高一数学《角的概念的推广》教学反思.docx

高一数学角的概念的推广教学反思角的概念的推广§2角的概念的推广一、教学目标1、学问与技能：（1）推广角的概念，理解并驾驭正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解随意角的概念，驾驭全部与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（4）能表示特别位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简洁的角的集合之间运算。2、过程与方法：类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特别的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探究具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。3、情感看法与价值观：通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的相识；树立运动改变观点，学会运用运动改变的观点相识事物；揭示学问背景，引发学生学习爱好；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习看法；让学生感受图形的对称美、运动美，培育学生对美的追求。二、教学重、难点重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义，驾驭终边相同角的表示法及推断。难点:把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。三、学法与教法在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转驾驭终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清晰角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。教法:类比探究沟通法。四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。但不知同学们有没有留意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，老师限制好时间，2-3分钟为宜。这里面究竟是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静止的观点阐述的。（二）、探究新知假如我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好打算)1、正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件）。一条射线由原来的位置OA，围着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角.旋转起先时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；假如一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角，假如是零角，那么0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以记成“”。过去我们探讨了0°360°范围的角如图（见课件）中的角就是一个0°360°范围内的角(30°)假如我们将角的终边OB接着按逆时针方向旋转一周、两周而形成的角是多少度?是不是仍为30°的角?(用多媒体演示这一旋转过程，让学生思索；为终边相同角概念做打算)将终边OB旋转一周、两周，分别得到390°，750°的角假如将OB接着旋转下去，便可得到随意大小的正角。同样地，假如将OB按顺时针方向旋转，也可得到随意大小的负角(通过课件，动态演示这一无限旋转过程)这就是说，角度并不局限于0°360°的范围，它可以为随意大小的角(与数轴进行比较)(打开课件第三版)如图(1)中的角为正角，它等于750°；(2)中，正角210°，负角150°，660°在生活中，我们也常常会遇到不在0°360°范围的角，如在体操中，有“转体720°”(即“转体2周”)，“转体1080°”(即“转体3周”)这样的动作名称；紧固螺丝时，扳手旋转而形成的角角的概念经过这样的推广以后，就包括正角、负角和零角2象限角、坐标轴上的角的概念由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内探讨角，(板书)我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(打开课件第四版)例如图(1)中的30°、390°、330°角都是第一象限角，图(2)中的300°、60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角(板书)假如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限3终边相同的表示方法(返回课件其次版，在图(1)1(2)中分别以O为原点，直线0A为x轴建立直角坐标系，重新演示前面的旋转过程)在图(1)中，假如将终边OB按逆时针方向旋转一圈、两圈，分别得到390°，750°的角，这些角的终边与30°角的终边相同，只是转过的圈数不同，它们可以用30°角来表示，如390°30°十360°，750°30°十2×360°，在图(2)中，假如将终边OB按顺时针方向旋转一圈、两圈分别得到330°，690°的角，这些角的终边与30°角终边也相同，也只是转过的圈数不同，它们也都可以用30°的角来表示，如330°30°360°，690°30°2×360°，由此可以发觉，上面旋转所得到的全部的角(记为)，都可以表示成一个0°到360°的角与k(kZ)个周角的和，即：30°十k360°(kZ)假如我们把的集合记为S，那么S|30°十k360°，kZ简单看出：全部与30°角终边相同的角，连同30°角(k0)在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素明显与30°角终边相同。（三）、巩固深化，发展思维1、例题讲评例1.推断下列各角是第几象限角.(1)60°；(2)585°；(3)950°12解：(1)60°角终边在第四象限，它是第四象限角；(2)585°360°十225°，585°与225°终边相同，又225°终边在第三象限，585°是第三象限角；(3)950°12230°122×360°，又230°12终边在其次象限，950°12是其次象限角.例2在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（用0°360°的角表示）.解：在0°360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°与270°角，因此，全部与90°角终边相同的角构成集合S1|90°k360°，kZ；全部与270°角终边相同的角构成集合S2|270°k360°，kZ；所以，终边在y轴上的角的集合SS1S2|90°k360°，kZ|270°k360°，kZ.例3写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式360°270°的元素写出来.解：S|60°k360°，kZ，S中适合360°270°的元素是：60°1×360°300°，60°0×360°60°，60°1×360°420°.2学生课堂练习：参考练习(通过多媒体给题)。(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角肯定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)与496°终边相同的角是，它是第象限的角，它们中最小正角是，最大负角是。(3)时针经过3小时20分，则时针转过的角度为，分针转过的角度为。(4)若、的终边关于x轴对称，则与的关系是；若与的终边关于y轴对称，则与的关系是；若、的终边关于原点对称，则与的关系是；若角是其次象限角，则180°是第象限角。答案(1)是，不肯定.(2)496°十k360°(kZ)，三，240°，136°.(3)100°，1200°(4)十k360°(kZ)；十180°十k360。(kZ)；一180°十k360°(kZ)；一.（四）、归纳整理，整体相识(1)请学生回顾本节课所学过的学问内容有哪些？你知道角是如何推广的吗?(2)象限角是如何定义的呢?你娴熟驾驭具有相同终边角的表示了吗?（3）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（4）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？（五）、布置作业:习题12第2,3题五、教后反思：角的概念推广 4.1角的概念推广（其次课时） 教学目的： 1巩固角的形成，正角、负角、零角等概念，娴熟驾驭驾驭全部与角终边相同的角（包括角）、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示方法； 2驾驭全部与角终边相同的角（包括角）、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法； 3体会运动改变观点，渐渐学会用动态观点分析解决问题； 教学重点：象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法； 教学难点：终边在坐标轴上的角的集合表示； 教学过程： 一、复习引入： 角的概念的推广:“旋转”形成角,“正角”与“负角”“0角”;“象限角”;终边相同的角. 二、讲解新课： 例1.（1）若角的终边经过点.试求角； (2)若角的终边所在直线经过点.试求角. 分析：(1)为与.求得等于 (2)为与.求得等于 例2.已知是其次象限的角，推断所在的象限. 分析：由. 法（1）按k=3n,k=3n+1,k=3n+2（以上n均为整数）探讨. 法（2）把 答案：是第一、二、四象限的角. 探究：若分别在第一、二、三、四象限，分别在第几象限？ 例3.时钟1小时，时针，分针分别转多少度？把时钟拔慢5分钟，时针，分针分别转多少度？ 三、课堂练习： 1.若是第四象限角，则180°是() A.第一象限角B.其次象限角 C.第三象限角D.第四象限角 3.若与的终边互为反向延长线，则有() A.180°B.180° C.D.（21）180°， 3.终边在第一或第三象限角的集合是. 4.角45°·90°的终边在第象限. 四、作业：精析精练P4智能达标训练 高一数学集合的概念教学设计课题：1.1集合集合的概念 教学目的： （1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法 （2）使学生初步了解“属于”关系的意义 （3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法 教学难点：运用集合的两种常用表示方法列举法与描述法，正确表示 一些简洁的集合 授课类型：新授课 课时支配：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析：1集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从起先学习数学就离不开对逻辑学问的驾驭和运用，基本的逻辑学问在日常生活、学习、工作中，也是相识问题、探讨问题不行缺少的工具这些可以帮助学生相识学习本章的意义，也是本章学习的基础把集合的初步学问与简易逻辑学问支配在中学数学的最起先，是因为在中学数学中，这些学问与其他内容有着亲密联系，它们是学习、驾驭和运用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习爱好，使学生相识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在起先接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步相识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明 教学过程： 一、复习引入： 1简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数； 2教材中的章头引言； 3集合论的创始人康托尔（德国数学家）（见附录）； 4“物以类聚”，“人以群分”； 5教材中例子（P4） 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： （1）有那些概念？是如何定义的？ （2）有那些符号？是如何表示的？ （3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有关概念： 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素. 定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合 1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集） （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N， （2）正整数集：非负整数集内解除0的集记作N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合记作Z, （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q, （5）实数集：全体实数的集合记作R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括 数0 （2）非负整数集内解除0的集记作N*或N+Q、Z、R等其它 数集内解除0的集，也是这样表示，例如，整数集内解除0 的集，表示成Z* 3、元素对于集合的隶属关系 （1）属于：假如a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）不属于：假如a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、集合中元素的特性 （1）确定性：根据明确的推断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复 （3）无序性：集合中的元素没有肯定的依次（通常用正常的依次写出） 5、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q “”的开口方向，不能把aA颠倒过来写 三、练习题： 1、教材P5练习1、2 2、下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）全部很大的实数（不确定） （2）好心的人（不确定） （3）1，2，2，3，4，5（有重复） 3、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2_ 4、由实数x,x,x,所组成的集合，最多含（A） （A）2个元素（B）3个元素（C）4个元素（D）5个元素 5、设集合G中的元素是全部形如ab（aZ,bZ）的数，求证： (1)当xN时,xG; (2)若xG，yG，则xyG，而不肯定属于集合G 证明(1)：在ab（aZ,bZ）中，令a=xN,b=0, 则x=x0*=abG,即xG 证明(2)：xG，yG， x=ab（aZ,bZ）,y=cd（cZ,dZ） x+y=(ab)+(cd)=(a+c)+(b+d) aZ,bZ,cZ,dZ (a+c)Z,(b+d)Z x+y=(a+c)+(b+d)G， 又 且不肯定都是整数， 不肯定属于集合G 四、小结：本节课学习了以下内容： 1集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于） 2集合元素的性质：确定性，互异性，无序性 3常用数集的定义及记法 五、课后作业： 六、板书设计（略） 七、课后记： 八、附录：康托尔简介 发疯了的数学家康托尔（GeorgCantor，18451918）是德国数学家，集合论的创始者1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷 康托尔11岁时移居德国，在德国读中学1862年17岁时入瑞士苏黎世高校，翌年入柏林高校，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期1867年以数论方面的论文获博士学位1869年在哈雷高校通过讲师资格考试，后在该高校任讲师，1872年任副教授，1879年任教授 由于探讨无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，很多大数学家生怕陷进去而实行退避三舍的看法在18741876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神奇的无穷宣战他靠着辛勤的汗水，胜利地证明白一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了很多惊人的结论 康托尔的创建性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”来自数学权威们的巨大精神压力最终摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院 真金不怕火炼，康托尔的思想最终大放光彩1897年实行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，宏大的哲学家、数学家罗素赞扬康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”可是这时康托尔仍旧神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到劝慰和喜悦1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世 集合论是现代数学的基础，康托尔在探讨函数论时产生了探究无穷集和超穷数的爱好康托尔确定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的探讨，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础 康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础从而解决17世纪牛顿（I.Newton，16421727）与莱布尼茨（G.W.Leibniz，16461716）创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪起先，柯西（A.L.Cauchy，17891857）、魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，18151897）等人进行的微积分理论严格化所建立的极限理论克隆尼克（L.Kronecker，18231891），康托尔的老师，对康托尔表现了无微不至的关怀他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连绵不断地攻击康托尔达十年之久他甚至在柏林高校的学生面前公开攻击康托尔横加阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折法国数学家彭加勒（H.Poi-ncare，18541912）：我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西集合论是一个好玩的“病理学的情形”，后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中复原过来了 德国数学家魏尔（C.H.Her-mannWey1，18851955）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾菲利克斯克莱因（F.Klein，18491925）不赞成集合论的思想数学家HA施瓦兹，康托尔的好友，由于反对集合论而同康托尔断交从1884年春天起，康托尔患了严峻的愁闷症，极度懊丧，神态担心，精神病时时发作，不得不常常住到精神病院的疗养所去变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否牢靠他恳求哈勒高校当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位健康状况渐渐恶化，1918年，他在哈勒高校附属精神病院去世 流星埃伽罗华（E.Galois，18111832），法国数学家伽罗华17岁时，就着手探讨数学中最困难的问题之一一般次方程求解问题很多数学家为之耗去很多精力，但都失败了直到1770年，法国数学家拉格朗日对上述问题的探讨才算迈出重要的一步伽罗华在前人探讨成果的基础上，利用群论的方法从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔探讨的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换群及其子群结构的分析上同时创立了具有划时代意义的数学分支群论，数学发展史上作出了重大贡献1829年，他把关于群论探讨所初步结果的第一批论文提交给法国科学院科学院托付当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人在1830年1月18日柯西曾安排对伽罗华的探讨成果在科学院实行一次全面的看法听取会然而，其次周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作1830年2月，伽罗华将他的探讨成果比较具体地写成论文交上去了以参与科学院的数学大奖评比，论文寄给当时科学院终身秘书JB傅立叶，但傅立叶在当年5月就去世了，在他的遗物中未能发觉伽罗华的手稿1831年1月伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作当时的数学家SK泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最终他还是建议科学院否定它1832年5月30日，临死的前一夜，他把他的重大科研成果匆忙写成后，托付他的挚友薛伐里叶保存下来，从而使他的劳动结晶流传后世，造福人类1832年5月31日离开了人间死因参与无意义的决斗受重伤1846年，他死后14年，法国数学家刘维尔着手整理伽罗华的重大创作后，首次发表于刘维尔主编的数学杂志上高一数学随意角的三角函数教学反思 高一数学随意角的三角函数教学反思 “随意角的三角函数”是三角函数这一章里最重要的一节课，是本章的基础，也是学生难以理解的地方。因此，本节课的重点放在了随意角的三角函数的理解上。在本节课的开头以学生所熟识的直角三角形的锐角入手，引导学生尝摸索究，逐步深化，引出随意三角函数的定义，以问题的形式巩固深化随意角三角函数值的计算。引导学生自主探究随意角的三角函数的生成过程，让学生在活动中体验数学与社会的联系，新旧学问的内在联系。 通过随意角三角函数的定义，启发学生找到各个三角函数在每个象限的符号以及在坐标轴上的值。并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”这一句话来概括了各个象限的符号。 在例题的设置上，例1是已知一个角终边上一点的坐标，求这个角的三个三角函数值。通过这个例题的练习，让学生更好地巩固了随意三角函数的定义，会求随意一个角的三角函数。例2和例3的设置是让学生进一步熟记各个三角函数在每个象限的范围以及坐标轴上的值。例4是把几个三角函数组合在一起，形成一个新的函数，结合函数的表达形式求定义域，能够让学生反过来已知三角函数值的符号去推断角的大小. 但是，要想让学生真正的学会并且敏捷运用所学的学问，只靠老师上课讲是远远不够的，还须要学生在课下多做练习才行，所以，在讲课的基础上，我们还须要督促学生多做练习，因为只有熟才能够生巧，在以后的教学中，我还须要多多反思，多多探究。 第17页 共17页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页