满意|a|b|且a与b同向，则ab；由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；对于随意向量a，b，必有|ab|a|b|。其中正确的命题序号为4已知正方形ABCD的边长为1，a，b，c，则abc的模等于5下面有五个命题，|a|2a2；（ab）2a2b2；（ab）2a22abb2；若ab0，则a0或b0其中正确命题的序号是6已知m，n是夹角为60°的两个单位向量，则a2mn和b3m2n的夹角是7如图，平面内有三个向量，其中的夹角是120°，的夹角为30°，若，则=。8已知ABC中，A（2，1），B（3，2），C（3，1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标. 9设i，j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且4i2j，3i4j，证明ABC是直角三角形，并求它的面积. 10已知ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0）C（c，0）（1）若c=5，求sinA的值;（2）若A为钝角，求c的取值范围。 11已知向量，（1）向量、是否共线？并说明理由;（2）求函数的最大值 12在平面直角坐标系中，已知向量又点A（8，0），（1）若，且，求向量；（2）向量与共线，当，且取最大值4，求 问题统计与分析 平面对量坐标表示 平面对量坐标表示年级高一学科数学课题平面对量坐标表示授课时间撰写人学习重点平面对量的坐标运算 学习难点对平面对量坐标运算的理解学习目标1.会用坐标表示平面对量的加减与数乘运算；2.能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标； 教学过程一自主学习思索1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设=(x1,y1)=(x2,y2)则x1iy1j，x2iy2j，依据向量的线性运算性质，向量，（R）如何分别用基底i、j表示？思索2：依据向量的坐标表示，向量，的坐标分别如何？();();().两个向量和与差的坐标运算法则：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.思索3：已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐标如何？ 二师生互动例1已知，求和. 例2已知平行四边形的顶点，试求顶点的坐标. 变式：若与的交点为，试求点的坐标. 练1.已知向量的坐标，求，的坐标.练2.已知、两点的坐标，求，的坐标. 三巩固练习1.若向量与向量相等，则（）A.B.C.D.2.已知，点的坐标为，则的坐标为（）A.B.C.D.3.已知，则等于（）A.B.C.D.4.设点，且，则点的坐标为.5.作用于原点的两力，为使它们平衡，则需加力.6.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，则点B的坐标为_。A(7,4)B(5,4)C(7,14)D(5,14)7已知点，及，求点、的坐标。 四课后反思 五课后巩固练习1.若点、，且，则点的坐标为多少？点的坐标为多少？向量的坐标为多少？ 2.已知向量，试用来表示. 高二数学平面对量 其次章平面对量复习课（一）一、教学目标1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。2.了解平面对量基本定理.3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4.了解向量形式的三角形不等式：|-|±|+|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|+|)=|+|+|.5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6.向量的坐标概念和坐标表示法7.向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8.数量积（点乘或内积）的概念，=|cos=xx+yy留意区分“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、学问与方法向量学问，向量观点在数学.物理等学科的许多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的很多主干学问综合，形成学问交汇点，所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直三、教学过程（一）重点学问：1.实数与向量的积的运算律：2.平面对量数量积的运算律:3.向量运算及平行与垂直的判定:则4.两点间的距离:5.夹角公式:6.求模：（二）习题讲解：习案P167面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题，P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。（三）典型例题例1已知O为ABC内部一点，AOB=150°，BOC=90°，设=，=，=，且|=2，|=1，|=3，用与表示解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中,是单位正交基底向量,则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是=,=，=-3所以-3=3+|即=33（四）基础练习：习案P178面6题、P180面3题。（五）、小结：驾驭向量的相关学问。 （六）作业：习案作业二十七。 其次章平面对量复习课（二）一、教学过程（一）习题讲解：习案P173面6题。（二）典型例题例1已知圆C：及点A（1，1），M是圆上随意一点，点N在线段MA的延长线上，且，求点N的轨迹方程。练习：1.已知O为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），=x,y=（x，yR）求点P（x，y）的轨迹方程；2.已知常数a0，向量，经过定点A（0，a）以为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中.求点P的轨迹C的方程；例2.设平面内的向量,，点P是直线OM上的一个动点，求当取最小值时，的坐标及APB的余弦值解设点P在直线OM上，与共线，而，x2y=0即x=2y，有，=5y220y+12=5(y2)28从而，当且仅当y=2，x=4时，取得最小值8，此时，于是，小结：利用平面对量求点的轨迹及最值。 作业：习案作业二十八。 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页