三维设计二轮原创押题卷(一).docx

原创押题卷（一）（时间：120分钟总分值：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中, 只有一项为哪一项符合题目要求的）1 .全集 U=R,集合 A=1, 3, 5,集合 8=x|x26x+520,那么 图中阴影局部表示的集合为（）A. 1, 3, 5B. 3, 5C. 0, 3D. 3解析：D 3=兄%2 6x+520 = x|x25或xWl,阴影局部为3.应选D.2.命题p： = 1,命题0复数z=y为纯虚数，那么命题是夕的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件I i解析：C 设2=万，b£R且匕W0,那么工1二万，得到l+i=Q人+万，1 = 且1 +ai1=" 解得 =-1.应选C.3.直线 Q 2xysin +5 = 0, /2： 3x-2（2-sin ）y+2 021=0,假设 /i,b，那么 sin a =（）A. -1B. 0C. 1D. 一1 或 1解析:A V/i±；2, /.6+2sin Q（2sin 4）=0,解得 sin a = 1 或 sin a =3（舍去）.故 选A.4 .。=esmi, Z?=ln（sin 1）, c=sin 1,那么 a, b, c 的大小关系为（）A. a<b<cB. b<c<aC. c<b<aD. b<a<c解析:B 因为 0<sinlvl,所以 e'skli>l, ln（sin l）<0,所以。<c<a.应选 B.5 .抛物线C： 丁2 = 2式>0）,过抛物线C的焦点/作1轴的垂线，与抛物线C交 于A, B两点,。为坐标原点，的面积为2,那么抛物线方程为（）A. V=2xB. y2=4xC. y2=8xD. y2=16x解析:B 设Ae，yo）,那么S=dX?>< 2y（）=2,解得，（产万.二人在抛物线上，铲=2义义多 :,p = 2,故抛物线的方程为y2=4x.应选B.所以直线MN恒过点你假设直线与轴垂直，设直线MN的方程为x=QW2),那么羽=无2=m)"=一”,所以丽 市 =«2,9一1)02, y 1)= (f2)2+1 4，+5 2+a=1(5z-6)(r-2)=0.所以此时直线MN经过点停 一I).综上可得，直线MN恒过定点像一§.22.(本小题总分值12分)函数段)=xee(e是自然对数的底数).(1)求曲线人工)在点(1,火1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)假设函数g(x)=«x) Zlnx有且仅有两个不同的零点，求实数k的取值范围.解:(1)由题意知/=(l+x)e那么/ (l)=2e,且-1)=0.所以曲线 >=0)在点(1,41)处的切线方程为y=2e(x-l).所以直线y=2e(xl)在x轴，y轴上的截距分别为1, 2e, 因此所求三角形的面积为已(2)g(x)=xexldn xe(x>0), g=0,当女W0时，函数g(x)是增函数，g(x)有唯一的零点，与矛盾；r, , k x (1 +x) exk当攵。时，屋 Q) = (l+x)ex;=,令(x)=x(l+x)e'贝I/(©=(1+3%+/)9>0,所以(x)是增函数，又/?()=-NO,= k(l + 电心一k>kk=3 故存在刈£(0, k),使 献血=刈(1+xo)exoZ=0,即 Z=xo(l+xo)ex().当£(o, &)时,/i(x)<o,即9。)<0, g(x)单调递减；X£(XO,+8)时，h(X)>0,即g<X)>0, g(X)单调递增,所以函数g(X)有最小值且g(X)min=g(xo)=xoexo攵In xoe=x()exo%o(l +xo)exoln xo-e,且 g'(x()=(l+3xo+x8)的la%,当 x()£(0, 1)时，/ (x()>0, g(xo)单调递增；当沏W(l, +8)时,屋(沏)<0, gQo)单调递减,所以g(配)min<g=。.当的W(o, 1)时,存在与£(0,劭)使g(»)=0,又g=0,故g(x)有且仅有两个不同的 零点，此时左£(o, 2e)；当xo=l时，此时攵=2e, g(x)有唯一的零点X0；当为£(1, +°°),存在X2£(XO, +8)使g(X2)= 0,又g(l) = 0,故g(x)有且仅有两个不同的零点，此时Z£(2e, 4-00).综上所述左寺(0, 2e)U(2e, +).6 .尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，例如, 地震释放出的能量£（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8 + L5M据此推 断2008年5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地 震所释放的能量的（）B. 4.5 倍D. 1。4.5 倍倍C. 450 倍贝噜=a5,即耳=心5&解析：D 设里氏8.0级和里氏5.0级地震所释放的能量分别为和那么lgEi=4.8+ 1.5X8, 1g £2=4.84-1.5X5,所以 l*=lg 豆一馆 卜=4.5, 应选D.7 .函数段）的图象如下图，那么於）的解析式可以是（ln|x|xeAB. Xx)=-C1D解析：a由函数图象可知，函数,/U）为奇函数，排除b、c.假设函数为./u）=x上 那么+8时，式x)f+8,排除D,应选A.8 .定义在(0, +8)上的函数人%)满足货(幻一10, /4) = 21n2,那么不等式次e')<x的解集 为()A. (0, 21n 2)B. (-8, 21n 2)C. (21n2, +oo)D. (1, 21n 2)i xf' (x) 1解析：B 设 g(x)=/(x) Inx, x£(0, +°°),那么 g' (x)=/(x)>0,故 g(x)在(0, +8)上单调递增，g(4)=4)ln 4=21n 2-21n 2=0.不等式式64, EP/ev)-ln ev<0,即 g(e")<g(4),根据 g(x)的单调性知 0<ex<4,即 ex<4=eln4,解得 x<ln 4,即 ev21n 2, 故解集为(-8, 21n 2).应选B.二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有 多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得。分）9 . a, b为实数且心力0,那么以下不等式一定成立的是（）A- HB. 2 021f2 021 解析：BCD 对于A选项，念篇 即日，A选项错误；对于B选项，由可得。 一1乂;一1,.2021。一12 02俏一I B选项正确；对于C选项，4+2 2、m2班=（或一 l）2+（的-l）220, 当且仅当。=人=1时，等号成立，但。泌>0, ：.a+b+2-2yi-2yb>09 C选项正确；对于D选项，.,（0+。）©+0=2+£+>2+2。，£ （=4,当且仅当4=6时, 等号成立，但a*0, .m+A）6+/>4,贝叶D选项正确.应选B、C、D.10 .如图，边长为手的正六边形（中心为坐标原点，上下两边与x轴平行）与函数次x）=Asin（Gx+9）（A>0, 研<、）的图象有且仅有三个交点- C, D,且正六边形与y轴非负半轴交于M点，火幻的图象与y轴非负半轴交于点N,那么以下说法正确的选项是（）A.函数人灯的最小正周期为2 r11 JIB.函数«x）的图象关于直线x=-j了对称5 JijiD.函数«x）的单调增区间为一7y+左冗，立+攵兀，kZ L乙L L解析：CD 正六边形的边长为可知OB = ', ：.B点坐标为Oj, /. T= 2）<管+总=Ji ,.二 3=2.又.曲线过点（一看，0）,故 sin（/+J = 0, V（p<y ：.（p =3.又丁点D的纵坐标0M为y=Asin（5+°）的最大值，故A = 0M=03Xsin 60。="|三,故sin2x+g）对于A：函数_/（%）的最小正周期为"，A错误；对于B：/V3 H 13 JiIT .Il、/5 冗 Ji"V3 Ji n 丁与sin丁，B错庆；对于C：令x=0,那么 >=港-sin?=w，.班=一了，C正, JlJl JT5 nJT确；对于D：由一w+2左兀方+2Z兀（左金Z）,得一<%方+%兀（左£Z）,5 nji.二函数«x）的单调增区间为一玉+攵兀，+kTi , kZ, D正确.应选C、D.11.直线/：丘一y+2Z=0 和圆。：x2+y2=16,那么( )A.直线恒过定点(2, 0)B.直线/到原点距离的最大值为2C.直线/与圆。相交D.假设人=1,直线/被圆。截得弦长为4解析：BC 对于A：由近一y+22=。可得y=Z(x+2),过定点尸(一2, 0), A错误；对 于B：直线/到原点的距离即原点到直线/的距离，过原点作。加，直线/于点M(图略)，因 为IOMWIOPI，所以直线I到原点距离的最大值即为原点到定点P的距离2, B正确；对于C：圆。的半径为4,因为|0尸| = 2<4,故尸(一2, 0)在圆内，故直线/与圆。相交，C正确；对于D：假设氏=1,那么直线/的方程为x+y+2=0,所以圆心。到直线/的距离为j言词=也, 所以直线/被圆。截得弦长为八便二所 =25，D错误.应选B、C.12.如图，正方体ABC。-431GA的棱长为1, P是线段5G上的 动点，那么以下结论中正确的选项是()A. ACIBDiB. 4P的最小值幸C. A1P平面 ACD1D.异面直线4P与AQ所成角的取值范围是 彳，不-I解析：ABC 对于 A：在正方体 A5CQ-48G。中，ACLBD, AC±DDi9 BDCDDi =D,所以ACJL平面BOD/i,又因为5。u平面BOAS,所以ACLBOi, A正确；对于 B：在正方体A5CD/CQ1中，A/G是边长为也的正三角形，所以当尸是线段 的中点时，4P取最小值为B正确；对于C：由正方体可知，AiB/DiC9 AC4C,且AiBAAiCi=Ai, ACn/)1C=C,所以平面 ACU平面 4G3,又 4PU平面 4G3,所以 4尸平面ACA, C正确；对于D：因为BGAA,所以异面直线4尸与AA所成的角是 4P与3G所成的角.观察正三角形4BG,当P是线段BG中点时，两者垂直，所成角最JlJT大为了；当P位于线段3cl两个端点时，所成角最小为了，D错误.应选A、B、C.三、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13.己知向量a=(3,4),b = (l,3),假设一3a+2b与加a+3b共线，那么机的值为.解析：-3a+2b= -3( 3, 4) + 2(!, 3) = (11, 18), ma+3b=m( 3, 4) + 3(1,3) = ( 3根+3, 4m9),因为3a+2b 与饵+3b 共线，所以 1 l(4m9) (18)-( 3m+3)9=0,解得根=/.9答案：苦14 .在(12幻5(2+幻展开式中，/的系数为.解析：(12x)"2+x)=2(12x)5+x(l2x)5,二项式(12x)5 的展开式的通项为 Tr+i = 禺(一2)丫,令 r=3,那么 A=Cg(2)3%3=80为令r=% 那么 A = CW(2)廿=80/,那么(1一 2x)5(2+x)展开式中，炉的系数为2义8080=80.答案：8015 .十二生肖，又称十二属相，与中国传统文化中的十二地支呈现一一对应关系，分别 为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪.现有十 二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学分别随机抽取一件作为礼物.甲同学喜欢马、牛, 乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，那么这三位同学恰好都抽到各 自喜欢的礼物的概率为.解析：依题意可分类：甲同学选马，那么有C3CJ=18种情况符合要求.甲同学选牛, 那么有CJCJ=27种情况符合要求.三位同学抽取礼物的所有情况有Ai2种，那么这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率P=好都抽到各自喜欢的礼物的概率P=18+27 3Ah =88,3 答案：RR oo16 .42, 0), BQ, 0),斜率为k的直线/上存在不同的两点N满足|MA 一 =|M4| 一|M3| = 2小，且线段MN的中点为(6, 1),那么的值为.解析：因为|肌4|一|四3| = 2仍，|NA| |N3| = 2小，由双曲线的定义知，点M, N在以A,丫23为焦点的双曲线的右支上，且。=2,。=小，所以匕=1,所以该双曲线的方程为会一V= 1,设M(xi, yD，N(X2,竺)，那么xi+x2=12, yi+>2=2.设直线/的方程为 >=丘+加，代入双= 12,= 12,曲线的方程，消去y,得(1一3攵2)工26加"一3/"-3=0,所以汨+检=1竺31 3Kyy2=+%2)+ 2m = 12k2m=2,由解得攵=2.答案:2四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 .(本小题总分值10分)在0=2,即+|=斯+2一】+ 1；2斯=5+。1且，.+2, 18 成等比数列；0 = 1,。+1= 寿这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.斯十2设数列的前项和为S，求4的通项公式.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.解：选：6/1=2,由斯+1=。+21+ 1,可得斯+1斯=21+ L所以 an=(anan-1)+(an-1 an-2)4卜(俏，2)+(a2ai)+©，_12- i_贝！1 斯=2 2+2 3_|p2+1+一 1+0=；1+2=21 2故 an=2n -n.选：2如=3+0且Qi,故+2, 18成等比数列.由题意，得当时，5,7Sn-2an2a,解得斯=2斯_,又防，政+2, 18成等比数列,所以18al=（2卬+2）2,即2廨-50+2=0,解得勾=2 或 ai=g.假设0=2,数列斯是首项为2,公比为2的等比数列,数列如的通项公式为斯=2；假设数列斯是首项为1公比为2的等比数列，数列的通项公式为为=2-2.综上，数列%的通项公式为斯=2或许=2-2.选：因为41 = 1,即+1= 比7所以斯W0,。十2所以一L=；+* 即Lcin+1a»7 乙 a+1乙又 Qi = 1,那么7= 1，Cl所以J是以1为首项，为公差的等差数列，所以上=+（"_1）*3=4 ,2所以。=十118 .（本小题总分值12分）在ABC中，内角A, B,。所对的边分别是b, c,且2sin C=45ccos A + csin A,点。是 BC 的中点.求角A；（2）假设人+。=小，求线段的取值范围.解：（1）由正弦定理及 2asin C=，5ccos A + csin A,得 2sin Asin C=（/3sin Ceos A+sin Csin A,即 sin Asin C=y3sin Ceos A,V0<C<n , /.sin CO,J tan A=小，又 A£(0,J tan A=小，又 A£(0,. 3T兀),/1 = 3 .(2)由於=(AB +京)，可得 AD |2=|(|4B |2+|7C |2 -2AB XAC |cos A), . AD |2 =；(/?+c)2he =(3 he).由 b+c=小,得 b+c=y/32ybc, /.*W而F京故江常|坐即线段A。的取值范围为I，坐)19 .(本小题总分值12分)如图，在多面体ABC。石中，四边形3c是矩 形，ADE为等腰直角三角形，且NADE=90。，3AB=AD=巾,BE=2.(1)求证：平面ADEJ平面A3£；n(2)假设线段CO上存在点P,使得平面出E与平面AED夹角的大小为彳，试确定点P的位置并证明.解：(1)证明：由，等腰直角三角形中也，得AE=2,又 AB=2吸,所以因此 A£J_3£,又 DE1BE, AECWE=E,可得3£J_平面AOE,又BEU平面ABE, 所以平面AQEJL平面ABE.点P为线段。的中点，使得平面PAE与平面AED夹角大小为4如图，以E为原点，E4为x轴，仍为y轴，过石作平面A3石的 垂线为z轴，建立空间直角坐标系，那么 £(0, 0, 0), A(2, 0, 0), 3(0, 2, 0),易得。(1, 0, 1).设 P(x, y, z),由罚=2女=4/，A G(0, 1),即(x1, y, z-1 )=2(0, 2, 0),得尸(1, 22, 1).设平面4E尸的一个法向量为m=(xi, yi, Z1),| EA ni=0,f2xi=0,那么 <即LfP -nO,i+2i+zi=0,不妨设 y = l,那么 m=(0, 1, 2A).又平面AOE1的一个法向量为n2=(0, 1, 0),JI因为平面以E与平面AEO夹角的大小为于是 cos（=|cos <n., n2） =-=.解得2=5或2= 5（舍去），JI所以当点P为线段CD的中点时，平面PAE与平面AED夹角的大小为彳.20 .（本小题总分值12分）为了了解某市高中生周末运动时间，随机调查了 3 000名学生,统计了他们的周末运动时间，制成如下的频数分布表:周末运动 时间，（分 钟）30, 40)40, 50)50, 60)60, 70)70, 80)80, 90人数300600900450450300从周末运动时间在70, 80）的学生中抽取3人，在80, 90的学生中抽取2人，现从 这5人中随机推荐2人参加体能测试，记推荐的2人中来自70, 80）的人数为X,求X的分 布列和数学期望；（2）由频数分布表可认为：周末运动时间/服从正态分布N（4,其中为周末运动 时间的平均数7,。近似为样本的标准差s,并已求得s仁146可以用该样本的频率估计总 体的概率，现从该市所有高中生中随机抽取10名学生，记周末运动时间在（43.9, 87.7之外 的人数为Y,求产（y=2）（精确到0.001）.参考数据：当 tN,丑）时，p也一cy<t5+6=4682 7, P（/z 2oUV+2。） = 0.954 5, P（ 3<7<7<+3。）=6997 3, 0.818 680.202, 0.181 420.033.解：（1）随机变量X的可能取值为0, 1, 2,G 1C4CI 3C4 3摩=。）=声而P（X=1）=宣=予尸22）=读=而所以随机变量X的分布列为X012P1To3531336所以 £(X)=0X+1 X-t+2Xtt=- JL -zJL(2)= t(2)= t35 X 300+45 X 600+55 X 900+65 X 450+75 X 450+85 X 300=3 000= 58.5,又 43.9 = 58.5 14.6=一。，87.7 = 58.5 + 14.6X2= /+2,.0.682 7+0.954 5所以 P(43.9，W87.7) = P(/z0，W+2o)=0.818 6,所以 PQW/z o 或 >4+2。)= 10.818 6=0.181 4,所以 y8(10, 0.181 4),所以尸(y=2)=GoXO.181 42X0.818 6845X0.033X0.202 0.300.21 .(本小题总分值12分)椭圆C，+*过点尸(2, 1)，Fi, F2分别为椭圆。的左、右焦点，且|Pri| + |PF2|=4，1(1)求椭圆。的标准方程；(2)点M, N是椭圆C上与点P不重合的两点，且以为直径的圆过点P,假设直线 过定点，求出该定点；假设不过定点，请说明理由.解：由|尸川+ |尸尸2|=40,可得2=4镇,所以 a=2y2.41由点P(2, 1)在椭圆上，可得了+京=1,故。2=2,所以椭圆C的标准方程为5+9=1. o Z(2)设加(为，y), N(%2, 丁2),假设直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=mx+n.将直线A/N的方程代入、+另=1,消去y得(1+4m2)/+8加氏+4层一8=0. O 乙由/ = (82)24(1 +4m2)(4/i28)>0,得 2<；822+2,心、,_8 34/128所以汨+及一一 1+4加2,汨及一+4加2，因为以为直径的圆过点P,所以国F京=(即一2,)" 1)(X22,竺一1)=(X12)(X2 2) + ('i 1)O21)= (xi - 2)(x22) + (mxi + n _ 1)(777x2+ 1)=(1 + 77：2)xiX2+(mnm-2)(xi +尤2)+ 层2+54/128=(1 + m2)-. A '7 1+W4/128=(1 + m2)-. A '7 1+W(Smn +(加 22)(一甲版+层一2+5=0.整理得(2 机+- 1)(6z71+5h+3)=O.因为点P(2, 1)不在直线MN上，所以2加+一IWO,所以6加+5+3 = 0,所以=一 6m 3-5,于是直线mn的方程为=加(工一|，