7.3 空间几何体积及表面积（精讲）（解析版）.docx

7.3空间几何体积及外表积（精讲）思维导图名称梭柱陵台图彩>A B点CA BD9底面互相平行且相等多边看互相平行且相似例检互相平行且相等相交于一点，但不一定相等延长发交于一点侧面彩状平行四边彩三角彩睇彩<多面体|心|底面为|平行|侧棱垂直|直平行|底面为后二 底面I工巾丛,1刨棱与底面I 回接旬平行西方形层矗 于底看 I六总体I w 匡处U"铀等自理任I边 1 匡处空间几何体的结构及其外表积体积旋转体e直观图画法：常用斜二测画法原图彩中x轴、y轴、z轴两两垂直，直现图中，*'轴、/ 轴的夹角为45° （或.135° ） Z轴与一轴和/轴所在平面垂直.原图彩中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于X轴和N轴的线段在 直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.外表积体积柱体（棱柱和圆S 袅*»=S - + 2S .V=Sh锥体（梭维和囿律）s 2“=s，+S <V=-Sh 3台体（梭台和囱台）S it=S制+s上+s下上+S下坟上S T）hJ*S=4tR3圄台体积和外表积圆柱S”.= n （广+L ） /（2）假设。为AC的中点，求三棱锥B PCD的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）立6【解析】（1）连接四边形A8CQ为菱形，NA = 60。，A3。是等边三角形.£为4。的中点，：.BEA.AE, BEA.DE.又AB = 2,，AE = DE = 1, AD = 4i，*- AE2 + ED2 = AD2，： AE1ED, : BC "DE, ：,BC】BE, BC.LAE.又= AE 平面ABE, BE 平面AB石,，3CJ_平面AB石.（2）由（1）知AELBE， ： BEcDE = E, BE 平面 BCQE, DE 平面 BCZ)E.AE，平面3CD£./。为AC的中点.：.P到平面BCD的距离-AE = -227 S.bcd =；x2x2xsin60° = V5；，VB-PCD = Vp_BCD = Z , SrCD AaE =弟, 326即三棱锥B - PCD的体积为3.（2021 正阳县高级中学高三其他模拟（文）在三棱柱A3C-4耳G中，侧面A4CCJ_底面A5C, AB = BC 2 , AC = 2,且。为 AC 的中点.（1）证明：平面A08_L平面A3C；（2）求点A到平面$5。的距离.【答案】（1）证明见解析；（2） 2亘.7【解析】（1）证明：因为4A = 4C,且。为AC的中点，所以A0JLAC.因为平面AACC，平面ABC,平面A4c平面A5C = AC,所以4。J_平面ABC所以平面平面ABC；（2）解：设点/到平面45C的距离为近由（1）知，4。，平面ABC.因为 = A。= A3 = 2 , AC =，所以 AO = a/,所以 A(9 =A。= i, BO = 1ab2 - AO? =1.因为 3。= 4。= 1,所以 45 =0，所以 SA加culAC-BOug,ABAB等腰三角形ABC中，以A3为底边，那么三角形的高为 AS/XABC因为"a-abc = Va.abc，Vx ABC = SABC - O = x V3 x 1 =1/i|-/119v3 z_x /iijvi334. （2021 合肥一六八中学高三其他模拟（文）如图，平面四边形ABPC,其中AB = BC = AC = 6,CP=BP = 10.将P5C沿3C折起，使在面A8C上的投影即为A4在线段PA上，且PA = 4P4，月为总中点，过A区作平面使区。平行于平面。，且平面a与直线ARAC分别交于、E,与PC交于G.An（1）求黑的值;DB（2）求多面体用5CGOE的体积.【答案】（1）42 = 3； （2） 18a/3 .DB【解析】（1）3。/面。，且=面ABC,面A5CD面 BC/DE,AM B、M 1 AM 1过4做AM血交PB于轨得黄=笳=5'而*="：.BD = 2A,M , AB = 4A,M ,即 AD = 64M*pp(2)连接 BC 与用E, Vr'Bcgde VbBCED + G-BCE，pA由题意知：B、G = 3,g到面石的距离,而PA = dPB2-AB2 =8,且。石=9,又BCE、ABDE分别在BC、。石上的高均为地.245a/34_1 3_9上 Q _ 1 3a/3 q_27a/3 皿叱 3.BCE =3乂6 = ，、aBDE =,xx9=4，BCED = baBCE + 'aBDE bcfd = * x 4 = 15>/3 ， 且 Vn rcf = - x -x 4 = 6>/3 ， 而a、- m 匕 d 341 " oczi 32VgB'CE E-BjCG = 5 /一818c BX-BCE 36，二18技 综上：Vb'BCGDE 综上：Vb'BCGDE考点四生活中的空间几何【例4】（1）（2021 安徽高三）九章算术是中国古代的数学专著，在卷五商功重有一问题：今有沟,上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈.问积几何？答曰：四千三百七十尺.意思是说现在有一条水沟， 截面是梯形，梯形上底长一丈五尺，下底长一丈，水沟的深为五尺，长七丈.问水沟的容积是多大？答案是 4375立方尺.假设此沟两坡面坡度相同，某人想给此沟外表铺上水泥进行固定，不计水泥厚度，那么需要水泥多 少平方尺？（一丈等于十尺）（）A. 4375B. 1875 + 35075 C. 1750 + 350石D. 700 + 3506（2） （2021 甘肃白银市高三其他模拟（理）木升子是一种民间称量或盛装粮食的工具（如下图），呈 正棱台形，一般由四块梯形木和一块正方形木组成，其上口是一个正方形，下面是一个封口较小的正方形. 现有一木升子（厚度忽略不计），其上口周长为52 cm,下口周长为40cm,侧面等腰梯形腰长为8 cm ,那么该木升子的侧面积约为（）（结果精确到O.lcn?,参考数据：7247 15.72）A. 90. 4cm2B. 180. 8cm2C. 361. 6cm2D. 368. 0cm2【答案】(1) D (2) C【解析】（1）依题意，该沟是一个底面是梯形的直四棱柱,底面梯形的上底长一丈五尺，下底长一丈，高5尺，棱柱的高为70尺,因为该沟两边坡面破角相等，所以坡面宽为，52+（2）2 = 述, V2所以此沟外表为三个矩形的面积，矩形的长为70尺，宽分别为10尺，述尺，施尺，所以面积共计 22为700+ 3506平方尺.应选：D（2）由题意可得该木升子上口边长约为13cm,下口边长约为10cm,故侧面等腰梯形的高左卜4-9普=胃刖），所以该木升子的侧面积为* 二七361.6（叫.应选:C.【一隅三反】1. （2021 黑龙江佳木斯市）蹴鞠（如下图），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠 最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5 月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.某蹴鞠内切 于三棱锥S A8C, 54_1_面43。，AB1BC,必=4, AB = 3, BC = 4,那么该蹴鞠的体积为（）、41V4?A.兀69B. 一71169C. 一 714D. 471【答案】B【解析】如图,【解析】如图,SAJ_ifA3C, BCu平面ABC,：.SA±BC,又且SAcAB = A,3。，平面5钻，可得SA = 4 , AB = 3 , BC = 4,三棱锥S ABC的体积V = x'x3x4x4 = 8； 3 2外表积 5= x3x4 + x3x4 + x5x4 + x4x5 = 32. 2222设三棱锥内切球的半径为R，由等体积法可得：；x32xH = 8,3得R = 749兀.169兀.164内切球的体积为V= 71X 3应选：B.2. （2021 江苏南京市高三一模）钺（y海）的本字其实是“戊（yu©）”，是一种斧头.在中国古代，长 江流域以南的少数民族都被称为越人，由于民族很杂部落众多，也称“百越”，有学者指出，“越人”的“越”, 其含义可能由“戊”而来，意指这些都是一帮拿着斧头的人.此外，“戊（M）”的本意和“戊” 一样，也 是指斧头.如图是一把斧子，它的斧头由铁质锻造，它的形状可以近似看做由上下两个多面体组合而成， 上部是一个长方体，下部是一个“楔（月3）形"，其尺寸如图标注（单位：cm）,铁的比重为7.87g/cm3,斧头上用作安装斧柄的洞眼仍看作实心，这只斧头的质量（单位：g）所在的区间为（）A.(800,1200) B. 1200, 1600) C. 1600,2000) D, 2000,2400)【答案】A【解析】【解析】10由题得几何体有一个长方体、一个三棱柱和两个三棱锥组成,长方体的体机3x5x5=75；175三棱柱的体积：一x3x5x5=一；22两个三棱锥的体积：2xlxlx3x5x- = ；3 22 275 25所以几何体的体积为75+ + =125 , 22所以这只斧头的质量为7.87 x 125=983.75.应选：A3.（2021 江苏南通市高三其他模拟）中国气象局规定：一天24h里的降雨的深度当作日降水量，通常 用毫米表示降水量的单位，1mm的降水量是指单位面积上水深lmm.如图，这是一个雨量筒，其下部是直 径为20cm、高为60cm的圆柱，上部承水口的直径为30cm.某同学将该雨量筒放在雨中，雨水从圆形容器 口进入容器中，24h后，测得容器中水深40cm,那么该同学测得的降水量约为（）A. 17.8mmB. 26.7mm C. 178mmD. 267mm【答案】c【解析】由题意，水的体积V = 71x10x10x40 = 4000兀（cn?）,容器口 的面积 S =乃 x 15? = 2257i（cm2）.降雨量=40°°） x 17.8（cm） = 178mm.225.该同学测得的降水量约为178mm.应选：C.4 . （2021 福建厦门市高三二模）2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔弗兰泡沫， 威尔弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），该多面体共有24个顶点，且棱长为1,那么该多面体外表积是（）开尔文胞体A. 973+6B. 973+8C. 1273 + 6D. 1273+8【答案】C【解析】棱长为1的正方形的面积为1x1 = 1,正六边形的面积为6x,x1x1xY3 = 迪，222又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，所以该多面体有6个正方形，正六边形有6x4+3 = 8个，所以该多面体的外表积为8x2叵+6 = 1273+6，2应选：C.5 .（2021 贵州高三期末（文）如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16,当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的二（中间衔接的细管长度忽略不计）.当细沙全部漏入下部2后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，那么此沙堆的侧面积为（）A. 4e乃C. 32后兀D. 16布兀【答案】D解析】细沙在上部容器时的体积V = ' x x 42 x 8 二三二, 33流入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8,设高为九,128万1 9那么一 x"x 8一4=，33所以4=2 ,下部圆锥形沙堆的母线长/ = 病淳 =2V17，故此沙堆的侧面积S侧=» x 8 x 2 JF7 = 16后兀.应选：D.常见考法考点一 空间几何体基本概念例1 （1） （2021 赤峰二中高三一模（文）以下说法中，正确的有（）个.各个面都是三角形的几何体是三棱锥；过球面上任意两点只能作球的一个大圆；三棱锥的四个面都可以是直角三角形；梯形的直观图可以是平行四边形.A. 1B. 2C. 3D. 4（2） . （2021 浙江高三期末）水平放置的A6C按斜二测画法，得到如下图的直观图，其中B'O' = CO' = 2, AO'=6，那么ABC 是一个（）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.三边互不相等的三角形【答案】（1） A （2） B【解析】（1）如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是三棱锥，故错误；过球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，故错误；一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥，满足题意，故正确;因为平行于X轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故错误.应选：A(2) AO'在y轴上，AC在£轴，因此AO_LBC,在原图形中AO = 26,BC = 4,ZABC = ZACB = 60° ,三角形为等边三角形.应选：B.【一隅三反】. (2021 曲靖市第二中学)四边形Q4BC的直观图O'A'5'C'如下图，04 = 38'。，O'A'J_£C, Sc=8, CD'I/y', CE，=叵,。'为O'A的三等分点，那么四边形。43。沿V轴2旋转一周所成的空间几何体的体积为()【答案】B【解析】因为°?=正,CD'lly', O'AEC,所以CZ>' = 1, 2由三视图知原图形为等腰梯形，如图等腰梯形OA5C, CO是梯形的高，CD = 2CD' = 2,OA = OfABC = BfC,所以 OA = 38C,S()ABC =-x(OA+BC)xCD = -x4BCx2 = 8 , BC = 2, OA = 6, 22延长BC, AB分别与y轴将于N, E,四边形。钻C沿y轴旋转一周所成的空间几何体可以看作是是三个直角Q4E, OCN, aNBC旋转所 形成的圆锥的组合体.由NC = 00 =04 = 2 = ON, NE = NB = 4, 3体积为 V = ttx62 x6-x22 x2-ttx42 x4 = 48tt .333应选：B.1 .（2021 浙江高三期末）等腰梯形/式现绕着它的较长底所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A. 一个圆台、两个圆锥B. 一个圆柱、两个圆锥C.两个圆台、一个圆柱D.两个圆柱、一个圆台【答案】B【解析】将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如下图：D矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边旋转一周得到圆锥；因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得几何体为：一个圆柱、两个圆锥.选：B.3.（2021 浙江高三期末）如图是一个水平放置的直观图、它是一个底角为45；腰和上底均为1,下底为血+ 1 的等腰梯形，那么原平面图形的面积为【答案】2 +后【解析】:平面图形的直观图是一个底角为45。，腰和上底长均为1的等腰梯形,，平面图形为直角梯形，且直角腰长为2,上底边长为1,梯形的下底边长为1+及，.平面图形的面积S=l + l；x2 = 2+夜.故答案为：2 +应.考点二空间几何的外表积【例2】（2021 全国高三其他模拟（文）如下图的扇形是某个圆锥的侧面展开图，扇形所在圆的半径R = 5 扇形弧长/ = 4万，那么该圆锥的外表积为（）B/1A. InB.1+ 2石,C.（3 +石卜 D. 8万+石【答案】B【解析】设圆锥底面圆半径为小 那么2%r=4万，解得=2，圆锥的外表积5表=S底面圆+S侧=»/+,/尺=万*22+ *4乃*石=（4 + 2逐）万，应选：B.【一隅三反】（2021 山西高三三模（文）现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为2,将它重新制作成一个体积与高不变的圆锥，那么该圆锥的侧面积为（）A. 6忑藐B. 8舟C. 8D. 4叵i【答案】B【解析】根据题意，圆柱的体积为V =7><22 x2 = 8tt，设圆锥的底面半径为小那么匕隹二,xx/x2 = 8，解得 =2百，所以圆锥的母线长为/ =产工=4,所以该圆锥的侧面积为5 =不力=8昌 应选：B2 （2021 全国高三其他模拟（文）正四面体ABC。可以在圆锥SO内绕自身的中心任意旋转，假设该正四面体棱长的最大值为2血，且圆锥的高为3g，那么圆锥SO的外表积为（）A. 27B. 30万C. 32兀D. 36万【答案】A【解析】如图，当正四面体棱长取到最大值2后时，其外接球半径 = Y5x20 = 6, 4此时该球为圆锥SO的内切球，设球心为P,圆维S。的底面半径为R,作轴截面如图，。为切点，那么=,即 J l = -I，SP SB 3V3-V3 VFT27解得庐3,故圆锥SO的外表积为%x3x6 + "x9 = 27».应选：A（2021 天津高三其他模拟）四棱锥P-A8CO底面为边长为2的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，假设该四棱锥的体积为逑，那么它的外表积为（）3A. 8B. 12C. 4 + 8a/3D. 20【答案】B【解析】如图，设底面中心为O,那么V=，x2x2xPO = y3,可得尸O = J5，1 /ii£>CZ-Z 33,因为底面为正方形，那么AO = 0，;PA = d2 + 3=5那么的边AB边上的高为'（3”=2 ,那么该四棱锥的外表积为2x2 + 4x'x2x2 = 12.2应选：B.AAB的面积之比为（）A 73n 72r V3DA D C/ U 223【答案】D【解析】如图，PO是正四棱锥尸一A3CQ的高，A AB设底面边长为。，那么底面积为因为正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45。，所以NQ4O = 45。，又A0 = Yq, 2所以 PA = V2 x， 2所以243是正三角形，面积为§2=走"， 2 4V3 2 L所以S? = a 61,3 一片-4应选：D.考点三空间几何体的体积【例3-1（2021 全国高考真题）正四棱台的上、下底面的边长分别为2, A. 20 + 1273B. 28a/2C.三D.V344,侧棱长为2,那么其体积为（）28034 （2021 山西运城市（理）某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45。，那么该正四棱锥的一个侧面与底面【答案】D【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图,因为该四棱台上下底面边长分别为2, 4,侧棱长为2, 所以该棱台的高介=J22-（2a/2-V2）2 = V2，卜底面面积3=16,上底面面积S2 =4,所以该棱台的体积v =！Me + S2+廊7）=10 Q-xV2x(16 + 4 + VS) = V2.应选：D.【例3-2.（2021 安徽高三其他模拟（文）正方形A3CQ的边长为2,点£,尸分别是CO, 5C的 中点，沿AE把七折起得到几何体OABCE.（1）当。时，求证：AF1DE.（2）当平面平面A3CE时，求三棱锥O-ABC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）逑.15【解析】（1）因为在正方形ABC。中，点歹分别是。O, BC的中点，所以石,又AF上BD, BEcBD = B,所以AF工平面BDE,因为。£u平面班）£,所以AF1QE.（2）因为?!石。是直角三角形，且正方形边长为2,所以AED的面积为1,而A =百，所以4££）边AE上的高为力=35又平面AEDJ_平面A5CE,所以边AE上的高即为三棱锥O-A4C的高, 又aABC的面积为2,所以三棱锥D - ABC的体积为,x 2 x 正=拽3515【一隅三反】（2021 安徽华星学校）四面体ABCO中，平面A5DJ_平面BCD, AB。是边长为2的等边三角形，BD = CD, BD±CD,那么四面体ABC。的体积为（A【答案】AD. 273【解析】因为平面AB。_L平面BCD,平面ABDc平面= CDA.BD, CDu平面BCD, CD八平面ABD,/ CD = BD = 2, S4abd =x22 = 5/3 »所以，Vjabd=4abd.CD = ；x02 = *应选：A.1. （2021 天水市第一中学高三其他模拟（文）如图，在菱形ABC。中，NA = 60。且A3 = 2, E为AD 的中点.将ZWE沿BE折起使AD = 0，得到如图所示的四棱锥A BCD石.