公开课：一道圆的习题的探究与拓展(教师用).docx
专题：一道圆的习题的探究与应用1、背景；几十年高考及各地各种大小备考，可以汇集成题的海洋。但细究起来，其知识源头不过是重要的几个。题的不同根基也屈指可数，在复习圆这一章节的时候，我们发现在高考的数学正卷中，屡次出现的同一个题根“阿波罗尼斯”，竟连绵考核了 10年以上。所以今天我们尝试将这个内容单独提出来做一个专题，以试探讨。2、设计意图：在课堂教学中，假设能引导学生对试题进行适度的引申和推广，将有利于培 养学生的归纳推理和类比推理的能力，有利于提高学生自主探究问题和创造性地解决问题的能力.充分挖掘和拓展高考试题的教育功能，表达和展示高考试题的教学价值。3、教学目标：初步认识“阿波罗尼斯”，识别题目中“阿氏圆”，并能初步应用“阿氏进行相关题目的解答。一、教学引入【题根】(人教A版必修2, pl24, B组，3题。)点“(%,y)与两个定点O (0, 0) ,A (3, 0)的距离比为,，求点M的轨迹方程。 2r【理论探究】(北京春季高考题)动点到定点片(-。0)、8(c,0)的距离之 比为定值入.(c,九为正数)，那么点M的轨迹是什么？【解析】依题意，由距离公式：x + c)2+y2 =(x-c)2+y2 ,化简得：(1-22)x2+(1-12)/ +2c(1 + 22)x+(1-A2)c2=0(1)【讨论】方程的图形是什么？当九=1时，得 = 0，也就是线段耳工的垂直平分线(定义这样的直线为阿波罗直 线)；9 9 2c（l + 22）9当今1时，方程（1）变形得：x2 + y2+一=% + /=0,化成标准形式: 1-2222+122+122-l（2）,这是以22+l22-l、g0为圆心，且半7径厂=当-的圆。（定义这样的圆为阿波罗尼斯圆，简称为“阿波罗圆”或“阿氏圆”） 22-1结论 在平面上给定两定点A、B,设在同一平面上的动点P满PA足统=2（2 >0且1）,那么点P的轨迹是圆.UD【欣赏】阿波罗尼斯圆与直线：同一个方程，根据参数力的不同，时而表示直线，时而表示圆，这是直线与圆的统一美。归纳:关键词：两定点一个定比一个定因为有。=1,4 =四，代入阿波罗圆公式得0yA：（x 3）一 + 丁=8。设圆xA O b B M图4二、问题探究问题一1、两定点AG1, 0）, 5（1, 0）,如果动点尸满足|"4|=2|尸为，那么点尸的轨迹所包 围的面积等于.2、（08.江苏13）满足条件/15 = 2,4。=行8。的443。的面积的最大值是【解析】显然这又是一例“阿波罗圆”，建立如图4的直角坐标系,心为M,显然当CMJ_x轴时，ZXABC面积最大，此时|。0| = 20,) 228=2夜./max )评注：既然ABC存在，说明其轨迹不包括与X轴的两个交点P,。, 现在问：P,。这两点究竟有什么性质?由于必=8二日PB CBCP为4ACB的内角平分线；同理，。为4ACB的外角平分线。线。这就是说，P,。分别是线段AB的内分点和外分点，而PQ正是阿氏圆的直径。于是“阿波罗尼斯”在我们中国又被称为“内外圆”.因此，题3又有如下的轴上简洁解法:动点C到定点4(1, 0)和3 (1, 0)距离之比为血，那么有|%+1|=四|% 1|,因因=> x2 +2x + 1 = 2(Y 2x + 1) = %2 6x + 1 = 0 = x = 3±2a/5,工得X =3-2行为内分点，x2 =3 + 2a/2为外分点.即为三角形高的最大值，即A8C高的最大值是2VL故A8C的面积的最大值是2vL问题二 点 A(-2,0), 5(4,0),问题二 点 A(-2,0), 5(4,0),C:(x + 4)2 + y2=16,。上任意一点，问是解：假设存在常数九 对于。上任意一点P,使得由题意得：性以,(根-4)2 +2否存在常数九使得得H假设存在，求出常数九假设不存在，请说明理由.设 P(m,)，那么(加 + 4+ n2 = 16,整理(1 丸2)根2 +(1_丸2)几2 +(4 + 822)m + 4-1622 =0 ,由得，府+*=-8m代入式, 得：(16万4)/n + 4 - 16抬=。对于无穷多个m恒成立,威-4 = 0 解得 X = ±L 又 2>0,所以;l = L 22三、高考精彩(2013.江苏卷,17题(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),直线/： y = 2x-4.设圆C的半径为1,圆心在/上.假设圆。上存在点使他4 = 2MO,求圆心。的横坐标a的取值范围。【解析】点C在直线/： y = 2x-4 ± ,故设C(a,2 4)半径=1, 圆C的方程是:2 rx-a)+ y满足M4 = 2MO的轨迹正是阿波罗尼斯圆D,由次+仆3=2次+ y2 nx2+(y + )2 =*这里圆心为D (0, -1)，半径4=2.yX2oD (两圆有公共点的条件是:两圆有公共点的条件是:rxr2< DC < rx+r2 .912即 1<5q212q + 9<9,解得044一5评注：图中可以直观地说明两圆公共点的变化情况,评注：图中可以直观地说明两圆公共点的变化情况,当 =0时,圆C为V+(y + 4)2=l与所求12D相切;当=一时，圆C为5(12、xI 5 J2 (4 A+ yI 5 J2=1,12也与所求圆D相切。这样，答案0的正确性也就不言而喻了.四、课后题根精练1、(06四川理6)两定点班(2 0), B(L 0),如果动点尸满足|E4|=2|二为,那么点P的轨迹所包围的面积等于()A.nB. 47rC.87rD.9n【解析】显然这又是一个阿波罗圆，由上述评注我们可以实行轴上解决。设。为坐标原点，注意至"Q4|=2|O同，可知原点O为线段AB的内分点.设AB的外分点为C(x,0),%r + 2由 =2=> =2=% = 4,即有C(4, 0).于是圆直径为|0。=2/=4,，r=2,CBx-1'1所求轨迹面积S = 7T-22 = 4不，应选 B.2、AABC中，角。的平分线交AB于点T,且2, TB = 1.假设AB上的高线长为2,求ZUBC的周长.【解析】建立如图5的直角坐标系，CB TB故点C的轨迹是阿波罗圆D,且T为AB的内分点。外分点为G(x,0),.酬=二2GB x-1，|7U| = 2v = 4/ = 2,故点D (2,0).ZU8C中A8上的高线长为2,即CD_LA4,图5且|8| = 2,由勾股定理得：|C4| = 26,。却=逝，|45|=3,故所求三角形ABC的周长&4c =3 + 345.评注：如果没有阿波罗的知识，你可能发现不了此三角形的高原来就是圆的半径,这是一个巧妙的隐含条件。3.设复数2 = 1+丁，（羽y wR ）,假设I z l|=2| z + l|,那么复数Z所对应的点的轨迹方程3、2=£.如图，设复数Z = JC+y对应的动点为C (x,y),那么:z-l=2z +11=> “Ip+ V = 2(x + l)3x2 +3y2 +10x + 3 =。，也就是9 16+ »二 92题解图注：此题虽然是以复数的形式出现，但实质还是阿波罗圆的一种形式。注意到这里c = 1,2 = L （原意是CB=2C4,应转化为C4=,C5 ） . 22假设直接代入公式:22 + 122-11694. （2011 .陕西理卷.17题）如图，设P是圆V + y2=25上的动点,4点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且|MQ|= |PO|.（I ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；4（II）求过点（3, 0）且斜率为一的直线被C所截线段的长度.5x= X5.P在圆上,4. （ I ）设M的坐标为（x,y） ,P的坐标为（%,%）.5X2/+(_ >=25,即C的方程为十42544（II）过点（3, 0）且斜率为一的直线方程为y = （x 3）,设直线与C的交点为4丫2 （3）2将直线方程y = （x 3）代入C的方程，得一十 上=1,即%23% 8 =。,52525.3-741 X , X-23+VJT，：.线段AB的长度为I AB = J(X%2)2+(y -%)2 = J(1 +- %2)2341025思考1点4(-2,0),C:(x + 4)2 + /=16,尸是圆C上任意一点，问：在平面上是否存在点"使得意寸假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由.PA 1解：假设存在点5(/)，对于圆。上任意一点P,使得d = LPB 2Ay当 P(0,0)时,>2+。2.春+八yJ(0-a)2+(0-b)2 2当 P(8,0)时,产8 + 2“.« + 8)2+*144, "(8 q)? + (0 b)? 2BOxA解得4 = 4:(所以点B的坐标为(4,0),。二0,证明：点B的坐标为(4,0)时，设P(m,n)，那么(租+ 4+加2 =僚,PA _yj(m + 2)2 +n2PB (m-4)2 + rrV16-16m所以存在点仅4,0),对于圆。上任意一点尸，使得以=PB 2思考 2 设圆 C:(x + 4)2 + y2=i6,动圆 + y2 2dLv 2(8 ”)y + 4a + 22 0 ,试探究：.平面内是否存在定点P,过点P作圆C的一条切线，切点为Z，过点P作圆M的一条切线，切点为,使无穷多个圆加'满足最=<?如果存在'求出所有这样的点PC2-161PM2 -r24P;如果不存在，说明理由.解：设定点尸(也)，由题意得，二=PT?3m2 + 3/ + 32m + 2am +16 一 2cm 4。- 22 = 0,(2-2m + 4)a -(3m2 + 3/ + 32m +16 - 22) = 0 对于任意的 a 恒成立，2n 一 2m + 4 = 0,所以点尸的坐标为(1,-1)或(-7,-9).解得3m2 + 3h2 + 32 m + 16-22 = 0,
