线性代数线性代数线性代数 (2).pdf

矩阵与线性方程组 从历史上看,矩阵正式作为数学中的研究对象出现,是在行列式的研究发展起来之后.英国数学家Arthur Cayley(1821-1895)被公认为矩阵论的奠基人,他提到矩阵概念“或是从行列式的概念而来,或是作为一个表达方程组的方便的方法而来的”(莫里斯 克莱因古今数学思想第33章).矩阵在数学和物理学等其他科学分支中，都有着广泛而重要的应用.A.Cayley 2.1 矩阵(matrix)与向量的乘积 例：矩阵 与向量 的乘积等于矩阵的列向量的线性组合.2.1 矩阵与向量的乘积 上述方程组 也可表示为 这诱导了矩阵乘向量的另一种定义：设 则 2.1 矩阵与向量的乘积 通过 的上述两种定义，我们对线性方程组可有两种新理解.例：理解一：求向量 的线性组合，使之等于 理解二：求向量 使之与系数矩阵行向量 的点积分别为 2.1 矩阵与向量的乘积 例：将平面上所有向量绕原点 旋转角度 则点 在此旋转变换下得像 为 这可表示为 注：这节涉及到的矩阵都是行数与列数相同的矩阵，即方阵.2.2 可逆矩阵 线性方程组 解的情形比数量方程 要复杂.若 对任意向量 有唯一解，则 是可逆的(invertible).例：任意给定 方程组有唯一解 故系数矩阵 是可逆矩阵.2.2 可逆矩阵 对线性方程组 若 可逆，则可由常数项 求得 矩阵 称为 的逆.2.2 可逆矩阵 设 若 可逆，则 的全部线性组合是整个 维空间.此时 写成 的线性组合只有一种可能：这时我们称向量 线性无关(linearly independent).相应 只有零解.2.2 可逆矩阵 否则 可以写成 的多种线性组合.如 这种情形下，称矩阵 是奇异的(singular)，向量 是线性相关的(linearly dependent).即存在不全为 的数 使 2.2 可逆矩阵 例（循环差分矩阵）给定 若 则 为任意实数.（无穷多解）若 则方程组无解.2.2 可逆矩阵 从几何上看，线性相关,它们的全部线性组合是平面 总结：若方阵 的列向量线性无关，则 可逆，只有零解.若方阵 的列向量线性相关，则 奇异，有无穷多解.2.3 线性方程组的行图和列图 给定一个线性方程组 (个方程,个未知量)(1)它可以写称矩阵形式 (2)从行(row)的角度看，每行代表一条直线，方程组的解为两直线的交点.方程组的行图(row picture)2.3 线性方程组的行图和列图(3)从列(column)的角度看，方程组可改写为 解方程组 求 关于系数矩阵列向量 和 的 线性组合.可以看出 所以方程组的解为 方程组的列图(column picture)2.3 线性方程组的行图和列图 (4)系数矩阵 是可逆的.考虑 ,求得 （唯一解）.2.3 线性方程组的行图和列图 一般地,设 为 矩阵,方程组 的每行表示一条直线 或一张平面 或一张超平面 解方程组 考察这些直线或平面或超平面是否有交点.求 满足 方程组对任意 有唯一解 可逆 此时 （可表示为 的列向量的线性组合）.2.3 线性方程组的行图和列图 例 矩阵形式 行图 每行方程确定三维空间 中的一个平面,点 是三个平面的交点.2.3 线性方程组的行图和列图 列图 方程组 三个列向量 不共面，其线性组合可产生任意三维列向量.2.3 线性方程组的行图和列图 可逆：有唯一解：2.3 线性方程组的行图和列图 例：系数矩阵 的三个列向量与向量 点积都为 但常 数项 故常数项不能表示为 的列向 量的线性组合.所以方程组无解.